Algoritmalar DERS 2 Asimptotik Notasyon O ve notasyonlar

Algoritmalar DERS 2 Asimptotik Notasyon • O-, Ω-, ve Θ-notasyonları Yinelemeler • Yerine koyma

Asimptotik notasyon O-notasyonu (üst sınırlar): Tüm n ≥ n 0 değerleri için sabitler c

O-notasyonunun tanımı O(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n 0 değerlerinde c >

Ω-notasyonu (alt sınırlar) O-notasyonu bir üst-sınır notasyonudur. f(n) en az O(n 2)'dir demenin bir

Θ-notasyonu (sıkı sınırlar) Θ(g(n)) = O(g(n)) ∩ Ω(g(n)) September 12, 2005 Copyright © 2001

Θ-notasyonu (sıkı sınırlar) Θ(g(n)) = O(g(n)) ∩ Ω(g(n)) ÖRNEK: September 12, 2005 1 2

Θ, Ω ve O notasyonlarının grafik üzerinde örneklenmesi September 12, 2005 Copyright © 2001

ο ve ω notasyonları O-notasyonu ve Ω-notasyonu ≤ ve ≥ gibidir. o-notasyonu ve ω-notasyonu

Yinelemelerin çözümü • Ders 1' deki birleştirme sıralaması analizi bir yinelemeyi çözmemizi gerektirmişti. •

Yerine koyma metodu (yöntemi) En genel yöntem: 1. Çözümün şeklini tahmin edin. 2. Tümevarım

Yerine koyma örneği T (n) = 4 T (n / 2) + n ≤

Örnek (devamı) • Başlangıç koşullarını da ele almalı, yani, tümevarımı taban şıklarına (base cases)

Daha sıkı bir üst sınır? T(n) = O(n 2) olup olmadığını kanıtlayacağız. September 12,

Daha sıkı bir üst sınır? T(n) = O(n 2) olduğunu kanıtlayacağız. Varsayın ki k

Özyineleme-ağacı metodu • Özyineleme-ağacı, bir algoritmadaki özyineleme uygulamasının maliyetini (zamanı) modeller. • Özyineleme-ağacı metodu,

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n 2: çözün September 12, 2005

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n 2: çözün T(n) September 12,

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n 2: çözün n 2 T(n/4)

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n 2: çözün n 2 (n/4)2

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n 2: n 2 (n/4)2 (n/8)2

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n 2: n 2 (n/2)2 (n/4)2

Ana Metod (The Master Method) Ana method aşağıda belirtilen yapıdaki yinelemelere uygulanır: T(n) =

Üç yaygın uygulama f (n)'i nlogba ile karşılaştırın: 1. Daha küçük olma durumu f

Üç yaygın uygulama f (n)'i nlogba ile karşılaştırın: 1. f (n) = O(nlogba –

Üç yaygın uygulama f (n)'i nlogba ile karşılaştırın: 3. Daha büyük olma durumu f

Örnekler Örnek. T(n) = 4 T(n/2) + n a = 4, b = 2

Örnekler Ör. T(n) = 4 T(n/2) + n a = 4, b = 2

Örnekler Ör. T(n) = 4 T(n/2) + n 3 a = 4, b =

Appendix/EK: Geometrik seriler 2 1 + x +. . . + x 2 1

Slides: 55

Download presentation

Algoritmalar DERS 2 Asimptotik Notasyon • O-, Ω-, ve Θ-notasyonları Yinelemeler • Yerine koyma metodu • Yineleme döngüleri • Özyineleme ağacı • Ana Metot (Master metod) September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 1

Asimptotik notasyon O-notasyonu (üst sınırlar): Tüm n ≥ n 0 değerleri için sabitler c > 0, n 0 > 0 ise 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) durumunda f(n) = O(g(n)) yazabiliriz. September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 2

Asimptotik notasyon O-notasyonu (üst sınırlar): Tüm n ≥ n 0 değerleri için sabitler c > 0, n 0 > 0 ise 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) durumunda f(n) = O(g(n)) yazabiliriz. ÖRNEK: 2 n 2 = O(n 3) September 12, 2005 (c = 1, n 0 = 2) Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 3

Asimptotik notasyon O-notasyonu (üst sınırlar): Tüm n ≥ n 0 değerleri için sabitler c > 0, n 0 > 0 ise 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) durumunda f(n) = O(g(n)) yazabiliriz. ÖRNEK: 2 n 2 = O(n 3) (c = 1, n 0 = 2) fonksiyonlar, değerler değil September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 4

Asimptotik notasyon O-notasyonu (üst sınırlar): Tüm n ≥ n 0 değerleri için sabitler c > 0, n 0 > 0 ise 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) durumunda f(n) = O(g(n)) yazabiliriz. ÖRNEK: 2 n 2 = O(n 3) fonksiyonlar, değerler değil September 12, 2005 (c = 1, n 0 = 2) komik, “tek yönlü” eşitlik Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 5

