3 Experiments with Orthogonal Arrays 1 Methods of

第 3章 直交表實驗 Experiments with Orthogonal Arrays 1. 實驗設計法（Methods of Experimental Design） 2. 實驗模式的建構（Building of Empirical Models） 3. 加法模式（Additive Models） 4. 含交互作用的加法模式（Additive Models with Interactions） 5. 直交表概觀（Overview of Orthogonal Arrays） QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU

第 3. 1節 實驗設計法 Methods of Experimental Design 3. 1 -1 試誤法（Trial-and-Error） 3. 1 -2 一次一因子實驗法（One-Factor-at-a-Time） 3. 1 -3 全因子實驗法（Full-Factorial Experiments） 3. 1 -4 田口式直交表實驗法（Taguchi’s Orthogonal Arrays） 3. 1 -5 交互作用及可疊加性（Interactions and Additivity） 3. 1 -6 預測最佳設計下的品質特性（Prediction） 3. 1 -7 實驗模式（Empirical Models） QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU

3. 1 -2 一次一因子實驗法 （One-Factor-at-a-Time） 表 3. 1 -1 一次一因子實驗的例子 Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8 A 1 2 1 1 1 B 1 1 2 1 1 1 C 1 1 1 2 1 1 D 1 1 2 1 1 1 E 1 1 1 2 1 1 F 1 1 1 2 1 G 1 1 1 1 2 Why is it a one-factor-at-a-time method? QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU

全因子實驗法 表 3. 1 -4 全因子實驗例子之數據及因子效應 Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Level 1 Level 2 Effect A 1 1 1 1 2 2 2 2 0. 44 0. 99 0. 55 B 1 1 1 1 2 2 2 2 0. 58 0. 84 0. 26 C 1 1 2 2 0. 93 0. 49 -0. 44 QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU D 1 2 1 2 0. 65 0. 77 0. 13 y 0. 43 0. 60 0. 01 0. 18 0. 76 0. 88 0. 21 0. 42 1. 02 1. 13 0. 59 0. 68 1. 29 1. 34 0. 86 0. 96 How to calculate the effect of B?

全因子實驗法 最佳製程參數組合： A 1 B 1 C 2 D 1 QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU

田口式直交表實驗法 表 3. 1 -5 Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 1 1 QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU 4 1 2 1 2 5 1 2 2 1 6 1 2 2 1 7 1 2 2 1 1 2 Which orthogonal array is this?

田口式直交表實驗法 表 3. 1 -6 實驗數據 Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8 A 1 1 2 2 B 1 1 2 2 C 1 1 2 2 1 1 D 1 2 1 2 E 1 2 2 1 F 1 2 2 1 G 1 2 2 1 1 2 y 1. 20 1. 87 2. 09 2. 24 1. 51 1. 82 1. 45 2. 18 Ave = 1. 80 表 3. 1 -7 因子反應表 Level 1 Level 2 Effect A 1. 85 1. 74 -0. 11 B 1. 60 1. 99 0. 39 C 1. 68 1. 92 0. 24 QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU D 1. 56 2. 03 0. 47 E 1. 82 1. 77 -0. 05 F 1. 79 1. 81 0. 02 G 1. 68 1. 92 0. 24 Bias cannot be entirely eliminated. Why?

3. 1 -7 實驗模式（Empirical Models） y y (y Ai y ) (y Bj y ) (y Ck y ) … QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU （3. 1 -2式）

第 3. 2節 實驗模式的建構 Building of Empirical Models 3. 2 -1 廣義線性模式（General Linear Model） 3. 2 -2 兩個控制因子（Two Control Factors） 3. 2 -3 三個控制因子（Three Control Factors） 3. 2 -4 三因子間的交互作用（Three-Factor Interactions） 3. 2 -5 對數轉換：分離變數（Logarithmic Transformation: Separation） 3. 2 -6 加法模式（Additive Model） QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU

廣義線性模式 （3. 2 -7式） QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU

3. 2 -2 兩個控制因子 （Two Control Factors） 表 3. 2 -1 兩個控制因子例子的實驗數據 Exp. x z y 1 2 3 4 1. 2 1. 8 30 40 2. 7 2. 6 3. 5 3. 2 A QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU A -1 -1 +1 +1 B -1 +1 A×B +1 -1 -1 +1 y 2. 7 2. 6 3. 5 3. 2 x 1. 5 0. 3 1. 8 1. 2 2 z 40 30 2 z 35 B 40 30 2 5 表 3. 2 -2 兩個控制因子例子（變數轉換後）的實驗數據 Exp. 1 2 3 4 x 1. 8 1. 2 2

兩個控制因子 表 3. 2 -3 兩個控制因子例子的因子效應分析表 Exp. 1 2 3 4 Level -1 Level +1 A -1 -1 +1 +1 2. 65 3. 35 B -1 +1 3. 1 2. 9 A×B +1 -1 -1 +1 3. 05 2. 95 y 2. 7 2. 6 3. 5 3. 2 Effect 0. 35 -0. 1 -0. 05 3. 00 y 實驗模式： y 3. 0 0. 35 A 0. 10 B 0. 05 A B 上述的實驗模式滿足所有A, B 與y 之間的關係，譬如在A = -1, B = +1時， y 3. 0 0. 35 1 0. 10 1 0. 05 1 1 2. 6 QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU

3. 2 -3 三個控制因子 （Three Control Factors） 表 3. 2 -4 三個控制因子例子的實驗 Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8 Level -1 Level +1 Effect A -1 -1 +1 +1 1. 00 3. 00 1. 00 B -1 -1 +1 +1 2. 50 1. 50 -0. 50 C -1 +1 1. 80 2. 20 0. 20 Ax. B +1 +1 -1 -1 +1 +1 2. 10 1. 90 -0. 10 Bx. C +1 -1 -1 +1 2. 30 1. 70 -0. 30 Cx. A +1 -1 -1 +1 1. 80 2. 20 0. 20 Ax. Bx. C -1 +1 +1 -1 -1 +1 1. 99 2. 01 0. 01 y 1. 09 1. 71 0. 91 0. 29 2. 91 4. 29 2. 51 y 2. 000 實驗模式： y 2. 0 1. 0 A 0. 5 B 0. 2 C 0. 1 A B 0. 3 B C 0. 2 C A 0. 01 A B C QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU

加法模式 (Ai, Bj, Ck) C a(Ai) b(Bj) c(Ck) QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU （3. 2 -15式）

如何證明Eq. 3. 2 -16 使用 3. 2 -14式，我們可以寫下 (A 0, B 0, C 0) C a(A 0) b(B 0) c(C 0) 及 （a式） (Ai, B 0, C 0) C a(Ai) b(B 0) c(C 0) (A 0, Bj, C 0) C a(A 0) b(Bj) c(C 0) （b式） (A 0, B 0, Ck) C a(A 0) b(B 0) c(Ck) 將b式中的每一個式子分別與a式相減，我們可以得到 (Ai, B 0, C 0) (A 0, B 0, C 0) a(Ai) a(A 0) (A 0, Bj, C 0) (A 0, B 0, C 0) b(Bj) b(B 0) (A 0, B 0, Ck) (A 0, B 0, C 0) c(Ck) c(C 0) QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU （c式）

加法模式計算公式的誘導 (A 0, B 0, C 0) 則3. 2 -16式可以寫成 (Ai, Bj, Ck) [ (Ai, B 0, C 0) ] [ (A 0, Bj, C 0) ] [ (A 0, B 0, Ck) ] (Ai, Bj, Ck) Ai Bj Ck QE & DOE, Spring 2016, IUT, NSYSU （3. 2 -17式）