TRANSFORMASI LINIER BUDI DARMA SETIAWAN PEMETAAN VEKTOR Jika

TRANSFORMASI LINIER BUDI DARMA SETIAWAN

PEMETAAN VEKTOR • Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sutu fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor yang terletak di V, maka dikatakan F memetakan V di dalam W. • F: V W • Jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka w = F(v) • w adalah bayangan dari v dibawah F • Ruang vektor V dikatakan domain F

CONTOH PEMETAAN VEKTOR • Misalkan v = (x, y) adalah suatu vektor di R 2 Dan ada sebuah fungsi F(v) = (x, x + y, x - y) yang memetakan R 2 ke R 3 Maka jika v = (1, 1) tentukan F(v)!

TRANSFORMASI LINIER • Jika F: V W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan transformasi linier jika: – F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di V – F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k

CONTOH • Misalkan F: R 2 adalah fungsi yang didefinisikan oleh F(v) = (2 x, y) dengan v = (x, y) di R 2. buktikan bahwa F merupakan transformasi linier

Jawab • Misalkan u = (x 1, y 1) dan v = (x 2, y 2) • Bukti pertama: F(u + v) = F((x 1, y 1) + (x 2, y 2)) = F(x 1+x 2, y 1+y 2) = (2(x 1+x 2), (y 1+y 2)) = ((2 x 1, y 1) + (2 x 2, y 2)) F(u + v) = F(u) + F(v) => terbukti

• Bukti kedua: F(ku) = F(kx 1, ky 1) = (2 kx 1, ky 1) = k (2 x 1, y 1) F(ku) = k F(u) => terbukti Jadi F adalah trasnformasi linier

SOAL • Misalkan F: R 2 R 3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh F(v) = (x, x+y, x-y) dengan v = (x, y) di R 2. Buktikan bahwa F merupakan transformasi linier • Buktikan linieritas transformasi T: R 2 R 3 dengan T(x, y) = (2 x+y, x-3 y, 3 x+1)

MATRIKS TRANSFORMASI • Misalkan A adalah suatu matriks berorde m’n. Jika notasi matriks digunakan untuk vektor di Rm dan Rn, maka dapat didefinisikan suatu fungsi T: Rn Rm dengan T(x) = Ax Jika x adalah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1; jadi T memetakan Rn ke dalam Rm dan T linier

*teorema • Jika T: Rn Rm adalah transformasi linier, dan jika e 1, e 2, …, en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalah perkilaan oleh A atau T(x) = Ax dimana A adalah matriks yang mempunyai vektor kolom T(e 1), T(e 2), . . , T(e 3)

CONTOH • Carilah matriks baku (A) untuk tranformasi T: R 3 R 2 yang didefinisikan oleh T(x) = (x 1+x 2, x 2+x 3), untuk setiap x = (x 1, x 2, x 3) dalam Rn

jawab • T: R 3 R 2 • Basis baku dari R 3 adalah: – e 1 = (1, 0, 0) T(e 1) = (1 + 0, 0 + 0) = (1, 0) – e 2 = (0, 1, 0) T(e 2) = (0 + 1, 1 + 0) = (1, 1) – e 2 = (0, 0, 1) T(e 3) = (0 + 0, 0 + 1) = (0, 1) • Maka matriks A nya adalah vektor kolom bentukan dari T(e 1), T(e 2), dan T(e 3), yaitu • Buktikan jawaban tersebut!

SOAL • Misalkan T: R 3 R 2 adalah transformasi matriks, dan misalkan: – T(1, 0, 0) = (1, 1) – T(0, 1, 0) = (3, 0) – T(0, 0, 1) = (4, -7) Hitunglah: a. Matriks transformasinya b. T(1, 3, 8) c. T(x, y, z)

KERNEL DAN JANGKAUAN • Jika T: V W adalah transformasi linier, maka himpunan vektor di V yang dipetakan ke 0, dinamakan dengan kernel (atau ruang nol) dari T. himpunan tersebut dinyatakan oleh ker(T). • Hipunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T).

SIFAT TRANSFORMASI LINIER • Jika T: V W adalah trasnformasi linier, maka – T(0) = 0 – T(-v) = -T(v) untuk semua v di V – T(v-w) = T(v) – T(w) untuk semua v dan w di V

RANK DAN NULITAS • Jika T: V W adalah transformasi linier, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T, dan dimensi kernel dinamakan nulitas T • Jika T: V W adalah trasnformasi linier, maka – Kernel dari T adalah sub-ruang dari V – Jangkauan dari T adalah subruang dari W

TEOREMA DIMENSI • Jika T: V W adalah transformasi linier dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada suatu ruang vektor W, maka: Rank dari T + nulitas dari T = n • Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah n – rank(A)

CONTOH • Diketahui sebuah SPL homogen yang mempunyai ruang pemecahan berdimensi 2 memiliki matriks koefisien sebagai berikut tentukan rank (A)

Jawab • Sesuai teorema sebelumnya bahwa Jika A adalah matriks m x n, maka dimensinya didefinisikan sebagai: dimensi = n – rank(A) sehingga rank (A) = n – dimensi = 5 – 2 = 3

CONTOH • Tinjaulah basis S = {v 1, v 2, v 3} untuk R 3 dimana v 1 = (1, 1, 1); v 2=(1, 1, 0); v 3=(1, 0, 0), dan misalkan T: R 3 R 2 adalah transformasi linier sehingga T(v 1) = (1, 0); T(v 2) = (2, -1); T(v 3) = (4, 3). Carilah T(2, -3, 5)

jawab • Nyatakan v = (2, -3, 5)sebagai kombinasi linier dari v 1, v 2, dan v 3: v = k 1 v 1 + k 1 v 2 + k 3 v 3 • Didapat k 1=5; k 2=-8; dan k 3=5 • Sehingga: (2, -3, 5) = 5 v 1 – 8 v 2 + 5 v 3 T(2, -3, 5) = 5 T(v 1) – 8 T(v 2) + 5 T(v 3) =5(1, 0) – 8(2, -1) + 5(4, 3) =(9, 23)

TERIMA KASIH