Scattering in Meccanica Classica Sommario Scattering Diffusione Thomson
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Scattering in Meccanica Classica
Sommario • Scattering • Diffusione Thomson e Rayleigh • Sezione d’urto in meccanica classica • Attenuazione • Scattering da una sfera rigida • Sezione d’urto di Rutherford F. Bianchi 2
Scattering (1) • Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere informazioni sulla struttura del sistemi fisici. – Usato ampiamente anche dalla natura. • Archetipo di tutti gli esperimenti di scattering: Visione – Sorgente di luce – Oggetto – Rivelatore di luce • La luce visibile, generata dalla sorgente (Sole, lampada, LED, laser, . . ), viene diffusa dall’oggetto e raccolta dal rivelatore (Occhio, lastra fotografica, CCD, fotomoltiplicatore, . . ). F. Bianchi 3
Scattering (2) • Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia corpuscolare sia ondulatorio: Collisione – Es: Scattering di Onde elettromagnetiche/Fotoni • Effetti della collisione dipendenti da forma, dimensione e struttura interna del bersaglio. • Descrizione della collisione fortemente dipendente dal tipo di bersaglio e dal rapporto fra lunghezza d’onda e dimensioni del bersaglio. • Diffrazione: Forma/Dimensioni di uno schermo/apertura – Trattazione classica • Scattering: Forma/Dimensioni/Struttura di un bersaglio – Trattazione classica sufficiente in qualche caso (Es Antenne) – Trattazione quantistica necessaria a livello microscopico F. Bianchi 4
Scattering di Onde Elettromagnetiche • Collisione con oggetti macroscopici, risposta coerente: – d/l >> 1 ottica geometrica – d/l ~ 1 ottica fisica • Collisione con oggetti microscopici, risposta incoerente: –d~0 scattering Thompson (su elettroni liberi) – d/l << 1 scattering Rayleigh (su elettroni legati) – d/l ~ 1 scattering Mie F. Bianchi 5
Scattering Thomson (1) • Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero • Onda elettromagnetica incidente lungo la direzione dell’asse z: onda piana, polarizzata linearmente lungo l’asse x. • L’elettrone oscilla sotto l’azione di E e B. – Si puo’ trascurare B se ve << c • Risultato: moto armonico -> dipolo oscillante -> emissione di radiazione sotto forma di onde sferiche F. Bianchi 6
Scattering Thomson (2) F. Bianchi 7
Scattering Thomson (3) • Potenza media incidente per unita’ di superficie: • Forza agente sull’elettrone: • Accelerazione media dell’elettrone: • Potenza mediata temporalmente irraggiata per unita’ di angolo solido da una particella accelerata non relativistica: • Potenza media diffusa per unita’ d’angolo solido F. Bianchi 8
Scattering Thomson (4) • Sezione d’urto (m 2/sr) • Sezione d’urto totale (m 2) • Raggio classico dell’elettrone • s. T indipendente da frequenza ed ampiezza della radiazione incidente F. Bianchi 9
Scattering Rayleigh (1) • Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati – Nuclei pesanti, non risentono del campo elettrico dell’onda • Modello supersemplificato della forza di legame: – Termine elastico + Termine di smorzamento – Equivale a: • L’equazione del moto dell’elettrone: • Con: • Una possibile soluzione e’: F. Bianchi 10
Scattering Rayleigh (2) • Sostituendo x(t) e le sue derivate nell’equazione del moto dell’elettrone: • L’accelerazione quadratica media dell’elettrone e’: • Potenza irraggiata dall’elettrone F. Bianchi 11
Scattering Rayleigh (3) • La sezione d’urto (m 2/sr): F. Bianchi 12
Scattering Rayleigh (4) • L a sezione d’urto totale (m 2) dipende fortemente dalla frequenza dell’onda incidente. • Massimo sezione d’urto: • Sezione d’urto di Rayleigh – Il cielo appare blu perche’ le molecole dell’aria diffondono preferibilemente le lunghezze d’onda piu’ corte. – Al tramonto la luce del sole appare rossa perche’ attraversa un maggior spessore d’aria F. Bianchi 13
Scattering Rayleigh (5) F. Bianchi 14
Scattering in Meccanica Classica • Ogni singolo evento e’ definito in modo deterministico: – Per ogni singolo urto, note le forze in gioco, gli angoli di deflessioni (q, j) sono determinati dal parametro d’urto e dalla velocita’ relativa. • Caso macroscopico: conoscenza completa dei parametri che fissano le caratteristiche della collisione. – Es. : cometa e sole • Caso microscopico: – Parametri dell’insieme dei proiettili e’ noto • Fascio di particelle incidenti – Stato dell’insieme dei bersagli e’ noto – Parametro d’urto (ed altre caratteristiche) di ogni singola collisione non sono in generale noti. • NB: in meccanica classica si tratta di una impossibilita’ pratica, in meccanica quantistica e’ una impossibilita’ di principio (Principio di Indeterminazione). – E’ necessario un approccio statistico. F. Bianchi 15
