Transformasi Linier Transformasi Linier Umum Definisi Jika T

Transformasi Linier

Transformasi Linier Umum Definisi Jika T : V W adalah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W, maka T disebut suatu transformasi linier dari V ke W jika untuk semua vektor u dan v di V dan untuk semua skalar k berlaku a. T(u+v) = T(u) + T(v) b. T(ku) = k. T(u) Contoh 1 T : R 2 P 2 didefinisikan sebagai T((a, b)) = a+b+ (a-b)x+bx 2. Apakah T transformasi linier? Solusi Misal a = (a 1, a 2), b = (b 1, b 2) adalah vektor-vektor di R 2 , dan k suatu skalar a. T(a+b) = T(a)+T(b) ? b. T(ka) = k. T(a) ? 31 October 2020 System of Linear Equations 2

Transformasi Linier Umum Solusi (lanjutan) a. T(a+b) = T(a 1+b 1, a 2+b 2) = (a 1+b 1+ a 2+b 2)+(a 1+b 1 - a 2 -b 2)x +(a 2+b 2)x 2 = (a 1+ a 2)+(a 1 - a 2)x +a 2 x 2+ b 1+b 2+(b 1 -b 2)x + b 2 x 2 = T(a) + T(b) b. T(ka) = T(ka 1, ka 2) = (ka 1+ka 2)+ (ka 1 -ka 2)x + ka 2 x 2 = k((a 1+a 2)+ (a 1 -a 2)x + a 2 x 2) = k. T(a) T : adalah transformasi linier 31 October 2020 System of Linear Equations 3

Transformasi Linier Umum Contoh 2 Tentukan T : proyeksi setiap vektor di R 3 dengan hasil kali dalam Euclid ke xy-bidang Solusi W : bidang xy Basis ortonormal bagi W Untuk setiap vektor z=(a, b, c) di R 3, proyaksi dari z ke bidang xy diberikan oleh formula T(z) = <z, u>u+ <z, v>v =(a, b, 0) Dapat ditunjukkan bahwa T((a, b, c)) = (a, b, 0) adalah transformasi linier 31 October 2020 System of Linear Equations 4

Transformasi Linier Umum Contoh 3 Jika T : R 2 R 3 adalah transformasi linier dengan T((1, 1))= (1, 2, 3) and T((1, -1)) = (1, 1, 1) a. tentukan T((2, 3)) b. tentukan formula untuk T((a, b)) Solusi Misalkan a = (a 1, a 2), b = (b 1, b 2) adalah vektor-vektor di R 2 , karena T transformasi linier , maka T(a+b) = T(a)+T(b) dan T(ka) = k. T(a) a. T((2, 3)) = ? Akan ditentukan k 1 dan k 2 sehingga (2, 3) = k 1(1, 1)+k 2(1, -1) Sistem persamaan linier 31 October 2020 K 1= 2, 5 , k 2 =-0, 5 System of Linear Equations 5

Transformasi Linier Umum Solusi (lanjutan) a. T((2, 3)) = T(k 1(1, 1)+k 2(1, -1)) = T (k 1(1, 1))+T(k 2(1, -1)) = k 1 T ((1, 1))+k 2 T((1, -1)) T(a+b) =T(a)+T(b) = 2. 5 (1, 2, 3)-0. 5(1, 1, 1) T(ka) =k. T(a) = (2, 4. 5, 7) b. (a, b) = k 1(1, 1)+k 2(1, -1) T((a, b)) k 1=(a+b)/2 , k 2 = (a-b)/2 = k 1 T ((1, 1))+k 2 T((1, -1)) = (a+b)/2 (1, 2, 3)+ (a-b)/2 (1, 1, 1) = (a, 3 a/2 + b/2, 2 a+b) 31 October 2020 System of Linear Equations 6

Latihan 1. T : M 22 ddidefinisikan sebagai T(A) = At. Apakah T transformasi linier? 2. T : R 2 P 2 adalah transformasi linier dengan T((1, 2))=1+X-X 2 dan T((1, 1))= 1+X 2 Tentukan formula T((a, b) 31 October 2020 System of Linear Equations 7