Scattering in Meccanica Classica Sommario Scattering Diffusione Thomson

  • Slides: 33
Download presentation
Scattering in Meccanica Classica

Scattering in Meccanica Classica

Sommario • Scattering • Diffusione Thomson e Rayleigh • Sezione d’urto in meccanica classica

Sommario • Scattering • Diffusione Thomson e Rayleigh • Sezione d’urto in meccanica classica • Attenuazione • Scattering da una sfera rigida • Sezione d’urto di Rutherford F. Bianchi 2

Scattering (1) • Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere informazioni sulla struttura del sistemi

Scattering (1) • Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere informazioni sulla struttura del sistemi fisici. – Usato ampiamente anche dalla natura. • Archetipo di tutti gli esperimenti di scattering: Visione – Sorgente di luce – Oggetto – Rivelatore di luce • La luce visibile, generata dalla sorgente (Sole, lampada, LED, laser, . . ), viene diffusa dall’oggetto e raccolta dal rivelatore (Occhio, lastra fotografica, CCD, fotomoltiplicatore, . . ). F. Bianchi 3

Scattering (2) • Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia corpuscolare sia ondulatorio:

Scattering (2) • Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia corpuscolare sia ondulatorio: Collisione – Es: Scattering di Onde elettromagnetiche/Fotoni • Effetti della collisione dipendenti da forma, dimensione e struttura interna del bersaglio. • Descrizione della collisione fortemente dipendente dal tipo di bersaglio e dal rapporto fra lunghezza d’onda e dimensioni del bersaglio. • Diffrazione: Forma/Dimensioni di uno schermo/apertura – Trattazione classica • Scattering: Forma/Dimensioni/Struttura di un bersaglio – Trattazione classica sufficiente in qualche caso (Es Antenne) – Trattazione quantistica necessaria a livello microscopico F. Bianchi 4

Scattering di Onde Elettromagnetiche • Collisione con oggetti macroscopici, risposta coerente: – d/l >>

Scattering di Onde Elettromagnetiche • Collisione con oggetti macroscopici, risposta coerente: – d/l >> 1 ottica geometrica – d/l ~ 1 ottica fisica • Collisione con oggetti microscopici, risposta incoerente: –d~0 scattering Thompson (su elettroni liberi) – d/l << 1 scattering Rayleigh (su elettroni legati) – d/l ~ 1 scattering Mie F. Bianchi 5

Scattering Thomson (1) • Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero •

Scattering Thomson (1) • Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero • Onda elettromagnetica incidente lungo la direzione dell’asse z: onda piana, polarizzata linearmente lungo l’asse x. • L’elettrone oscilla sotto l’azione di E e B. – Si puo’ trascurare B se ve << c • Risultato: moto armonico -> dipolo oscillante -> emissione di radiazione sotto forma di onde sferiche F. Bianchi 6

Scattering Thomson (2) F. Bianchi 7

Scattering Thomson (2) F. Bianchi 7

Scattering Thomson (3) • Potenza media incidente per unita’ di superficie: • Forza agente

Scattering Thomson (3) • Potenza media incidente per unita’ di superficie: • Forza agente sull’elettrone: • Accelerazione media dell’elettrone: • Potenza mediata temporalmente irraggiata per unita’ di angolo solido da una particella accelerata non relativistica: • Potenza media diffusa per unita’ d’angolo solido F. Bianchi 8

Scattering Thomson (4) • Sezione d’urto (m 2/sr) • Sezione d’urto totale (m 2)

Scattering Thomson (4) • Sezione d’urto (m 2/sr) • Sezione d’urto totale (m 2) • Raggio classico dell’elettrone • s. T indipendente da frequenza ed ampiezza della radiazione incidente F. Bianchi 9

Scattering Rayleigh (1) • Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati – Nuclei pesanti,

Scattering Rayleigh (1) • Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati – Nuclei pesanti, non risentono del campo elettrico dell’onda • Modello supersemplificato della forza di legame: – Termine elastico + Termine di smorzamento – Equivale a: • L’equazione del moto dell’elettrone: • Con: • Una possibile soluzione e’: F. Bianchi 10

Scattering Rayleigh (2) • Sostituendo x(t) e le sue derivate nell’equazione del moto dell’elettrone:

Scattering Rayleigh (2) • Sostituendo x(t) e le sue derivate nell’equazione del moto dell’elettrone: • L’accelerazione quadratica media dell’elettrone e’: • Potenza irraggiata dall’elettrone F. Bianchi 11

