Circuitos acoplados magnticamente Circuitos Elctricos 2 Inductancia mutua

Circuitos acoplados magnéticamente Circuitos Eléctricos 2

Inductancia mutua Autoinductancia M i 1 L 1 M L 2 v 1 L 2 i 2 La corriente i 1 en L 1 produce el voltaje de circuito abierto v 2 en L 2. La corriente i 2 en L 2 produce el voltaje de circuito abierto v 1 en L 1. La inductancia mutua se presenta cuando dos bobinas están lo suficientemente cerca como para que el flujo magnético de una influya sobre la otra.

Convención de los puntos Una corriente que entra por la terminal punteada de una bobina produce un voltaje de circuito abierto entre las terminales de la segunda bobina, cuyo sentido es el de la dirección indicada por una referencia de voltaje positiva en la terminal punteada en esta segunda bobina. M i 1 + L 2 L 1 L 2 _ M i 1 _ + + L 1 L 2 _

Voltaje mutuo M i 1 Para frecuencia compleja i 2 + + L 1 v 1 _ L 2 v 2 V 1 = –s. L 1 I 1 + s. MI 2 V 2 = –s. L 2 I 2 + s. MI 1 _ Para estado senoidal M i 1 i 2 _ v 1 + V 1 = –jw. L 1 I 1 + jw. MI 2 V 2 = –jw. L 2 I 2 + jw. MI 1 + L 1 L 2 v 2 _

Estructura de bobinas acopladas Flujos magnéticos aditivos i 1 Flujos magnéticos sustractivos i 1 i 2

Ejemplo 1 W M=9 H + V 1 = 10/_0° w = 10 rad/s _+ I 1 I 2 1 H 100 H I 1(1 + j 10) – j 90 I 2 = 10 I 2(400 + j 1000) – j 90 I 1 = 0 V 2 400 W _

Gráfico de respuesta en frecuencia

Ejemplo 1 F 5 W V 1 _+ I 1 I 2 7 H I 3 6 H M=2 H (5 + 7 s)I 1 – 9 s. I 2 + 2 s. I 3 = V 1 – 9 s. I 1 + (17 s + 1/s) I 2 – 8 s. I 3 = 0 2 s. I 1 – 8 s. I 2 + (3 + 6 s) I 3 = 0 3 W

Consideraciones de energía Poniendo en circuito abierto las terminales de la derecha y haciendo crecer la corriente i 1 desde 0 hasta I 1 en t = t 1. M i 1 i 2 + La energía almacenada es. v 1 _ + L 1 L 2 v 2 _ La energía total es. Ahora haciendo crecer la corriente i 2 desde 0 hasta I 2 de t = t 1 a t = t 2. manteniendo i 1 constante La energía entregada del lado derecho es. Sin embargo se entrega energía a la red del lado izquierdo. Haciendo el proceso inverso, se tiene Por tanto

Consideraciones de energía (cont) El límite superior para el valor de M es El Coeficiente de acoplamiento se define como

Ejemplo Sea L 1 = 0. 4 H. L 2 = 2. 5 H, k = 0. 6 e i 1 = 4 i 2 = 20 cos(500 t – 20°) m. A. Evalue las siguientes cantidades en t = 0: a) i 2, b) v 1, y c) la energía total almacenada en el sistema. a) i 2(0) = 20 cos(500(0) – 20°) m. A = 4. 698 m. A M i 1 i 2 + v 1 _ b) Para v 1 hay que evaluar + L 1 L 2 v 2 _ M = k L 1 L 2 = 0. 6 H v 1(0) = 0. 4[– 10 sen(– 20°)] + 0. 6[– 2. 5 sen(– 20°)] = 1. 881 V c) La energía es w(t) = ½L 1[i 1(t)]2 + ½L 2[i 2(t)]2 + M[i 1(t)] [i 2(t)] w(0) = 0. 4/2[18. 79]2 + 2. 5/2[4. 698]2 + 0. 6[i 1(0)] [i 2(0)] w(0) = 151. 2 m. J