Sezione d’Urto • Grandezze misurabili: – F -> flusso di particelle incidenti, si misura in particelle m -2 s-1 – R -> flusso di particelle diffuse in un certo angolo solido d. W , si misura in particelle sr-1 s-1 • Trascurando effetti cumulativi (particelle con >1 interazioni, . . ): • ds/d. W e’ una costante di proporzionalita’ che ha le dimensioni di un’area e prende il nome di sezione d’urto differenziale. • Sezione d’urto totale: F. Bianchi 16
Sezione d’Urto ed Attenuazione (1) • Fascio di proiettili di flusso F che attraversa un volume contenente N particelle per unita’ di volume. – Consideriamo perduti i proiettili che interagiscono con un bersaglio. • Decremento del fascio dopo uno spessore dx (k costante): • Introducendo r (densita’ di massa, g/cm 3) ed A (massa molecolare, g): • Naturale identificare k con s. Integrando: F. Bianchi 17
Sezione d’Urto ed Attenuazione (2) • Quantita’ spesso usate: • l-> cammino libero medio • m-> coefficiente di attenuazione lineare del fascio • Per un singolo proiettile (F 0 =1): F. Bianchi 18
Ancora sulla Sezione d’Urto (1) • In Meccanica Classica la sezione d’urto ci dice qual’e’ la probabilita’ statistica di osservare un’interazione se spariamo un proiettile contro un bersaglio. – N. B. : non siamo in grado di dire cosa accade in ogni singolo evento per motivi pratici. • La sezione d’urto totale s e’ una misura della probabilita’ totale d’interazione tra proiettile e bersaglio integrata su tutti i valori del parametro d’urto b. • La sezione d’urto differenziale ds/d. W e’ una misura della probabilita’ differenziale di avere un’interazione che causa una deflessione nell’elemento di angolo solido d. W. – Legata ad un particolare valore del parametro d’impatto b. • Questi concetti si applicano anche al caso in cui il risultato dell’interazione non sia solo una deflessione del proiettile, ma anche: – Ridristibuzione dell’energia cinetica tra proiettile e bersaglio. – Modifiche alla struttura interna di proiettile e bersaglio. – Produzione di nuove particelle (fenomeno quantistico e relativistico). F. Bianchi 19
Interpretazione Classica della Sezione d’Urto • Fascio di particelle incidenti di flusso F che urta un centro diffusore con distribuzione continua di parametri d’urto. • Particelle deflesse in d. W (con angolo polare fra q e q+dq, angolo azimutale fra f e f+df): Sono quelle che incidono in ds ( con par. d’urto fra b e b+db, angolo azimutale fra f e f+df) • • Sezione d’urto: Superficie (totale o differenziale) trasversale alla velocita’ relativa fra proiettile e bersaglio. Parametri d’urto inferiori al raggio della superficie -> Interazione F. Bianchi 20
Scattering da Sfera Rigida • Barriera di potenziale infinita per r<a. • Per il proiettile vale la legge della riflessione. q b F. Bianchi y 21
Sezione d’Urto di Rutherford (1) • Classico problema a due corpi con un potenziale centrale repulsivo. • Per ricavare la sezione d’urto: • Occorre ricavare la relazione che c’e’ tra il parametro d’impatto b della particella incidente e l’angolo di scattering q • Prendiamola un po’ alla lontana… F. Bianchi 22
Sezione d’Urto di Rutherford (2) La Lagrangiana di un sistema a due corpi di massa m 1 ed m 2 che interagiscono con un potenziale centrale: e’: Introducendo le coordinate: Si puo’ riscrivere come: F. Bianchi 23
Sezione d’Urto di Rutherford (3) • Introducendo: • La Lagrangiana diventa: • Non dipende dalle coordinate del baricentro (coordinate cicliche) e quindi i loro momenti coniugati (le componenti dell’impulso del baricentro) si conservano. – Abbiamo ritrovato che il baricentro di un sistema in assenza di forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme • La lagrangiana del moto relativo e’: F. Bianchi 24
Sezione d’Urto di Rutherford (4) • In coordinate polari: • q e’ una coordinata ciclica, il suo momento coniugato (il momento angolare) si conserva: • Anche l’energia si conserva: F. Bianchi 25
Sezione d’Urto di Rutherford (5) • Da cui: • Separando le variabili: • Integrando con la condizione iniziale • Sostituendo r(t) con : : F. Bianchi 26
Sezione d’Urto di Rutherford (6) • A questo punto sono note r(t) e q(t). E’ possibile ricavare l’equazione della traettoria: • Integrando: • Consideriamo ora il caso: F. Bianchi 27
Sezione d’Urto di Rutherford (7) • L’equazione della trettoria diventa: • Questo e’ un integrale del tipo: • Con: F. Bianchi 28
Sezione d’Urto di Rutherford (8) • La soluzione e’: • Ritornando ad r: • Infine: • Definendo: F. Bianchi 29
Sezione d’Urto di Rutherford (9) f/2 c F. Bianchi 30
Sezione d’Urto di Rutherford (10) Sezione d’urto totale e’ divergente Conseguenza del range infinito di V(r) F. Bianchi 31
Estensione a Processi Qualunque (1) • Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da potenziale: F. Bianchi 32
Estensione a Processi Qualunque (2) F. Bianchi 33
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