Vrrandissteemide koostamine tekstlesannete phjal III osa T Lepikult

Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal III osa © T. Lepikult, 2003

Liikumisülesanded, ülesanne 1 Ülesanne 1 Kahe linna vaheline kaugus on 600 km. Üks rong läbib selle vahemaa 2 tunni võrra kiiremini kui teine, sest ta kiirus on 10 km/h võrra suurem kui teise rongi kiirus. Leida, kui kaua aega kulub kummalgi rongil ühest linnast teise sõitmiseks. Lahendus Liikumisega seotud ülesannetes tuleb teada kiiruse v, läbitud teepikkuse s ja liikumiseks kulunud aja t vahelist seost. Kiirus v on defineeritud kui läbitud teepikkuse s ja selleks kulutatud aja t suhe: (1) millest järelduvad seosed ja (2) (3)

Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub. . . Tähistame tundides mõõdetud aja, mis kulub esimesel rongil linnadevahelise vahemaa läbimiseks, otsitavaga. Kuna on öeldud, et teisel rongil kulus selle tee läbimiseks 2 tundi rohkem, siis teine otsitav on lihtsalt leitav esimese kaudu: Nüüd avaldame kummagi rongi kiirused. Esimese rongi kiiruseks saame:

Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub. . . Teise rongi kiiruseks saame: Tingimusest, et esimese rongi kiirus oli 10 km/h võrra suurem kui teisel rongil, saame murdvõrrandi otsitava suhtes: Tasub tähele panna, et võrrandi määramispiirkonda ei kuulu otsitava väärtused ja Füüsikaliselt tähendab see seda, et vahemaa läbimiseks kulutatud aeg ei saa olla 0 ega negatiivne.

Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub. . . Võrrandi lahendamiseks vabaneme esmalt murdudest, milleks korrutame selle mõlemad pooled läbi avaldisega

Ülesanne 1 (5) Lahendus jätkub. . . Lahendame saadud ruutvõrrandi: Negatiivne lahend saa olla negatiivne. Teiseks lahendiks on Kontrollime selle sobivust. on võõrlahend, sest aeg ei

Ülesanne 1 (6) Lahendus jätkub. . . Kontrollime lahendi sobivust. Kui esimesel rongil kulus aega 10 tundi, siis saame esimese rongi kiiruseks Teisel rongil kulus 10 + 2 = 12 tundi ja tema kiiruseks saame See on tõesti 10 km/h võrra väiksem esimese rongi kiirusest. Vastus : Esimesel rongil kulub 10 ja teisel 12 tundi.

Ülesanne 2 (1) Ülesanne 2 Laev sõitis mööda jõge 100 km pärivoolu ja 64 km vastuvoolu 9 tunniga. Teisel korral sõitis ta sama aja jooksul 80 km pärija 80 km vastuvoolu. Leida laeva kiirus seisvas vees ja jõe voolukiirus. Lahendus Selle ülesande lahendamisel tuleb arvestada, et absoluutkiiruse leidmiseks tuleb pärivoolu liikumisel laeva kiirusele liita jõe voolukiirus, vastuvoolu liikumisel aga lahutada see. Tähistades laeva kiiruse seisvas vees otsitavaga ja jõe voolukiiruse otsitavaga , saame laeva absoluutkiiruseks pärivoolu liikumisel , vastuvoolu aga

Ülesanne 2 (2) Lahendus jätkub. . . Esimesel korral pärivoolu sõitmiseks kulunud aja leidmiseks tuleb teepikkus jagada kiirusega (vt. valem (3)): ja vastuvoolu liikumiseks kulunud aja avaldiseks saame: Kokku kulus esimesel korral 9 tundi, seega

Ülesanne 2 (3) Lahendus jätkub. . . Ka teisel etapil kulus laeval sõitmiseks kokku 9 tundi, üksnes vastu- ja pärivoolu liikumise teepikkused olid erinevad. Saame analoogse murdvõrrandi ja suhtes: Otsitavate süsteemi: ja määramiseks saime murdvõrrandite

Ülesanne 2 (4) Lahendus jätkub. . . Võrrandisüsteemi lahendamiseks tähistame tundmatud teisiti: (laeva absoluutkiiruse pöördväärtus pärivoolu sõitmisel) (laeva absoluutkiiruse pöördväärtus vastuvoolu sõitmisel) Uute tundmatute x ja y suhtes saame esialgse süsteemi asemele juba lineaarse võrrandisüsteemi:

Ülesanne 2 (5) Lahendus jätkub. . . Selle võrrandisüsteemi lahendamiseks korrutame ülemise võrrandi 10 -ga, alumise 8 -ga ja lahutame ülemisest alumise: –

Ülesanne 2 (6) Lahendus jätkub. . . Teise abitundmatu, x leidmiseks asendame võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse leitud y-väärtuse ja avaldame saadud seosest x: Algsete otsitavate, ja väärtuste leidmiseks kasutame leitud x ja y väärtusi seostes, mille abil me nad defineerisime:

Ülesanne 2 (7) Lahendus jätkub. . . Ehkki tulemuseks on jällegi murdvõrrandite süsteem, on see siiski lihtsalt taandatav lineaarvõrrandite süsteemiks, kasutades võrde põhiomadust: Selle süsteemi lahendamiseks liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled: +

Ülesanne 2 (8) Lahendus jätkub. . . Võrrandisüsteemi esimesest võrrandist saame nüüd leida teise tundmatu: Jääb üle saadud lahendit kontrollida. Vastuvoolu liigub laev kiirusega 18 – 2 = 16 km/h ja pärivoolu kiirusega 18 + 2 = 20 km/h. Esimesel reisil kulub tal pärivoolu liikumiseks 100 / 20 = 5 tundi ja vastuvoolu sõitmiseks 64 / 16 = 4 tundi. Kokku kulub esimesel reisil 5 + 4 = 9 tundi. Teisel reisil kulub tal pärivoolu liikumiseks 80 / 20 = 4 tundi ja vastuvoolu sõitmiseks 80 / 16 = 5 tundi. Kokku kulub teisel reisil 4 + 5 = 9 tundi.

Ülesanne 2 (9) Kontroll klappis, võime kirjutada vastuse. Vastus : Laeva kiirus seisvas vees on 18 km/h ja jõe voolukiirus on 2 km/h. Nuputamist füüsikahuvilistele Lahendamisel eeldasime salamisi, et laeva kiirus seisvas vees on suurem kui jõe voolukiirus. Kuskohas seda eeldust kasutasime? Mis muutuks lahenduses, kui kehtiks vastupidine – jõe voolukiirus oleks suurem kui laeva kiirus? Kas ülesanne oleks lahenduv, kui need kiirused oleksid võrdsed?

Ülesanne iseseisvaks lahendamiseks Ülesanne 3 Kaks lennukit stardivad üheaegselt, et lennata punkti, mis on lennuväljast 3600 km kaugusel. Ühe lennuki kiirus on 100 km/h võrra suurem kui teisel ja seetõttu jõuab ta sihtkohta 30 minutit enne teist. Leida kummagi lennuki kiirus. Vastuse vaatamiseks kliki hiirenupuga. . . Vastus :

Võrde põhiomadus Võrdus kehtib parajasti siis, kui Näide