El transformador lineal En un transformador lineal el coeficiente de acoplamiento es de algunas décimas. Transformador lineal con una fuente en el primario y carga en el secundario Vs = I 1 Z 11 – I 2 s. M M R 1 R 2 + Vs _+ I 1 L 2 I 2 ZL VL _ 0 = –I 1 s. M + I 2 Z 22 = 0 donde Z 11 = R 1 + s. L 1 Z 22 = R 2 + s. L 2 + ZL La reactancia reflejada tiene el signo contrario al de reactancia X 22 Impedancia reflejada:

ejemplo Los valores de los elementos de cierto transformador lineal son: R 1 = 3 W, R 2 = 6 W, L 1 = 2 m. H, L 2 = 10 m. H, M = 4 m. H, si w = 5, 000 rad/s, determine Zent para ZL igual a a) 10 W, b) j 20 W, c) 10 + j 20 W, d) -j 20 W. a) Z 11 = R 1 + s. L 1 = 3 + j(5000)(0. 002) = 3 + j 10 Z 22 = R 2 + s. L 2 + ZL = 6 + j(5000)(0. 010) + 10 = 16 + j 50 = 3 + j 10 + (5000)2(0. 004)2/(16 + j 50) = 5. 3222 + 2. 7431 i Similarmente b) 3. 4862 + 4. 3274 i c) 4. 2413 + 4. 5694 i d) 5. 5641 - 2. 8205 i

Red equivalente T M i 1 Ecuaciones de malla para el transformador lineal i 2 + v 1 _ + L 1 L 2 v 2 _ Pueden rescribirse como i 1 L 1 – M L 2 – M + v 1 Las cuales corresponden a la red _ i 2 + M v 2 _

Ejemplo Determine el equivalente T del transformador de la figura 40 m. H i i 1 30 m. H 2 L 1 – M = – 10 m. H 60 m. H L 2 – M = 20 m. H i 1 -10 m. H 20 m. H 40 m. H

Red equivalente P A partir de la ecs. de malla Se puede despejar i 1 e i 2, obteniendo Estas ecs. representan ecs. de nodos de la red de la figura donde i 1 LB i 2 + v 1 _ i 1(0)u(t) LA LC i 2(0)u(t) + v 2 _

ejemplo Determine el equivalente T del transformador de la figura i 1 30 m. H 40 m. H i 2 = 2 x 10– 4/40 x 10– 3 = 5 m. H = 2 x 10– 4/20 x 10– 3 = 10 m. H 60 m. H = 2 x 10– 4/(– 10 x 10– 3)= -20 m. H i 1 5 m. H 10 m. H i 2 – 20 m. H

El transformador Ideal Es una aproximación de un transformador fuertemente acoplado. Las reactancias inductivas del primario y del secundario son muy grandes comparadas con las impedancias de la terminación.

Relación de vueltas 1: a + V 1 I 1 L 1 + L 2 I 2 _ ZL V 2 V 1 = jw. L 1 I 1 – jw. MI 2 0 = – jw. MI 1 + (ZL + w. L 2) I 2 _ k=1 Se cumple la siguiente relación: a = razón del número de vuelas del secundario al primario = N 2 / N 1 Despejando V 1:

Relación de vueltas (continuación) Dado que L 2 = a 2 L 1 Si dejamos que L 1 tienda a infinito

Acoplamiento de impedancias Suponga un amplificador con 4000 W de impedancia de salida y una bocina con 8 W de impedancia.

Relación de corrientes Si suponemos que L 2 se hace muy grande. Entonces N 1 I 1 = N 2 I 2 Para el ejemplo anterior, si el amplificador produce una corriente de 50 m. A en el primario, en ele secundario habrá una corriente de (22. 4)(50 m. A) = 1. 12 A. La potencia en el altavoz es (1. 12)2(8) = 10 W. La potencia suministrada por el amplificador es (0. 05)2(4000) = 10 W

Relación de tensiones La relación para tensiones es Si a > 1, en transformador es elevador Si a < 1, en transformador es reductor Se cumple V 1 I 1 = V 2 I 2

Ejemplo Encuentre la potencia promedio disipada para el resistor de 10 K, 100 W 1: 10 + 50 V rms _+ I 1 V 1 _ + V 2 _ I 2 La potencia es simplemente: P = 10000 |I 2|2 La impedancia que “se ve” en la entrada es ZL/a 2 = 100 W I 1 = 50/(100 + 100) = 250 m. A rms I 2 = (1/a) I 1 = 25 m. A rms, la potencia es P = 6. 25 W. 10 k. W

Relaciones de tensión en el tiempo M i 1 + + L 1 _ Ecuaciones de malla para el transformador ideal i 2 L 2 v 2 _ v 1 Despejando la derivada de i 2 en la segunda ec. y sustituyendo en la primera y ya que M 2 = L 1 L 2 Dividiendo la primera ec. entre L 1 y suponiéndola muy grande