Vrrandissteemide koostamine tekstlesannete phjal I osa T Lepikult

Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal I osa © T. Lepikult, 2003

Leida kaks arvu, ülesanne 1 Ülesanne 1 Kahe arvu korrutis on 30, nende arvude summa 11. Leida need arvud. Lahendus Seda tüüpi ülesannetes vaadeldakse otsitavaid arve tundmatutena ja ülesande tingimuste põhjal tuletatakse võrrandisüsteem tundmatute leidmiseks. Tähistame esimese arvu sümboliga x ja teise sümboliga y. Tingimusest, et arvude korrutis on 30, saame esimese võrrandi:

Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub. . . Tingimusest, et arvude summa on 11, saame teise võrrandi: Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: NB! Võrrandisüsteem ei ole lineaarne (kuna esimeses võrrandis esineb tundmatute korrutis!). Seetõttu ei saa seda lahendada determinantide abil.

Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub. . . Võrrandisüsteemi lahendame asendusvõttega: avaldame ühe tundmatu (ükskõik kumma) lineaarsest võrrandist (teisest võrrandist), asendame saadud avaldise esimesse, mittelineaarsesse võrrandisse ja lahendame saadud ruutvõrrandi. Teise tundmatu väärtuse saame siis juba avaldada teisest (lineaarsest) võrrandist. Avaldame süsteemi teisest võrrandist tundmatu y: Asendame esimeses võrrandis tundmatu y äsjasaadud avaldisega:

Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub. . . Saime tundmatu x määramiseks ruutvõrrandi, mille lahendamiseks teisendame ta esmalt sobivale kujule: Kasutame taandatud ruutvõrrandi lahendivalemit:

Ülesanne 1 (5) Lahendus jätkub. . . Tundmatule x leidsime 2 väärtust. Tundmatu y väärtuste leidmiseks kasutame teist võrrandit: 1) 2) Saadud kaks lahendit on sisuliselt samaväärsed: üks otsitavatest arvudest on 5, teine 6. Kontrollime kas, lahend rahuldab ülesande tingimusi. 1) Arvude korrutis: 2) Arvude summa:

Ülesanne 1 (6) Vastus. . . Osutus, et leitud arvud rahuldavad ülesande tingimusi ja võime välja kirjutada vastuse: Vastus: Otsitavad arvud on 5 ja 6.

Ülesanne 2 Kahe arvu summa suhtub nende korrutisse nagu 4 : 15, samade arvude vahe suhtub nende summasse nagu 1 : 2. Leida need arvud. Lahendus Esimest arvu tähistagu tundmatu x, teist tundmatu y. Esimese tingimuse kohaselt Võrde põhiomaduse põhjal on see võimalik parajasti siis, kui (1)

Ülesanne 2 (2) Teise tingimuse kohaselt Kasutame taas võrde põhiomadust ja saame võrrandi Avame sulud ja toome kõik liikmed võrduse vasakule poolele: (2)

Ülesanne 2 (3) Saadud võrrandid (1) ja (2) moodustavad jällegi mittelineaarse võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: Teisest võrrandist avaldame tundmatu x: ja asendame esimesse võrrandisse:

Ülesanne 2 (4) Saadud ruutvõrrandi lahendamiseks avame sulud ja toome ruutliikme vasakule poole võrdusmärki: Kuna viimases võrrandis võrdub korrutis nulliga, siis peab vähemalt üks teguritest olema null: 1) 2) Võrrandisüsteemi teisest võrrandist

Ülesanne 2 (5) Võrrandisüsteemi teisest võrrandist leiame tundmatu x: 1) 2) Lahend x = 0, y = 0 ei sobi, kuna suhted jäävad sellise lahendi korral määramatuks. ja

Ülesanne 2 (6) Lahend x = 15, y = 5 aga sobib kuna sel korral nagu ülesande seades nõutud oli. Vastus: Otsitavad arvud on 15 ja 5.

Ülesanne 3 Kahe arvu aritmeetiline keskmine on 10 ja geomeetriline keskmine 8. Leida need arvud. Lahendus Esimest arvu tähistame tähega x, teist tähega y. Kuna ülesandes on juttu nende arvude geomeetrilisest keskmisest, siis võime teha järelduse, et kumbki neist arvudest on positiivne, sest geomeetriline keskmine on defineeritud vaid positiivsete arvude jaoks:

Ülesanne 3 (2) Kuna nende arvude aritmeetiline keskmine on 10, siis saame seose: millest järeldub, et (1) Geomeetrilise keskmise määrangu kohaselt millest saame mõlemaid võrduse pooli ruutu võttes: (2)

Ülesanne 3 (3) Võrrandid (1) ja (2) on vaadeldavad võrrandisüsteemina tundmatute x ja y määramiseks: Saadud süsteemi lahendamisel avaldame esimesest võrrandist tundmatu x: ja kasutame saadud avaldist teises võrrandis:

Ülesanne 3 (4) Saadud ruutvõrrandi lahendamiseks avame sulud ja viime kõik liikmed võrdusmärgist vasakule: Ruutvõrrandi lahendamisel kasutame taandatud võrrandi lahendivalemit: Lahendid on:

Ülesanne 3 (5) Võrrandisüsteemi esimesest võrrandist leiame nüüd tundmatu x väärtused: 1) 2) Kontroll: 1) leitud arvude aritmeetiline keskmine: 2) leitud arvude geomeetriline keskmine: Kontroll näitas, et arvud sobivad.

Ülesanne 3 (6) Vastus: Otsitavad arvud on 16 ja 4.

Võrde põhiomadus Võrdus kehtib parajasti siis, kui Näide

Aritmeetiline keskmine Arvude nimetatakse arvu aritmeetiliseks keskmiseks Näide Võistleja saavutas kaugushüppes tulemused 7, 49 m, 7, 71 m ja 7, 54 m. Tulemuste aritmeetiline keskmine on: m.

Geomeetriline keskmine Positiivsete arvude nimetatakse arvu geomeetriliseks keskmiseks. Näide Risttahuka servade pikkused sentimeetrites on 1, 2 ja 4. Servade pikkuste geomeetriline keskmine on cm. Toodud näites võib geomeetrilise keskmise leidmist tõlgendada antud risttahukaga võrdse ruumalaga kuubi serva pikkuse leidmisena.