Teora de Conjuntos Prof Carlos Coronel R 1

Teoría de Conjuntos Prof. Carlos Coronel R. 1

Teoría de conjuntos 1. 2. Conjuntos y Subconjuntos Operaciones entre conjuntos l l l 3. 4. Unión Intersección Diferencia de conjuntos Complemento de un conjunto Diferencia Simétrica Leyes de la teoría de conjuntos Diagramas de Venn 2

1. Conjuntos y subconjuntos Un conjunto es una colección o agrupación bien definida de objetos, los cuales presentan una propiedad en común. A estos objetos se llaman elementos y se dice que son miembros del conjunto. Sintaxis: A, B, C, . . Para representar los conjuntos (letras mayúsculas) w, x, y, … Para representar los elementos (letras minúsculas) Ejemplo: A es un conjunto formado por los diez primeros números enteros positivos. Se puede representar por extensión: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … 10} O se puede representar por comprensión: A = {x / x es un entero y 1≤ x ≤ 10} / se lee “tal que” {x /…. …} se lee “el conjunto de todos los x tal que …” 1 A 1 es un elemento del conjunto A -5 A -5 no es un elemento del conjunto A 3

Ejercicios Exprese los siguientes conjuntos por extensión y nombre de que tipo de conjunto se trata: A = {x x 2 – 3 x – 4= 0} Conjunto: _____ B = {x/x = 2 n – 1 Λ x > 17} Conjunto: _____ C = {x/x = 2 n Λ x < 38} Conjunto: _____ D = {x/x = 5 n Λ -9 < x ≤ 15} Conjunto: _____ E = {x/8 x = 27 – x} Conjunto: _____ F = {x/x IN, 11 < x < 12 } Conjunto: _____ 4

Ejercicios Exprese los siguientes conjuntos por comprensión y nombre de que tipo de conjunto se trata: A = {1, 3, 5, 7, 9, …} Conjunto: _____ B = { Ω } Conjunto: _____ C = {1, 4, 9, 16, 25, …} Conjunto: _____ D = {do, re, mi, fa, sol, la, si } Conjunto: _____ E = {a, e, i, o, u} Conjunto: _____ F = { } Conjunto: _____ 5

Al trabajar conjuntos finitos o infinitos, se deben describir los conjuntos en términos de las propiedades que deben satisfacer sus elementos. Ejemplos: Si U = {1, 2, 3, 4, 5, …} el conjunto de los números enteros positivos, sean: A = {1, 4, 9, …, 64, 81} = { x 2 / x U, x 2 < 100} = { x 2 / x U Λ x 2 < 100} = { x U / x 2 < 100} B = {1, 4, 9, 16} = { y 2 / y U, y 2 < 20} = { y 2 / y U Λ y 2 < 23} = { y U / y 2 ≤ 16} C = {2, 4, 6, 8, …} = {2 k / k U } Conjuntos finitos Conjunto infinito 6

Conjunto universal Un conjunto se llama conjunto universal si incluye todos los conjuntos en discusion, y se denota por la letra U. Conjunto Vacío Es un conjunto que carece de elementos. Se llama conjunto vacío, y se representa por Ф o { }. Observe que |Ф| = 0 pero { 0 } Ф , así mismo { Ф } Ф Ejemplo: Si C = { x / x 3 = 8 y x es impar } entonces C = { } V C = Ф Nota : El conjunto vacío está incluido en todo conjunto. 7

Cardinal de un Conjunto: Es el número de elementos de dicho conjunto. |A| = 9 Λ |B| = 4 Definición de Subconjunto: Si C, D son conjuntos del universo U, decimos que C es un subconjunto de D y se escribe : C D si cada elemento de C es un elemento de D. C D D C Si además , D contiene un elemento que no esta en C , entonces C es un subconjunto propio de D y se escribe como: C D. 8

No hay restricciones en cuanto a los objetos que pueden ser miembros de un conjunto. Ejemplos: 1) S = {a, {1, 2}, p, {q}} {q} S el conjunto {q} es miembro de S q {q} el elemento q es miembro del conjunto {q} q S el elemento q no es miembro de S 2) Si A = {{1}, 2, 3}; entonces se cumple: i. {1} A ii. {{1}, 2} A iii. {{1}} A iv. 2 A v. {2, 3} A vi. 1 A 9

