Analogie elektrostatiky dle Richarda P Feynmana Zpracoval Ing

Analogie elektrostatiky (dle Richarda P. Feynmana) Zpracoval: Ing. Jiří Primas Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií TUL 1. 6. 2009

1 a. Stejné rovnice mají stejná řešení § na rovnicích elektrostatiky si ukážeme, že rovnice pro mnohé odlišné fyzikální problémy vypadají stejně § liší se pouze symboly, matematický tvar rovnic je tentýž § vyjdeme z následujících rovnic elektrostatiky, které platí pro homogenní prostředí: (1) kde E je intenzita el. pole [V/m], φ je el. Potenciál [V], εr je relativní permitivita [-], ε 0 je permitivita vakua [F/m] a ρvol je hustota volných nábojů [C/m 3] (2)

Poznámka • ač se v dalším textu nebudeme zabývat obecně Maxwellovými rovnicemi, uveďme jen jako poznámku, že původní rovnice, z které byla rovnice (2) odvozena má následující tvar: • přidejme k této rovnici ještě tzv. Lorentzovu podmínku: • pak fyzikální význam těchto rovnic je tentýž jako význam Maxwellových rovnic, tento zápis má ale i další hluboký smysl – ukazuje invarianci elektrodynamiky vzhledem k Lorentzově transformaci, a tedy popisuje elektrodynamiku v pohybujících se inerciálních soustavách

1 b. Stejné rovnice mají stejná řešení § jde o to, že existuje mnoho fyzikálních problémů, jejichž matematické rovnice mají tento tvar § existuje potenciál (φ), jehož gradient vynásobený skalární funkcí (εr) má divergenci rovnající se jiné skalární funkci (- ρvol/ε 0) § cokoliv tedy víme o řešení těchto rovnic v elektrostatice, můžeme ihned transformovat na analogický problém a naopak (konkrétní příklady uvidíme na dalších stranách) § nyní si uvedeme několik příkladů z různých oblastí fyziky, které vedou k rovnicím tohoto tvaru

2. Proudění tepla § rovnice popisující stacionární proudění tepla: (3) kde λ je tepelná vodivost, T je teplota a s je tepelná energie uvolněná za sekundu přepočtená na jednotkový objem § vidíme, že rovnice (3) má stejný tvar jako rovnice (2) => úlohy o stacionárním proudění tepla a elektrostatické úlohy jsou tedy stejné § můžeme tedy například tvrdit, že bodový zdroj tepla vytváří tepelné pole, které se mění se vzdáleností r jako 1/r (přenesli jsme pouze tvrzení z elektrostatiky, že bodový náboj generuje potenciál, který se mění jako 1/r)

3 a. Napnutá membrána § dá se ukázat, že pro malé deformace pružné membrány platí následující rovnice: (4) kde u je výchylka, f představuje sílu, která směřuje nahoru, připadá na jednotku plochy a působí na blánu následkem vnějších sil a γ je povrchové napětí § opět máme rovnici, která je stejná jako v elektrostatice, i když se omezuje jen na dva rozměry § výchylka u odpovídá potenciálu φ a f/γ odpovídá ρ/ε 0

3 b. Napnutá membrána § nyní předpokládejme, že v některých bodech vytáhneme membránu do určité výšky, tj. na vybraných místech fixujeme hodnotu u (to je analogie s elektrostatickou situací, ve které je na příslušných místech předepsaný potenciál) § na obr. 1 vidíme situaci, kde je na membránu tlačeno okrouhlou tyčí – pak výchylka u je stejná jako elektrostatický potenciál φ nabité válcové tyče § tato analogie se často využívá i ve zpětném směru – různými tyčemi a pruty se membrány vysouvají do výšek, které odpovídají potenciálům soustavy elektrod § měřením výšky se pak zjišťuje elektrický potenciál v daných podmínkách obr. 1: Napnutá membrána

4. Bezvírové proudění kapaliny § předpokládejme, že zkoumáme bezvírové proudění nestlačitelné a neviskózní kapaliny § pak pro potenciál rychlosti ψ platí následující rovnice: § potenciál rychlosti ψ tedy vyhovuje téže diferenciální rovnici jako elektrostatický potenciál v prázdném prostoru (tj. tam, kde ρ=0)

