Analogie et solutions graphiques Lille novembre 2003 Donnes

Analogie et solutions graphiques Lille, novembre 2003

Données numériques Équations à résoudre Résultats numériques

Données numériques Grandeurs géométriques ou physiques Équations à résoudre Phénomène géométrique ou physique se modélisant par les mêmes équations Résultats numériques Grandeurs résultantes

Données numériques Grandeurs géométriques ou physiques Équations à résoudre Phénomène géométrique ou physique se modélisant par les mêmes équations Résultats numériques Grandeurs résultantes Calcul numérique direct ou digital Calcul numérique indirect ou analogique

Balance de Grant (1896) Balance de Meslin (1900) Balance de Skutsch (1902)

Intégration hydraulique et chimique des équations différentielles par Petrovitch (1900)

multiplicateur intégrateur dérivateur additionneur

Calcul graphique et graphomécanique

Appareil de Platon Conchoïde de Nicomède Mésolabe d’Ératosthène

Mathématiques grecques et arabes (classification de Pappus, IVe siècle) : • problèmes plans : lignes droites et cercles • problèmes solides : sections coniques • problèmes linéaires : autres courbes (conchoïde, cissoïde, quadratrice, spirale…)

L’algèbre géométrique de Descartes La Géométrie, 1637 1 x y xy y x+y x–y 1 x x/y √x 1 y x 1 x

Mais je m’étonne de ce qu’ils n’ont point outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne saurais comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques, plutôt que géométriques. Car de dire que ç’ait été à cause qu’il est besoin de se servir de quelque machine pour les décrire, il faudrait rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu qu’on ne les décrit sur le papier qu’avec un compas et une règle, qu’on peut aussi nommer des machines. Descartes 1637

XVIIe siècle (classification de Descartes, 1637) : • courbes géométriques : courbes ayant une équation algébrique ou courbes engendrées par un « mouvement continu unique » • courbes mécaniques : autres courbes (quadratrice, spirale, cycloïde, courbe logarithmique…)

Frans van Schooten 1646

Ici, x désigne la quantité cherchée et p, q, r, s, . . . les quantités déterminées et connues, à partir desquelles x est à son tour déterminée et peut être explicitée par les méthodes développées plus loin, et ceci soit par un calcul arithmétique, soit géométriquement par le tracé de lignes. Newton, 1670 Maintenant, il ne reste plus qu’à expliquer comment extraire numériquement les racines des équations, une fois que ces équations ont été réduites à leur forme la plus commode. Ici, la principale difficulté consiste à obtenir les deux ou trois premiers chiffres des racines. On peut y parvenir au mieux par telle ou telle construction de l’équation, que cette construction soit géométrique ou mécanique. Newton, 1682

Jakob Bernoulli 1695

John Rowning 1770 Le constructeur universel d’équations

Alfred Bray Kempe 1876 Les courbes algébriques sont exactement celles qui peuvent être tracées à l’aide d’un système articulé.

Mécanismes algébriques

Certains problèmes ne sont ni plans, ni solides, ni sur-solides, ni d’aucun degré déterminé, mais surpassent toute équation algébrique. Il n’empêche que de tels problèmes peuvent réellement se poser en Géométrie : il est donc indispensable d’admettre les seules courbes permettant de les construire ; or ces courbes peuvent être tracées d’un mouvement continu, il ne faut donc pas les juger mécaniques, mais géométriques. C’est pourquoi l’erreur qu’a commise Descartes en les excluant de la Géométrie fut aussi grave que celle des Anciens qui rejetaient comme non géométriques certains lieux solides ou linéaires. Il existe néanmoins d’autres façons de construire les courbes, comportant l’adjonction d’un élément physique. Leibniz, 1693

Christiaan Huygens 1693 Jakob Bernoulli 1693 John Perks 1706 -1715

Giovanni Poleni 1729 Giambatista Suardi 1752

Mécanismes transcendants

Les grands analyseurs différentiels graphomécaniques Vannevar Bush Douglas Hartree 1928 M. I. T. 1935 University of Manchester

Une discipline à part entière

Barthélémy-Édouard Cousinéry 1839

Karl Culmann 1866 Junius Massau 1878 Maurice d’Ocagne 1884

Statique graphique

Simon Stevin 1586

Pierre Varignon 1725

Polygone des forces et polygone funiculaire

Karl Culmann 1866

Maurice Koechlin 1897 -1899

Hermann von Meyer 1867 Julius Wolff 1869

René Poussin 1905 On trouvera peut-être quelque intérêt à l’application que je vais indiquer ci-après, de la statique graphique aux assurances dotales avec contreassurance des primes versées.

Nomographie

Edmund Gunter 1620 William Oughtred Edmund Wingate 1630 1632

William Playfair 1785 Dette nationale britannique de 1699 à 1800 (3 e éd. , 1801)

Marcellin Du Carla-Boniface 1782 Cartes topographiques avec lignes de niveau

Louis-Ézéchiel Pouchet 1795 Arithmétique linéaire, ou Nouvelle méthode abrégée de calculer, que l’on peut pratiquer sans savoir lire ni écrire

Louis-Ézéchiel Pouchet Table graphique de multiplication 1795 z = xy

Ludwig Friedrich Kämtz 1843 Table des températures moyennes à Halle

Léon-Louis Lalanne 1843 Table topographique des températures

Léon-Louis Lalanne 1843 Abaque à droites concourantes z = xy ln z = ln x + ln y

Cette variation suivant des lois plus ou moins compliquées, dans les proportions des figures, a quelque chose d’analogue aux effets produits par la réflexion sur des surfaces courbes. On sait que des figures bizarres, tout à fait irrégulières en apparence, prennent un aspect complètement différent lorsqu’elles sont vues par réflexion sur un miroir d’une forme déterminée et dans certaines postions. Nous appliquerons à la transformation d’un tableau graphique en un autre équivalent, l’expression d’anamorphose, que les physiciens ont attribuée depuis longtemps, au phénomène optique dont il vient d’être question, et nous donnerons le nom de géométrie anamorphique à une branche nouvelle de la géométrie qui paraît devoir résulter de la considération des anamorphoses géométriques. Lalanne, 1846