Ejercicios de Conjuntos Algebra Carola Muoz R 1

Ejercicios de Conjuntos Algebra Carola Muñoz R. 1

Ejercicio • Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe: a) (A B) C = A (B C ) (A B) C = A ( B C )c ----> A B = A Bc = A ( B c Cc ) ----> De Morgan = ( A B c ) Cc ----> Asociando = ( A B ) Cc ----> A B = A Bc =(A B ) C ----> A B = A Bc 2

Ejercicio • Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe: b) A (B C) = ( A B ) (C A) A (B C) = A (B Cc ) ----> A B = A Bc = ( A B ) ( A Cc ) ----> Distribución = ( A B ) ( Ac C ) ----> A B = A Bc = ( A B ) ( C Ac ) ----> Conmutatividad =(A B) (C A) ----> A B = A Bc 3

Ejercicio • Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe: c) A (B C) = ( A B ) (A C ) A (B C) = A (B C ) c ----> A B = A Bc = ( A ( B c Cc ) ----> De Morgan = ( A B c ) ( A Cc ) ----> Distribución =(A B) (A C) ----> A B = A Bc 4

Ejercicio • Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe: d) ( A B) (B A) = ( A B ) (A B) c --> A B = A Bc = ( A B ) (Ac Bc) --> De Morgan = [( A B ) Ac] [( A B ) Bc] --> Distribución = [( A Ac) (B Ac)] [( A Bc) (B Bc)] --> Distrib. = [ (B Ac)] [( A Bc) ] --> Complemento = ( B Ac ) ( A B c ) --> Identidad = ( A Bc ) (B Ac ) --> Conmutatividad = ( A B ) ( B A) --> A B = A Bc

Ejercicio • Usando propiedades, simplifique: a) B [ ( A B )’ ( B A’)’ ] = B [ ( A’ B’ ) ( B’ A) ] ----> De Morgan = B [ ( B’ A’ ) ( B’ A) ] ----> Conmutatividad = B [ B’ ( A’ A ) ] ----> Distribución = B [ B’ U ] ----> Complemento = B B’ ----> Identidad = ----> Complemento 6

Ejercicio • Usando propiedades, simplifique: b) [( A B ) ( A B )]’ = [ ( A B’ ) ( A B) ]’ ----> A B = A B’ = [ ( A B’ )’ ( A B)’ ] ----> De Morgan = [ ( A’ B ) ( A’ B’) ] ----> De Morgan = A’ [ B B’ ] ----> Distributividad = A’ ----> Complemento = A’ ----> Identidad 7

Ejercicio • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta a) |U| = 35 De un total de 35 programadores entrevistados para un trabajo, |F| = 25 25 conocían Fortran, |P| = 28 28 conocían Pascal |P F|’ = 2 y dos no conocían ninguno de estos dos lenguajes; ¿ cuantos conocían ambos lenguajes? |P F| = ? U Conocían al menos un lenguaje: |P F| = |U| – |P F|’ = 35 – 2 = 33 F P 8 20 5 |P F|=|P|+|F|-|P F| | P F | = 28 + 25 - 33 2 | P | | P F | = 28 20 = 8 | F | | P F | = 25 20 = 5 | P F | = 20 8

Ejercicio • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta b) U |U| = 100 Una encuesta a 100 músicos populares mostró que: |I| = 40 40 de ellos usaban guantes en la mano izquierda |D| = 39 y 39 usaban guantes en la mano derecha. |D I|’ = 60 Si 60 de ellos no usaban guantes. |D I| = ? – ¿ cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente? |I D| = ? – ¿ cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente? |D I| = ? – ¿ cuántos usaban guantes en ambas manos? 60 A Usan guantes en al menos una mano -->| D I| = |U| –|D I|’ = 100 – 60 = 40 39 B c) | D B| = |D| + | I | - | D I| = 39 + 40 - 40 = 39 9

D = personas que usan guantes en mano derecha I = personas que usan guantes en mano izquierda U 60 A | D | = 39 | I | = 40 39 1 | D I | = 40 B | D I | = 39 a) ¿ cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente? Gráficamente es |D I|, pero se obtiene a través de la siguiente operatoria = | D| | D I | = 39 = 0 b) ¿ cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente? Gráficamente es |I D|, pero se obtiene a través de la siguiente operatoria = |I | | D I | = 40 39 = 1 c) ¿ cuántos usaban guantes en ambas manos? = | D I | = 39 10