5. Shrnutí § chtěli jsme ukázat, že mnoho různých fyzikálních jevů popisují analogické diferenciální rovnice § Kde je příčina této podobnosti tak odlišných jevů? § pokud jsou věci v prostoru dostatečně hladké, budou v jejich popisu důležitými rychlosti změny veličin v závislosti na poloze v prostoru § proto vždy dostáváme rovnice s gradientem, derivace se musí objevit ve formě gradientu nebo divergence, protože zákony fyziky jsou nezávislé na směru, musí být možné vyjádřit je ve vektorovém tvaru § jakýkoliv jednoduchý problém, nebo zjednodušení komplikovaného problému, musí vypadat jako elektrostatika § to, co je všem úlohám společné, je to, že obsahují prostor a že to, co je ve skutečnosti složitým jevem, jsme imitovali jednoduchou diferenciální rovnicí

Použitá literatura § Feynman, R. P. Feynmanovy přednášky z fyziky, díl 2. FRAGMENT Havlíčkův Brod 2001, s. 205 -222

MATEMATICKÁ ANALOGIE MEZI ZÁKLADNÍMI ZÁKONY ELEKTRICKÉHO A MAGNATICKÉHO POLE podle prof. Ing. Daniela Mayera, Dr. Sc. zpracoval Ing. Michal Malík Technická univerzita v Liberci Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií 1. 6. 2009

Základní zákony elektrostatického, magnetostatického a stacionárního proudového pole jsou matematicky analogické – mají formálně obdobný tvar

Maxwellovy rovnice Nejprve je třeba říci si něco o Maxwellových rovnicích, které jsou základem pro zkoumání elektromagnetických polí. Proto se na ně podíváme v obecné podobě. Mějme tenzor tvořený složkami vektorů (magnetická indukce): (intenzita el. pole) a

Maxwellovy rovnice pak tenzorová rovnice: je čtyřrozměrným zápisem 1. a 3. Maxwellovy rovnice. Stejně tak tenzorová rovnice: vyjadřuje 2. a 4. Maxwellovy rovnice i v látkovém prostředí bez ohledu na jeho pohyb v soustavě. Tyto zápisy jsou však pro náš případ až příliš obecné, používané v situacích, kdy se zkoumají vzájemně se pohybující soustavy.

Maxwellovy rovnice Ukažme si zde tedy Maxwellovy rovnice ve zjednodušené avšak více známe podobě (platí pro homogenní prostředí):

Elektrostatické pole Existují dvě základní podmínky definující elektrostatiku: • zdrojem elektrostatického pole jsou elektrické náboje (III. Maxwellova rovnice) • náboje se nepohybují (tj. neteče elektrický proud) a tedy nevzniká magnetické pole (II. Maxwellova rovnice) • vztah intenzity elektrického pole a elektrické indukce – vliv prostředí

Stacionární proudové pole Základní rovnice: • II. Maxwellova rovnice s nulovou magnetickou složkou stejně jako v elektrostatice • Zákon kontinuity, který nám říká, že stacionární proud vtékající do uzavřené plochy S je roven proudu z této plochy vytékající • Ohmův zákon

Magnetostatické pole Základní rovnice: • Zákon celkového proudu s nulovým posuvným proudem (I. Maxwellova rovnice) • náboje se nepohybují (tj. neteče elektrický proud) a tedy nevzniká magnetické pole (II. Maxwellova rovnice) • vztah intenzity magnetického pole a magnetické indukce – vliv prostředí

Matematická analogie mezi rovnicemi stacionárních polí

Analogie mezi veličinami stacionárních polí Z předcházejících vztahů se dá usoudit, že některé veličiny elektromagnetického pole spolu vzájemně korespondují. To lze také vidět v následující tabulce: Těchto analogií lze využít například při experimentálním vyšetřování elektrostatických a magnetických polí, protože přímé měření některých veličin je z technických důvodů obtížné (např. nahrazení elektrostatického nebo magnetostatického pole proudovým polem, které se proměřuje snadněji). Jelikož dnes disponujeme výkonnými numerickými metodami, ztrácí metoda analogie svůj dřívější smysl.

Použitá literatura • Mayer, D. Teorie elektromagnetického pole, 1. díl. Západočeská univerzita v Plzni – Fakulta elektrotechnická Plzeň 2004 • Mayer, D. Teorie elektromagnetického pole, 2. díl. Západočeská univerzita v Plzni – Fakulta elektrotechnická Plzeň 2004 • Haňka, L. Teorie elektromagnetického pole, SNTL Praha 1975