Uvod Jedan od naina prenoenja energije kroz prostor

Uvod Jedan od načina prenošenja energije kroz prostor je valovito gibanje. Valovi koji se šire kroz elastična sredstva su mehanički valovi. • Transverzalni val nastaje ako čestice koje prenose val titraju okomito na smjer širenja vala (val na užetu). • Longitudinalni val nastaje ako čestice titraju oko položaja ravnoteže na pravcu kojim se širi val (na opruzi). Primjer: zvučni valovi! Mehanički valovi 1

• Progresivni val giba se u određenom smjeru i pritom se energija prenosi sa čestice na česticu. • Stojni val je takav val kod kojeg neke čestice titraju, a neke stalno miruju. Suprotno progresivnom valu, pri stojnom se valu energija ne širi prostorom. • Valni paket je valno gibanje ograničeno na određeni dio prostora x. • Dok čestica napravi jedan puni titraj, val prevali određeni put koji zovemo valna duljina . • Fazna brzina vala (njom se širi određena faza vala) povezana je s valnom duljinom i frekvencijom, v= f. • Brzina vala ovisi o osobinama sredstva kroz koje prolazi. Brzina i valna duljina se mijenjaju, ali frekvencija ostaje ista. • Brzina širenja energije zove se grupna brzina. Mehanički valovi 2

Mehanički valovi 3

• Razlika u fazi između titranja čestice udaljene od izvora vala za x i titranja čestice u izvoru vala je: Veličina k=2 / naziva valni broj. 1. Linearni – val na žici 2. Površinski – val na vodi, kombinacija longitudinalnih i transverzalnih valova 3. Prostorni – zvučni val Mehanički valovi 4

Širenje valova u sredstvu Širenje poremećaja (vala) nije identično s gibanjem čestica sredstva kroz koje se poremećaj širi. Brzina pomicanja čestica u mnogo je manja od brzine širenja poremećaja v. • Transverzalne poremećaje možemo promatrati na zategnutoj žici. U t=0 damo mali transverzalni pomak brzinom u, taj se poremećaj širi brzinom v i nakon vremena t stići će u točku T. F F Fs ut vt T Mehanički valovi 5

• Širenje longitudinalnih poremećaja u čvrstom tijelu možemo promatrati na štapu duljine l, presjeka S i gustoće . U trenutku t=0 udarimo jedan kraj štapa, nastaje longitudinalna deformacija opisana Hookeovim zakonom (v je brzina širenja poremećaja, a u brzina kojom se cijeli štap pomakne za l). l F Mehanički valovi 6

Brzina longitudinalnih poremećaja u fluidu: p. S Mehanički valovi 7

Matematički opis valnog gibanja • Pretpostavimo da u izvoru vala čestica harmonički titra: • Na udaljenost x od ishodišta val dolazi nakon vremena t, . Čestica na mjestu x titra istom frekvencijom, ali s razlikom u fazi prema izvoru. Jednadžbe ravnog vala koji se širi u pozitivnom smjeru osi x. Mehanički valovi 8

• Ako se val umjesto po osi x, širi po nekom drugom pravcu, čiji je smjer određen jedinicnim vektorom u, valna je funkcija: • Budući da je ei t=cos t+isin t slijedi: • Jednadžba sfernog vala (valne fronte kugline plohe), a amplituda se smanjuje kao funkcija 1/r: • Ako postoji apsorpcija: Mehanički valovi 9

Jednadžba transverzalnog vala na žici Neka je linearna gustoća, F sila kojom je žica zategnuta. Ako žica ne titra, sile na suprotnim krajevima se poništavaju. Ako se kroz žicu širi transverzalni val postoji rezultantna sila. Mehanički valovi 10

Rezultantna sila u transverzalnom smjeru Mali kutovi! Drugi Newtonov zakon Diferencijalna valna jednadžba za transverzalne valove Mehanički valovi 11

Posebno rješenje valne jednadžbe je sinusoidalni val koji se prostire u smjeru osi x. On nastaje kada izvor vala harmonički titra. Mehanički valovi 12

Superpozicija valova: Primjer: površinski valovi na vodi. Ustitramo li površinu vode pomoću vibratora na koji je spojen šiljak što dodiruje površinu vode, od izvora će se širiti kružni val. Ako imamo dva takva točkasta izvora jedan blizu drugoga, opazit ćemo da se površina vode djelomično giba, a djelomično miruje. Rezultantni val ima istu frekvenciju, ali različitu amplitudu. Za =0 amplituda je maksimalna, 2 A. Mehanički valovi 13