Ejercicio • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta c) U De los 200 estudiantes de nuevo ingreso de una universidad, |U| = 200 98 son mujeres, |M| = 98 60 estudian comunicación |C| = 60 y 60 son mujeres que no estudian comunicación. |M C|= 60 |M C|= ? – ¿ cuántas mujeres estudian comunicación? |M C|’ = ? – ¿ cuántos hombres no estudian comunicación? |C M|= ? – ¿ cuántas hombres estudian comunicación? |M C|= |M| |M C| = 98 60 = 38 M 60 38 |C M|= |C| |M C| =60 38 = 22 22 C 80 |M C|= |M| + |C| |M C| = 98 + 60 – 38 =120 |M C|’ = |U| |M C| = 200 120 = 80 11

Ejercicio • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta c) |U| = 120 En un estudio de 120 consumidores, |A| = 80 80 consumidores indicaron que compran la marca A, |B| = 68 68 compran la marca B, y 42 adquieren ambas. |A B| = 42 |A B| = ? – ¿Cuántos compran al menos una de estas marcas? |A B| = ? – ¿Cuántos compran exactamente una de estas marcas? – ¿Cuántos compran sólo la marca A? |A B| = ? – ¿Cuántos compran ninguna de estas marcas? |A B|’ = ? U |A B| = |A| + |B| |A B| = 80 + 68 42 = 106 A 38 42 |A B| = (|A B| + |B A|) = 38 + ( 68 42) = 64 26 |A B| = |A| |A B| = 80 42 = 38 B 14 |A B|’ = |U| |A B| = 120 106 = 14 12

Ejercicio • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta |U| = 3000 d) De 3000 alumnos de una Universidad 368 utilizan solo su automóvil, |A| |T E| = 368 548 usan el transporte escolar, |E| = 548 274 usan el transporte urbano y su automóvil, |T A| = 274 714 usan su automóvil, |A| = 714 |E| |T A| = 184 usan solo el transporte escolar, 156 usan el transporte urbano y su automóvil pero no el transporte escolar |T A| |T A E| = 156 y 1438 no usan ningún medio de transporte. |T A E|’ = 1438 U T A 368 156 184 E 1438 13

U A 156 368 72 118 490 174 184 E |T A| 156 = 274 156 = 118 T 1438 |A| 368 156 118 = 714 368 156 118 = 72 |E| 184 72 118 = 548 184 72 118 = 174 |A T E| = |U| |A T E|’ = 3000 1438 = 1562 368 156 118 72 174 184 = 490 a) Solo el transporte urbano 490 b) Su automóvil o transporte escolar pero no transporte urbano c) Solo uno de los tres medios de transporte d) Los tres medios de transporte 118 368 + 72 + 184 = 624 368 + 490 + 184 = 1042

Ejercicio • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta e) Una Universidad tiene 1050 alumnos de primer año. |M| = 860 De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física, 388 redacción, |U| = 1050 |F| = 664 |R| = 388 |F M| = 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción |R M| = 270 |F R| = 210 y todos llevan al menos una de las tres asignaturas 15 |M F R| = 1050

Ejercicio • Aplicaciones de conjuntos: Encuesta e) Una Universidad tiene 1050 alumnos de primer año. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física, 388 redacción, 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción y todos llevan al menos una de las tres asignaturas, entonces cuántos alumnos cursan: a) Física y matemáticas pero no redacción b) Solo matemáticas U R M Datos: |U| = 1050 |M|= 860 |F| = 664 |R| = 388 |F M| = 480 |R M| = 270 |F R| = 210 |M F R| = 1050 F M = cursan matemáticas F = cursan física R = cursan redacción

Datos: |U| = 1050 |M|= 860 |F| = 664 |R| = 388 U |F M| = 480 |R M| = 270 |F R| = 210 |M F R| = 1050 R M 208 98 382 |M F R| = |M| + |F| + |R| |F R| |M F| |M R| + |M F R| = |M F R| |M| |F| |R| + |F R|+ |M F| + |M R| = 1050 860 664 388 + 210 + 480 + 270 = 98 |F R| 98 = 210 98 = 112 72 Por propiedades algebraicas se sabe que: |M R| 98 = 270 98 = 172 6 172 F M = cursan matemáticas F = cursan física R = cursan redacción |F M| 98 = 480 98 = 382 |M| 172 98 382 = 860 172 98 382 = 208 |R| 172 98 112 = 388 172 98 112 = 6 |F| 382 98 112 = 664 382 98 112 = 72 17

U R M 208 6 172 98 382 112 72 F a) Física y matemáticas pero no redacción 382 b) Solo matemáticas 208 18