APLICACIONES DE LA DERIVADA La Rigidez de una
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APLICACIONES DE LA DERIVADA La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que puede cortarse de un tronco en forma de cilindro circular recto, cuyo radio es “a”.
Sea: La rigidez esta dada por: R =(ancho)*(espesor)^3
2 a y x Por lo tanto: R =(ancho)*(espesor)^3 => (2 a)^2 = (x )^2 + (y )^2 R=X*Y^3 1 2
DESPEJANDO “Y” DE LA ECUACION 2: 4 a^2 - x^2 = y^2 REEMPLAZANDO EN LA ECUACION 1, SE TIENE: R=X*(4 a^2 - x^2) ^½ ECUACION PRINCIPAL
DERIVANDO LA ECUACION: R=*X*(4 a^2 - x^2) ^3/2 d. R/dx = [(4 a^2 - x^2) ^3/2 +x*(3/2)((4 a^2 - x^2) ^1/2)*(-2 x) IGUALANDO EN CERO: 0 = [(4 a^2 - x^2) ^3/2]+[(4 a^2 - x^2)*( – 3 x^2)] SE OBTIENE: 1° (4 a^2 - x^2) – 3 x = 0 => a=x , solución valida.
Por lo tanto, reemplazando a = x en la ecuación principal: R=a*(4 a^2 - a^2)^3/2 R=a*(3 a ^2) ^(3/2) R=(3^(3/2))*a^4
Recordemos que: f ´´(x) > 0 , es minino relativo f ´´(x) < 0 , es máximo relativo como vemos: d. R/dx = [(4 a^2 - x^2) ^3/2 +(3/2)((4 a^2 - x^2) ^1/2)(-2 x) d²R/dx² = K*[-3((4 a^2 - x^2) ^1/2)-6 x((4 a^2 - x^2) ^1/2)+3 x/((4 a^2 - x^2) ^1/2)] IGUALANDO LA ECUACION A 0, OBTENGO QUE: d²R/dx² < 0
POR LO TANTO, LAS DIMNSIONES DE LA VIGA DE MAYOR RIGIDEZ SON: VOLUMEN VIGA = (BASE)(ALTURA)(LARGO) A= a²(3^½)L o A= x²(3^½)L
