Science Information Andr Hautot Dr Sc ULg http

Science & Information André Hautot, Dr Sc (ULg) http: //www. physinfo. org

1) Informatique & Physique : L'entropie revisitée 2) Physique & Informatique : Limites thermodynamiques du calcul

La Science est l'art de compresser les données CCCTTTAGCTCGCACCCTTGCCTCCTTAC TTCTCCGCCCTGTCCT… Axiome(s) Théorèmes Logique en usage :

L : {}, {0}, {1}, {0, 0}, {0, 1}, {1, 0}, {1, 1}, {0, 0, 0}, … 1 , 2, 3, 4, 5977 5, 6, 7, 8, … 41 Compression sans perte : Z Z Le compresseur universel n’existe pas !

Toutes les suites ne se valent pas ! Ordonnées (" rares ") Désordonnées (" fréquentes ")

Deux versions : Syntaxique : Claude Shannon Utilitaire et effective Sémantique : Andreï Kolmogorov Fondamentale mais non effective

CCCTTTAGCTCGCACCCTTGCCTCCTTAC TTCTCCGCCCTGTCCT 50 Adénine Cytosine Guanine Thymine Code fixe : A 00 G 01 T 10 C 11 111111101010000111101101110011111110 1001111110100011101111101111111100110111110100

CCCTTTAGCTCGCACCCTTGCCTCCTTAC TTCTCCGCCCTGTCCT 50 Code variable : A 010 G 011 T 00 C 1 A (5%) G (15%) T (30%) C (50%) 1110000000100111001011100000111 100110000010100001001101111100 0110083 ℓ = 100 ℓ = 83 (bits)

CCCTTTAGCTCGCACCCTTGCCTCCTTAC TTCTCCGCCCTGTCCT 50 p(A) = 0. 05 p(G) = 0. 15 p(T) = 0. 30 p(C) = 0. 50 (bits/symb) (bits/bit) 83% (Limite de Shannon)

Shannon normalise 111111101010000111101101110011111110 1001111110100011101111101111111100110111110100 ↓ 111000000010011100101110000011 1100000101000010011011111 000110083 72 ‘ 1’ (Redondance) 28 ‘ 0’ 38 ‘ 1’ 45 ‘ 0’ (Normalité)

Une suite (sans doute) normale et pourtant compressible : 101101010000010011110011001111 1110011110010010001011001 011111011000100110111010010 1010111110100111110001110101101111…N pgm = {r=2; s=0; Do[ If[r s+1, Then {r=4(r-s-1), s=2 s+4}, Else {r=4 r, s=2 s}], {i, 0, N} ]; Print[Integer. Digits[s, 2]]

Aléatoire Normale Aléatoire Incompressible Synt & Sém ! Suite qcq Suite normale Synt (Shannon) Suite aléatoire Sém (Kolmogorov)

Description in extenso : q 0=12° 14'25", j 0=… q 1=12° 15'17", j 1=… q 2=12° 16'21", j 2=… … Compression sémantique : x 0=…, y 0=…, vx 0=…, vy 0=…,

P 1, P 2, P 3, …, impriment s Complexité (entropie) algo de s : K(s) = ℓ (Pmin ) ℓg(N) + c K(s. N) N + c (bits) S=11111… 11 (N fois) Do[Print[1], N fois] S=0011101… (aléatoire) Print[s]

K<< K>> K http: //www. physinfo. org/chroniques/complexite. html K n'est, en général, pas calculable par une procédure effective mais parfois elle l'est …

Entropie statistique (Boltzmann) : Entropie algorithmique Si chaos moléculaire, K(Shannon) est optimal

Calcul détaillé (positions uniquement) : p(0) = n/N p(1) = (N-n)/N N cellules n molécules n<<N Shannon :

(Zurek : Phys Rev A 40 (1989), pp 4731 -4751)

For j=1 To mx For k=1 To my Print[(jd, kd, 0), (v, 0, 0)] K(0)=ℓgmx+ ℓgmy+c =ℓgn+c Print[(x 1, y 1 , z 1), (x 2, y 2 , z 2), …, (vx 1, vy 1, vz 1), …] K(t)=6 n+c

Système stable : var(t=0) (1+10^(-9)) + Lois de Newton var(t) (1+10^(-9)) Système chaotique : var(t=0) (1+10^(-9)) + Lois de Newton var(t) (1+10^(-3)) var(t=0) (1+10^(-16)) + Lois de Newton var(t) (1+10^(-9))

S

Retours ? (DS<0 !) Boltzmann: Rares et Ephémères ?

? Rares & Ephémères ? Imprédictibles !

Une suite (sans doute) normale : 101101010000010011110011001111 1110011110010010001011001 011111011000100110111010010 1010111110100111110001110101101111…N Où est l'œuvre de Shakespeare ?

Deux bienfaits de la théorie algorithmique de l'information : Une bonne définition du hasard Une bonne définition de l'entropie … … entraînant un second principe inévitable … étendu à toute la physique et pas seulement la thermo Fin de la 1ère partie