Scattering Rayleigh (3) • La sezione d’urto (m 2/sr): F. Bianchi 12

Scattering Rayleigh (3) • La sezione d’urto (m 2/sr): F. Bianchi 12

Scattering Rayleigh (4) • L a sezione d’urto totale (m 2) dipende fortemente dalla

Scattering Rayleigh (4) • L a sezione d’urto totale (m 2) dipende fortemente dalla frequenza dell’onda incidente. • Massimo sezione d’urto: • Sezione d’urto di Rayleigh – Il cielo appare blu perche’ le molecole dell’aria diffondono preferibilemente le lunghezze d’onda piu’ corte. – Al tramonto la luce del sole appare rossa perche’ attraversa un maggior spessore d’aria F. Bianchi 13

Scattering Rayleigh (5) F. Bianchi 14

Scattering Rayleigh (5) F. Bianchi 14

Scattering in Meccanica Classica • Ogni singolo evento e’ definito in modo deterministico: –

Scattering in Meccanica Classica • Ogni singolo evento e’ definito in modo deterministico: – Per ogni singolo urto, note le forze in gioco, gli angoli di deflessioni (q, j) sono determinati dal parametro d’urto e dalla velocita’ relativa. • Caso macroscopico: conoscenza completa dei parametri che fissano le caratteristiche della collisione. – Es. : cometa e sole • Caso microscopico: – Parametri dell’insieme dei proiettili e’ noto • Fascio di particelle incidenti – Stato dell’insieme dei bersagli e’ noto – Parametro d’urto (ed altre caratteristiche) di ogni singola collisione non sono in generale noti. • NB: in meccanica classica si tratta di una impossibilita’ pratica, in meccanica quantistica e’ una impossibilita’ di principio (Principio di Indeterminazione). – E’ necessario un approccio statistico. F. Bianchi 15

Sezione d’Urto • Grandezze misurabili: – F -> flusso di particelle incidenti, si misura

Sezione d’Urto • Grandezze misurabili: – F -> flusso di particelle incidenti, si misura in particelle m -2 s-1 – R -> flusso di particelle diffuse in un certo angolo solido d. W , si misura in particelle sr-1 s-1 • Trascurando effetti cumulativi (particelle con >1 interazioni, . . ): • ds/d. W e’ una costante di proporzionalita’ che ha le dimensioni di un’area e prende il nome di sezione d’urto differenziale. • Sezione d’urto totale: F. Bianchi 16

Sezione d’Urto ed Attenuazione (1) • Fascio di proiettili di flusso F che attraversa

Sezione d’Urto ed Attenuazione (1) • Fascio di proiettili di flusso F che attraversa un volume contenente N particelle per unita’ di volume. – Consideriamo perduti i proiettili che interagiscono con un bersaglio. • Decremento del fascio dopo uno spessore dx (k costante): • Introducendo r (densita’ di massa, g/cm 3) ed A (massa molecolare, g): • Naturale identificare k con s. Integrando: F. Bianchi 17

Sezione d’Urto ed Attenuazione (2) • Quantita’ spesso usate: • l-> cammino libero medio

Sezione d’Urto ed Attenuazione (2) • Quantita’ spesso usate: • l-> cammino libero medio • m-> coefficiente di attenuazione lineare del fascio • Per un singolo proiettile (F 0 =1): F. Bianchi 18

Ancora sulla Sezione d’Urto (1) • In Meccanica Classica la sezione d’urto ci dice

Ancora sulla Sezione d’Urto (1) • In Meccanica Classica la sezione d’urto ci dice qual’e’ la probabilita’ statistica di osservare un’interazione se spariamo un proiettile contro un bersaglio. – N. B. : non siamo in grado di dire cosa accade in ogni singolo evento per motivi pratici. • La sezione d’urto totale s e’ una misura della probabilita’ totale d’interazione tra proiettile e bersaglio integrata su tutti i valori del parametro d’urto b. • La sezione d’urto differenziale ds/d. W e’ una misura della probabilita’ differenziale di avere un’interazione che causa una deflessione nell’elemento di angolo solido d. W. – Legata ad un particolare valore del parametro d’impatto b. • Questi concetti si applicano anche al caso in cui il risultato dell’interazione non sia solo una deflessione del proiettile, ma anche: – Ridristibuzione dell’energia cinetica tra proiettile e bersaglio. – Modifiche alla struttura interna di proiettile e bersaglio. – Produzione di nuove particelle (fenomeno quantistico e relativistico). F. Bianchi 19