O-notasyonunun tanımı O(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n 0 değerlerinde c > 0, n 0 > 0 ise ve 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) } ÖRNEK: 2 n 2 ∈ O(n 3) September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 7

Ω-notasyonu (alt sınırlar) O-notasyonu bir üst-sınır notasyonudur. f(n) en az O(n 2)'dir demenin bir anlamı yoktur. September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 8

Ω-notasyonu (alt sınırlar) O-notasyonu bir üst-sınır notasyonudur. f(n) en az O(n 2)'dir demenin bir anlamı yoktur. Ω(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n 0 değerlerinde c > 0, n 0 > 0 ise ve 0 ≤ cg(n) ≤ f(n) } September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 9

Ω-notasyonu (alt sınırlar) O-notasyonu bir üst-sınır notasyonudur. f(n) en az O(n 2)'dir demenin bir anlamı yoktur. Ω(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n 0 değerlerinde c > 0, n 0 > 0 ise ve 0 ≤ cg(n) ≤ f(n) } ÖRNEK: September 12, 2005 n = Ω (lg n) (c = 1, n 0 = 16) Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 10

Ω-notasyonu (alt sınırlar)

ο ve ω notasyonları O-notasyonu ve Ω-notasyonu ≤ ve ≥ gibidir. o-notasyonu ve ω-notasyonu < ve > gibidir. . o(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n 0 değerlerinde c > 0 sabiti için n 0 sabiti varsa 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) } ÖRNEK: September 12, 2005 2 n 2 = o(n 3) (n 0 = 2/c) Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 15

ο ve ω notasyonları O-notasyonu ve Ω-notasyonu ≤ ve ≥ gibidir. o-notasyonu ve ω-notasyonu < ve > gibidir. . o(g(n))= { f(n) : tüm n ≥ n 0 değerlerinde c > 0 sabiti için n 0 sabiti varsa 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) } ÖRNEK: September 12, 2005 n = ω(lg n) (n 0 = 1+1/c) Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 16

ο ve ω notasyonları

Sorular

Yinelemelerin çözümü • Ders 1' deki birleştirme sıralaması analizi bir yinelemeyi çözmemizi gerektirmişti. • Yinelemeler integral, türev, v. s. denklemlerinin çözümlerine benzer. • Yinelemelerin "böl-ve-fethet" algoritmalarına uygulanması. September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 19

Özyinelemelerin Çözümü

Maksimum Altdizi Problemi

Yerine koyma metodu (yöntemi) En genel yöntem: 1. Çözümün şeklini tahmin edin. 2. Tümevarım ile doğrulayın. 3. Sabitleri çözün. September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 25

Yerine koyma metodu (yöntemi) En genel yöntem: 1. Çözümün şeklini tahmin edin. 2. Tümevarım ile doğrulayın. 3. Sabitleri çözün. ÖRNEK: T(n) = 4 T(n/2) + n • T(1) = Θ(1) olduğunu varsayın. • O(n 3)'ü tahmin edin. (O ve Ω ayrı kanıtlayın. ) • k< n için T(k) ≤ ck 3 olduğunu varsayın. • T(n) ≤ cn 3'ü tümevarımla kanıtlayın. September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 26

Yerine koyma örneği T (n) = 4 T (n / 2) + n ≤ 4 c(n / 2)3 + n = (c / 2)n 3 + n istenen –kalan = cn 3 − ((c / 2)n 3 − n) istenen ≤ cn 3 (c/2)n 3 – n ≥ 0 olduğu zamanlarda, örneğin, eğer c ≥ 2 ve n ≥ 1 ise. kalan September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 27

Örnek (devamı) • Başlangıç koşullarını da ele almalı, yani, tümevarımı taban şıklarına (base cases) dayandırmalıyız. • Taban: T(n) = Θ(1) tüm n < n 0 için, ki n 0 uygun bir sabittir. • 1 ≤ n < n 0 için, elimizde “Θ(1)” ≤ cn 3, olur; yeterince büyük bir c değeri seçersek. September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 28

Örnek (devamı) • Başlangıç koşullarını da ele almalı, yani, tümevarımı taban şıklarına (base cases) dayandırmalıyız. • Taban: T(n) = Θ(1) tüm n < n 0 için, ki n 0 uygun bir sabittir. • 1 ≤ n < n 0 için, elimizde “Θ(1)” ≤ cn 3, olur; yeterince büyük bir c değeri seçersek. Bu, sıkı bir sınır değildir ! September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 29

Daha sıkı bir üst sınır? T(n) = O(n 2) olduğunu kanıtlayacağız. Varsayın ki k < n için T(k) ≤ ck 2 olsun: T (n) = 4 T (n / 2) + n ≤ 4 c(n / 2)2 + n = cn 2 – (– n ) [ istenen –kalan ] ≤ cn 2 September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 31

Daha sıkı bir üst sınır? T(n) = O(n 2) olduğunu kanıtlayacağız. Varsayın ki k < n için T(k) ≤ ck 2 olsun: T (n) = 4 T (n / 2) + n ≤ 4 c(n / 2)2 + n = cn 2 – (– n ) ≤ cn 2 Yanlış c > 0 için eşitsizlik doğru değildir. Kaybettik. September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 32

