FUNCIN Sean A y B dos conjuntos no

FUNCIÓN Sean A y B dos conjuntos no vacios. Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B. Se usan indistintamente los símbolos: f: A B ó A f B x y ≡ f(x) para expresar que "f" es una función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B.

Por ejemplo Se tiene entonces: l l l La imagen del elemento a mediante f es 5. Es decir, f(a) = 5 La imagen del elemento b mediante f es 3. Es decir, f(b) = 3 La imagen del elemento c mediante f es 7. Es decir, f(c) = 7 La imagen del elemento d mediante f es 0. Es decir, f(d) = 0 La imagen del elemento e mediante f es 5. Es decir, f(e) = 5.

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN n Sea una función real de variable real. La gráfica de f es el conjunto de puntos tales que la pareja ordenada (x, y) pertenece a f. Es decir, Gráfica de f = { (x, y) / y = f(x), x pertenece D(f) } n La exigencias de la definición que pide que todos los elementos x del conjunto de partida tengan una sola imagen, y= f(x), se traduce en la gráfica de la función de la siguiente manera: ninguna recta vertical puede cortar su gráfica en mas de un punto. (criterio de la recta vertical)

Cinco pasos para el análisis del gráfico de una función n Primer paso: Dominio e Imagen n Segundo paso: Intersección con los ejes n Tercer paso: Signo de la función n Cuarto paso: Crecimiento y decrecimiento n Quinto paso: Pariedad y periodicidad n Sexto paso: Analizar tendencias o Límites (Se verá en otra unidad)

Primer paso: n. Dominio: Domf = { x IR / (x ; y ) f } ej. : Domf= (- ; -3) (-3; 5] n. Imagen: Imagf = { y IR / (x ; y ) f } Ej. : Imagf = IR

Segundo paso: n Intersección con los ejes cartesianos: n Determinar la ORDENADA AL ORIGEN f eje y = { ( 0 ; f( 0 )) } (observar el eje de ORDENADAS) n Determinar los CEROS O RAÍCES f eje x = { (x ; y ) / x IR , y=f(x)= 0} (observar el eje de ABSCISAS)

Tercer paso n. Conjunto de ceros y signo x = x 0 es cero o raíz de f si y solo si f(x 0) = 0 n. Conjunto de ceros de una función C 0= {x domf / f( x ) = 0 } n. Conjunto de positividad de la función C+= {x domf / f( x ) > 0 } n. Conjunto de negatividad de la función C_= {x domf / f( x ) < 0 }

Cuarto paso: Crecimiento y decrecimiento n n f: A B / y = f ( x ) es estrictamente creciente en A si y solo si x 1 A y x 2 A se cumple que: x 1 < x 2 f( x 1) < f( x 2) f: A B / y = f ( x ) es estrictamente decreciente en A si y solo si x 1 A y x 2 A se cumple que: x 1 < x 2 f( x 1) > f( x 2)

Quinto paso: Pariedad y periodicidad n f es par x domf: f( x ) = f( - x ) n f es impar x Domf: f( x ) = - f( - x ) n f es periódica x domf: f( x ) = f( x + k ) K IR

Análisis del gráfico de una función: Dominio: Domf = { x IR / (x ; y ) f } n Imagen Imagf = { y IR / (x ; y ) f } n Intersección con los ejes cartesianos f eje y = { ( 0 ; f( 0 )) } f eje x = { (x ; y ) / x IR , Y = 0} n Conjunto de ceros y signo x = x 0 es cero o raíz de f si y solo si f(x 0) = 0 n Conjunto de ceros de una función C 0= {x domf / f( x ) = 0 } n Conjunto de positividad de la función C+= {x domf / f( x ) > 0 } n Conjunto de negatividad de la función C_= {x domf / f( x ) < 0 } n Crecimientos y Decrecimiento n f: A B / y = f ( x ) es estrictamente creciente en A si y solo si x 1 A y x 2 A se cumple que: x 1 < x 2 f( x 1) < f( x 2) n f: A B / y = f ( x ) es estrictamente decreciente en A si y solo si x 1 A y x 2 A se cumple que: x 1 < x 2 f( x 1) > f( x 2) n Las funciones crecientes o decrecientes, en sentido amplio o estricto, se denominan monótonos. En algunas funciones se da que en parte del dominio es creciente y otra es decreciente. n Pariedad: n f es par x domf : f( x ) = f( - x ) n f es impar x domf : f( x ) = - f( - x ) n Función periódica: f es periódica con priodo K x domf : f( x ) = f( x + k) n

Ahora la tan ansiada tarea: Completar el análisis a las siguientes gráficas de funciones