Interpretazione Classica della Sezione d’Urto • Fascio di particelle incidenti di flusso F che

Interpretazione Classica della Sezione d’Urto • Fascio di particelle incidenti di flusso F che urta un centro diffusore con distribuzione continua di parametri d’urto. • Particelle deflesse in d. W (con angolo polare fra q e q+dq, angolo azimutale fra f e f+df): Sono quelle che incidono in ds ( con par. d’urto fra b e b+db, angolo azimutale fra f e f+df) • • Sezione d’urto: Superficie (totale o differenziale) trasversale alla velocita’ relativa fra proiettile e bersaglio. Parametri d’urto inferiori al raggio della superficie -> Interazione F. Bianchi 20

Scattering da Sfera Rigida • Barriera di potenziale infinita per r<a. • Per il

Scattering da Sfera Rigida • Barriera di potenziale infinita per r<a. • Per il proiettile vale la legge della riflessione. q b F. Bianchi y 21

Sezione d’Urto di Rutherford (1) • Classico problema a due corpi con un potenziale

Sezione d’Urto di Rutherford (1) • Classico problema a due corpi con un potenziale centrale repulsivo. • Per ricavare la sezione d’urto: • Occorre ricavare la relazione che c’e’ tra il parametro d’impatto b della particella incidente e l’angolo di scattering q • Prendiamola un po’ alla lontana… F. Bianchi 22

Sezione d’Urto di Rutherford (2) La Lagrangiana di un sistema a due corpi di

Sezione d’Urto di Rutherford (2) La Lagrangiana di un sistema a due corpi di massa m 1 ed m 2 che interagiscono con un potenziale centrale: e’: Introducendo le coordinate: Si puo’ riscrivere come: F. Bianchi 23

Sezione d’Urto di Rutherford (3) • Introducendo: • La Lagrangiana diventa: • Non dipende

Sezione d’Urto di Rutherford (3) • Introducendo: • La Lagrangiana diventa: • Non dipende dalle coordinate del baricentro (coordinate cicliche) e quindi i loro momenti coniugati (le componenti dell’impulso del baricentro) si conservano. – Abbiamo ritrovato che il baricentro di un sistema in assenza di forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme • La lagrangiana del moto relativo e’: F. Bianchi 24

Sezione d’Urto di Rutherford (4) • In coordinate polari: • q e’ una coordinata

Sezione d’Urto di Rutherford (4) • In coordinate polari: • q e’ una coordinata ciclica, il suo momento coniugato (il momento angolare) si conserva: • Anche l’energia si conserva: F. Bianchi 25

Sezione d’Urto di Rutherford (5) • Da cui: • Separando le variabili: • Integrando

Sezione d’Urto di Rutherford (5) • Da cui: • Separando le variabili: • Integrando con la condizione iniziale • Sostituendo r(t) con : : F. Bianchi 26

Sezione d’Urto di Rutherford (6) • A questo punto sono note r(t) e q(t).

Sezione d’Urto di Rutherford (6) • A questo punto sono note r(t) e q(t). E’ possibile ricavare l’equazione della traettoria: • Integrando: • Consideriamo ora il caso: F. Bianchi 27

Sezione d’Urto di Rutherford (7) • L’equazione della trettoria diventa: • Questo e’ un

Sezione d’Urto di Rutherford (7) • L’equazione della trettoria diventa: • Questo e’ un integrale del tipo: • Con: F. Bianchi 28

Sezione d’Urto di Rutherford (8) • La soluzione e’: • Ritornando ad r: •

Sezione d’Urto di Rutherford (8) • La soluzione e’: • Ritornando ad r: • Infine: • Definendo: F. Bianchi 29

Sezione d’Urto di Rutherford (9) f/2 c F. Bianchi 30

Sezione d’Urto di Rutherford (9) f/2 c F. Bianchi 30

Sezione d’Urto di Rutherford (10) Sezione d’urto totale e’ divergente Conseguenza del range infinito

Sezione d’Urto di Rutherford (10) Sezione d’urto totale e’ divergente Conseguenza del range infinito di V(r) F. Bianchi 31

Estensione a Processi Qualunque (1) • Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da potenziale:

Estensione a Processi Qualunque (1) • Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da potenziale: F. Bianchi 32

Estensione a Processi Qualunque (2) F. Bianchi 33

Estensione a Processi Qualunque (2) F. Bianchi 33