Üst Sınır Belirleme

Özyineleme-ağacı metodu • Özyineleme-ağacı, bir algoritmadaki özyineleme uygulamasının maliyetini (zamanı) modeller. • Özyineleme-ağacı metodu, bazen güvenilir olmayabilir. • Öte yandan özyineleme-ağacı metodu "öngörü" olgusunu geliştirir. • Özyineleme-ağacı metodu "yerine koyma metodu" için gerekli tahminlemelerde yararlıdır. September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 34

Özyineleme-ağacı metodu

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n 2: n 2 (n/4)2 (n/8)2 (n/2)2 (n/8)2 5 n 2 16 (n/4)2 … (n/16)2 n 2 Θ(1) September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 43

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n 2: n 2 (n/4)2 (n/8)2 (n/4)2 5 n 2 16 25 n 2 256 … (n/8)2 (n/2)2 … (n/16)2 n 2 Θ(1) September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 44

Özyineleme-ağacı örneği T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n 2: n 2 (n/2)2 (n/4)2 (n/8)2 (n/4)2 Θ(1) September 12, 2005 5 n 2 16 25 n 2 256 … (n/8)2 … (n/16)2 n 2 Toplam Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson

Ana Metod (The Master Method) Ana method aşağıda belirtilen yapıdaki yinelemelere uygulanır: T(n) = a T(n/b) + f (n) , burada a ≥ 1, b > 1, ve f asimptotik olarak pozitiftir. September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 46

Üç yaygın uygulama f (n)'i nlogba ile karşılaştırın: 1. Daha küçük olma durumu f (n) = O(nlogba – ε) ε > 0 sabiti durumunda • f (n) polinomsal olarak nlogba göre daha yavaş büyür (nε faktörü oranında). ÇÖZÜM: T(n) = Θ(nlogba). September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 47

Üç yaygın uygulama f (n)'i nlogba ile karşılaştırın: 1. f (n) = O(nlogba – ε) ε > 0 sabiti durumunda; • f (n) polinomsal olarak nlogba göre daha yavaş büyür(nε faktörü oranında). Çözüm: T(n) = Θ(nlogba). 2. Yaklaşık eşit olma durumu f (n) = Θ(nlogba ) • f (n) ve nlogba benzer oranlarda büyürler. Çözüm: T(n) = Θ(nlogba lgn). September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 48

Üç yaygın uygulama f (n)'i nlogba ile karşılaştırın: 3. Daha büyük olma durumu f (n) = Ω(nlogba + ε) ε > 0 sabiti durumunda; • f (n) polinomsal olarak nlogba 'ye göre daha hızlı büyür ( nε faktörü oranında), ve f (n), düzenlilik koşulunu af (n/b) ≤ cf (n) durumunda, c < 1 olmak kaydıyla karşılar. Çözüm: T(n) = Θ(f (n)). September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 49

Örnekler Örnek. T(n) = 4 T(n/2) + n a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n 2; f (n) = n. Durum 1: f (n) = O(n 2 – ε) ε = 1 için. ∴ T(n) = Θ(n 2). September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 50

Örnekler Ör. T(n) = 4 T(n/2) + n a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n 2; f (n) = n. Durum 1: f (n) = O(n 2 – ε) ε = 1 için. ∴ T(n) = Θ(n 2). Ör. T(n) = 4 T(n/2) + n 2 a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n 2; f (n) = n 2. Durum 2: f (n) = Θ(n 2) olduğu için ∴ T(n) = Θ(n 2 lg n). September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 51

Örnekler Ör. T(n) = 4 T(n/2) + n 3 a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n 2; f (n) = n 3. DURUM 3: f (n) = Ω(n 2 + ε) ε = 1 için ve 4(n/2)3 ≤ cn 3 (düz. koş. ) c = 1/2 için. ∴ T(n) = Θ(n 3). September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 52

Örnekler Ör. T(n) = 4 T(n/2) + n 3 a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n 2; f (n) = n 3. DURUM 3: f (n) = Ω(n 2 + ε) ε = 1 için ve 4(n/2)3 ≤ cn 3 (düz. koş. ) c = 1/2 için. ∴ T(n) = Θ(n 3). Ör. T(n) = 4 T(n/2) + n 2/lg n a = 4, b = 2 ⇒ nlogba = n 2; f (n) = n 2/lg n. Ana metod geçerli değil. Özellikle, ε > 0 olan sabitler için nε = ω(lg n) elde edilir. September 12, 2005 Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 53

Ana Teorem İspata Giriş

Appendix/EK: Geometrik seriler 2 1 + x +. . . + x 2 1 + x +. . . = September 12, 2005 n n+1 1− x ; x ≠ 1 için = 1− x 1 ; |x| < 1 için 1− x Copyright © 2001 -5 Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L 2. 55