Conjuntos Iguales Dos conjuntos A y B son iguales; si y solo si, A B y B A A = B (A B) (B A) A = B x {x/ x A x B} Ejemplos: ü {1, 2, 4} = {1, 2, 2, 4} ü {1, 4, 2} = {1, 2, 4} ü Si P = {{1, 2}, 4} y Q = {1, 2, 4}; entonces: P Q ü {{1}} {1} ü Si U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2} y B = {x/x 2 U }= {1, 2}, entonces A = B 10

Familia de conjuntos Para un conjunto A cualquiera, a la colección o familia de todos los subconjuntos de A se le llama conjunto potencia de A y se denota por (A). Ejemplos: 1) Si M = { 1, 2 } entonces: | M | = 2 ; es decir: M tiene 2 elementos. Luego: (M) = { {1}, {2}, M, Ф }, Luego: Se verifica lo siguiente: | (M)|= 2|M| → 22 = 4 posibles subconjuntos de M 2) Si N = { 1, 2, 3 } → El conjunto M tiene 3 elementos | (N)|= 23 ; hay 8 posibles subconjuntos de N. | Luego: (N) = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, N, Ф } 11

Ejercicios Determine el conjunto potencia de los siguientes conjuntos : P = { Ω, 5 } Q = { 0, {1, 2 } , ∆ } R = { x Z / 3 < x < 5 } 12

Diagrama de Venn Los diagramas de Venn permiten visualizar gráficamente las nociones de conjuntos y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto Universal. 13

Operaciones de Conjuntos y las leyes de la Teoría de Conjuntos 14

Unión de conjuntos La unión de dos conjuntos A y B, que se denota como A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos. A B = {x / (x A) (x B) } De igual forma: A B C = {x / (x A) (x B) (x C)} Nota: La unión de dos conjuntos es conmutativa, asociativa y reflexiva. A A U B B A B A U B 15

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas de Venn respectivos: a) A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 } b) B U C = {0, 2, 4, 5, 6, 8} c) A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 16

Intersección de conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B, se denota como A B, y es el conjunto de todos los elementos que estan contenidos tanto en A como en B. A B = {x / (x A) (x B)} Propiedades: A B = B A A A = A A Ф = Ф Nota: La intersección en conjuntos es asociativa y conmutativa. 17

Intersección de conjuntos 18

Diferencia: Para A, B U, la diferencia de de A en B, se denota por : A - B = {x / x A x B } Y la diferencia de B en A, se denota por : B - A = {x / x B x A } ¿Dibujo? Nota: A – B ≠ B – A 19

Complemento: Para un conjunto A U, el complemento de A se denota por: U - A V A’ V A : A’ = { x / x U x A } 20

Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de A y B se denota como : A B = {x / (x A x B) x A B} A B = {x / (x A B) x A B} 21

Ejercicios: Si: U = {1, 2, 3, …, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B ={3, 4, 5, 6, 7} y C = {7, 8, 9} , calcular las siguientes operaciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) A B = B C = A B = A C = B’ = A – B = B – C = (A B)’ = 22

Ejercicios: Si U = {1, 2, 3, …, 9, 10, 11, 12 }, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B ={1, 3, 5, 7} y C = {6, 8, 10} , calcular las siguientes operaciones: 1. A – (C B) = 2. B’ = 3. (A C) – B = 4. (B – A) C = 5. (C – A) B = 6. (A – B) (B – A) = 7. (A B C) = 8. A’ C’ = 9. U – A = 23

Leyes de la teoría de conjuntos Ley de doble complemento (A’) ’ = A Leyes De Morgan (A B) ’ = A’ B’ Propiedades conmutativas A B = B A 4. Propiedades asociativas A (B C) = (A B) C 5. Propiedades distributivas A (B C) = (A B) (A C) A A = A 6. Propiedades idempotentes A A = A A Ф = A 7. Propiedades del neutro A U = A 24