Interferencija valova iz dva izvora: S 1 d r 1 P r 2 S 2 dsin =r 1 -r 2 Konstruktivna Destruktivna Mehanički valovi 14

Destruktivna interferencija, = , 3 , 5 … Konstruktivna interferencija, je višekratnik od 2 Mehanički valovi 15

• Promatramo li ravni val koji na površini vode nailazi na pukotinu čija je širina manja od valne duljine, iza kugle ćemo opaziti kuglasti val. Pukotina se ponaša kao izvor novog kuglastog vala. Mehanički valovi 16

• Ako je pukotina široka, mnogo šira od valne duljine, tada iz dijela valne fronte koja dođe na pukotinu nastaje mnogo elementarnih valova čijom superpozicijom iza pukotine nastaju valne fronte – dobivamo geometrijsku sliku pukotine. Mehanički valovi 17

Sinusoidalni valovi s(x, t)=ei(kx± t) nisu lokalizirani u prostoru već se prostiru od - do +. Valni paket je valno gibanje lokalizirano u prostoru. Valne pakete možemo dobiti interferencijom sinusoidalnih valova (prikladnim odabirom valova možemo postići konstruktivnu interferenciju na jednom mjestu, a u svim ostalim točkama imamo destruktivnu interferenciju). Brzina v= /k harmoničkog vala zove se fazna brzina jer je to brzina kojom se širi faza vala ( t-kx). Međutim, ako je grupa valova nastala superpozicijom harmoničkih valova, takvo se valno gibanje širi grupnom brzinom vg, a pojedine komponente imaju faznu brzinu v. Mehanički valovi 18

Ako je fazna brzina svake komponente jednaka, onda je grupna brzina jednaka faznoj brzini. Mehanički valovi 19

It should be noted that while Einstein's theory of special relativity prevents (real) mass, energy, or information from traveling faster than the speed of light c (Lorentz et al. 1952, Brillouin and Sommerfeld 1960, Born and Wolf 1999, Landau and Lifschitz 1997), there is nothing preventing "apparent" motion faster than c (or, in fact, with negative speeds, implying arrival at a destination before leaving the origin). For example, the phase velocity and group velocity of a wave may exceed the speed of light, but in such cases, no energy or information actually travels faster than c. Experiments showing group velocities greater than c include that of Wang et al. (2000), who produced a laser pulse in atomic cesium gas with a group velocity of. In each case, the observed superluminal propagation is not at odds with causality, and is instead a consequence of classical interference between its constituent frequency components in a region of anomalous dispersion (Wang et al. 2000). Mehanički valovi 20

Refleksija valova Promatramo širenje valova (1 D) na zategnutom užetu. Ako je uže pričvršćeno na jednom kraju, poremećaj će se reflektirati. Pritom nastaje promjena faze za . Ako kraj debelog užeta spojimo s tankom uzicom, na spoju se reflektira s istom fazom. http: //id. mind. net/~zona/mstm/physics/wave. Reflection/Wave. Reflection. Fixed. End 1. html http: //id. mind. net/~zona/mstm/physics/wave. Reflection/Wave. Reflection. Open. End 1. html Mehanički valovi 21

Kada val upada na granicu između dva sredstva, jedan se dio energije vala reflektira, a ostatak prelazi u drugo sredstvo; od upadnog vala nastaje reflektirani i transmitirani val. Pri refleksiji na gušćem sredstvu reflektirani val je pomaknut u fazi za prema upadnome, a pri refleksiji na rjeđem sredstvu nema pomaka u fazi. Također, pri refleksiji od čvrste zapreke nema transmitiranog vala, a reflektirani val ima istu amplitudu kao upadni, samo pomaknut u fazi, dok pri refleksiji na slobodnom kraju upadni i reflektirani val imaju jednake amplitude i faze. Mehanički valovi 22

Kada val upada na granicu između dva sredstva (mijenja se gustoća, npr. spoj dvaju užeta različite debljine), jedan dio energije val reflektira, a ostatak prelazi u sredstvo; od upadnog vala nastaje reflektirani i transmitirani val. Elongacija s(x, t) mora svugdje biti neprekinuta funkcija Točka u kojoj se mijenja gustoća! x=0 Za x=0 val se dijeli! x Nagib jednak!!! Mehanički valovi 23

X=0 Mehanički valovi 24