Volatiliteetin ja korrelaation ennustaminen Markus Porthin markus porthinhut

Volatiliteetin ja korrelaation ennustaminen Markus Porthin markus. porthin@hut. fi S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 1

Johdanto • Volatiliteetti muuttuu ajan mukaan S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 2

Johdanto • Tavallinen otoskeskihajonta ei kelpaa, koska se ei kuvaa volatiliteetin aikariippuvuutta • Kaksi tapaa ennustaa volatiliteettia – aikasarja-analyysi – epäsuora volatiliteetti (implied volatility) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 3

Aikasarja-analyysi • Liukuva keskiarvo (MA) • Yleistetty autoregressiivinen heteroskedastinen malli (GARCH) • Eksponentiaalisesti painotettu liukuva keskiarvo (EWMA) • ym. S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 4

Liukuva keskiarvo • Lasketaan M: n viimeisen päivän tuottojen varianssi olettaen E(ri) = 0: • Tyypillinen havaintojen määrä eli ikkunan pituus on M = 20 (noin kuukausi) tai M = 60 (noin kolme kuukautta) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 5

Volatiliteettiennusteet liukuvan keskiarvon menetelmällä ($/£) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 6

Liukuvan ikkunan pituuden valinta • Pitkä ikkuna (suuri M) – stabiili ja tarkka estimaatti – volatiliteetin todellisia heilahteluja ei havaita • Lyhyt ikkuna (pieni M) – yksittäisille havainnoille suuri paino – voimakas heilahtelu – nopea reagointi volatiliteetin todellisiin muutoksiin • Mikä kannattaa valita? S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 7

Liukuvan keskiarvon heikkoudet • Havaintojen dynaamista järjestystä ei oteta huomioon; kaikilla havainnoilla sama paino • Estimaatti ei muutu voimakkaasti ainoastaan, kun poikkeava arvo havaitaan, vaan myös M päivän kuluttua (haamuefekti) => Kuvaajassa havaitaan ikkunan pituisia tasaisia kohtia S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 8

GARCH Yleistetty autoregressiivinen heteroskedastinen malli • Ehdollisen varianssin oletetaan riippuvan uusimmista havainnoista ja aikaisemmista ehdollisista variansseista • GARCH(P, Q): S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 9

GARCH(1, 1) • Varianssin keskiarvo eli ehdoton varianssi saadaan asettamalla E(r 2 t-1) = ht-1 = h => • 1 + 1 kutsutaan mallin sitkeydeksi (persistence) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 10

Parametrien estimointi • Maksimoidaan uskottavuusfunktiota • Oletetaan i. i. d. • T havainnon uskottavuusfunktion logaritmi on tällöin • Matlabin Finance toolboxista löytyy valmiita funktioita S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 11

GARCH-volatiliteettiennuste ja tuotto ($/£) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 12

Pitkän aikavälin ennusteet • Volatiliteettia voidaan ekstrapoloida useamman päivän yli • n päivän tuotto ( T – t + 1 = n ): = rt + rt+1 +. . . + r. T-1 + r. T • Oletetaan tuotot keskenään korreloimattomiksi => 2 ) = E (r 2 ) +. . . + (r -1 t, T t-1 t+1 2 ) + E (r 2 ) (r 1 T-1 t-1 T rt, T Et Et- S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 13

Pitkän aikavälin ennusteet • Ylihuomisen GARCH-ennuste saadaan huomisen ennusteen avulla: 2 ) = E ( + r 2 + h ) (r -1 t+1 t-1 0 1 t t = 0 + 1 ht + ht • Sitä seuraavan päivän ennuste: Et-1(r 2 t+2) = Et-2( 0 + 1 r 2 t+1 + ht+1) = 0 + ( 1 + )[ 0 + ( 1 + )ht] Et S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 14

Pitkän aikavälin ennusteet • Varianssin ennuste hetkelle T: • Kokonaisvarianssiksi n päivän ajalta saadaan: S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 15

Pitkän aikavälin ennusteet • Jos aloitetaan pitkän aikavälin keskiarvosta, , lauseke supistuu muotoon: => Va. R(n päivää) = Va. R(1 päivä) => -sääntö yliarvioi Va. R: n jos ht>h ja aliarvioi jos ht<h S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 16

Sitkeysparametrin ( 1 + ) vaikutus pitkän aikavälin ennusteisiin S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 17

Eksponentiaalisesti painotettu liukuva keskiarvo (EWMA) • ht = ht-1 + (1 - )r 2 t-1 = vaimennuskerroin (decay factor) • Korvaamalla ht-1 rekursiivisesti saadaan ht = (1 - )(r 2 t-1 + r 2 t-2 + 2 r 2 t-3 +. . . ) • Erikoistapaus GARCH-menetelmästä parametreilla 0 = 0, 1 + = 1 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 18

EWMAn ominaisuuksia • Antaa lähes saman lopputuloksen kuin GARCH • Sisältää vain yhden parametrin => helppo käsitellä • estimoitava periaatteessa uskottavuusfunktion avulla, käytännössä = 0, 94 hyvä arvo päivittäiselle datalle S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 19

EWMA pidemmille aikaväleille • Sitkeysparametri = 1 => Et-1(r 2 t+n) = Et-1(r 2 t) n>0 (ei vastaa todellisuutta) => tarvitaan toinen lähestymistapa • 25 päivän volatiliteetin ennuste: h´t = h´t-1 + (1 - )s 2 t-1 = – = 0, 97 osoittautunut sopivaksi (J. P. Morgan) – helppokäyttöinen – inkonsistentti päivittäisen EWMAn kanssa – haamuefekti S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 20

Epäsuora volatiliteetti • Osakkeen keskimääräinen volatiliteetti lasketaan option hinnasta käyttäen Black-Scholesin kaavaa ( S = osakkeen hinta, f = option hinta, r = riskitön korko ) • Option hinnassa kaikki saatavissa oleva informaatio => ennustaa muutoksia paremmin kuin aikasarjamenetelmät S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 21

Volatiliteettiennusteiden vertailu ($/£) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 22

Korrelaatioiden mallintaminen • liukuva keskiarvo: • GARCH – liian monta parametria • EWMA: h 12, t = h 12, t-1 + (1 - )r 1, t-1 r 2, t-1 => • Korrelaatiot kasvavat yleensä epävakaina ajanjaksoina S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 23

Korrelaatioennusteita $/£ vs. $/DM S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 24

Kotitehtävä Laske NYSE: n Industrial-indeksille ajalle 2. 1. 1990 31. 12. 1998 seuraavan päivän volatiliteetin estimaatti käyttäen seuraavia menetelmiä: • MA(20) ja MA(60) • EWMA, kun =0, 94 Piirrä kuvaaja estimaateista. Miten ne eroavat toisistaan? Mikä on paras? Miksi? Indeksin päivittäiset viimeiset hinnat löytyvät tiedostosta http: //www. unifr. ch/econophysics/data/nya 90 -98. txt (Kannattaa käyttää esim. Exceliä tai Matlabia. . . ) S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 6 - Markus Porthin Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 25