ROTAN KUE Rieen prklady Paed Dr Miroslav TISO

ROTAČNÝ KUŽEĽ Riešené príklady Paed. Dr. Miroslav TISOŇ, 2009 www. rotacneplochy. sk

PRÍKLAD Vypočítajte povrch a objem rotačného kužeľa s polomerom r =12 cm a výškou v = 16 cm. Zápis: r = 12 cm v = 16 cm S=? V s 2 = r 2 Povrch + v 2 rotačného OBJEM Dĺžku strany kužeľa s vypočítame podľa vypočítame tak, 2+ 2 s 2 =kužeľa 12 16 Sp. v vety. že sčítame obsah. V = Pytagorovej 2 podstavy S a obsah s = 144 + 256 plášťa S. s 2 = 400 Dosadíme vzťahy na 2 v V = pr Objem kužeľa výpočet obsahu s = 20 cm vypočítame ako jednu POVRCH S = Sp + Spl p S = pr 2 + pr. s pl S = pr. (r + s) podstavy a plášťa. tretinu zo súčinu obsahu podstavy a výšky. Dosadíme vzťah na 2 Člen pr vyberieme pred výpočet obsahu zátvorku a Upravíme kruhovej podstavy vypočítame povrch Dosadíme za stranu kužeľa rotačného s a polomer r ich Do vzťahu dosadíme za polomer a výšku ich 2 číselné hodnoty Umocníme polomer a vypočítame Napíšeme Povrch rotačného objem kužeľa odpoveď. kužeľa je 1 205, 76 cm 2. S = 3, 14. 12. (12 + 20) S = 3, 14. 12. 32 S = 1 205, 76 cm s 16 cm S 12 cm V= 3, 14. 12. 16 V= 3, 14. 144. 16 V = 2 411, 52 cm 3 Napíšeme odpoveď. Objem rotačného kužeľa je 2 411, 52 cm 3.

Zadania: 1. Vypočítajte povrch a objem rotačného kužeľa, ktorého polomer podstavy je 9 cm a výška 1, 1 dm. /Riešenie/ 2. Vypočítajte povrch a objem rotačného kužeľa, ktorého priemer podstavy je 60 mm a dĺžka strany 3, 4 cm. /Riešenie/ 3. Vypočítajte povrch a objem rotačného kužeľa, ktorého výška je 5 cm a veľkosť uhla, ktorý zviera strana kužeľa s podstavou je 65°. /Riešenie/ 4. Vypočítajte povrch a objem rotačného kužeľa, ktorého priemer podstavy je 3 dm a veľkosť uhla pri vrchole je 46°. /Riešenie/ 5. Objem kužeľa je 462 cm 3, polomer podstavy r = 7 cm. Vypočítajte výšku v. /Riešenie/ 6. Strana rotačného kužeľa a jeho os určuje uhol a = 20° 30´; polomer podstavy kužeľa r = 22, 5 cm. Vypočítajte objem tohto kužeľa. /Riešenie/ 7. Kužeľovitá nálievka s malým (zanedbateľným) otvorom pre odtok kvapaliny má objem 0, 5 litra a výšku 7 cm. Vypočítajte polomer horného okraja. /Riešenie/

Riešenia /späť na Zadania/ 1. Vypočítajte povrch a objem rotačného kužeľa, ktorého polomer podstavy je 9 cm a výška 1, 1 dm. Zápis: r = 9 cm v = 1, 1 dm = 11 cm S=? V s 1, 1 dm S 9 cm POVRCH S = pr. (r + s) OBJEM V= S = 3, 14. 9. (9 + 14, 21) V = S = 3, 14. 9. 23, 21 s 2 = r 2 + v 2 s 2 = 92 + 112 S = 655, 91 cm 2 s 2 = 81 + 121 s 2 = 202 s = 14, 21 cm Povrch rotačného kužeľa je 655, 91 cm 2. V= pr 2 v 3, 14. 92. 11 3, 14. 81. 11 V = 932, 58 cm 3 Objem rotačného kužeľa je 932, 58 cm 3.

Riešenia /späť na Zadania/ 2. Vypočítajte povrch a objem rotačného kužeľa, ktorého priemer podstavy je 60 mm a dĺžka strany 3, 4 cm. Zápis: d = 60 mm r = 30 mm = 3 cm s = 3, 4 cm S=? V 3, 4 cm v S 60 mm s 2 = r 2 + v 2 = s 2 - r 2 v 2 = 3, 42 - 32 v 2 = 11, 56 - 9 v 2 = 2, 56 v = 1, 6 cm POVRCH OBJEM S = pr. (r + s) V= pr 2 v S = 3, 14. 3. (3 + 3, 4) V= 3, 14. 32. 1, 6 V= 3, 14. 9. 1, 6 S = 3, 14. 3. 6, 4 S = 60, 29 cm 2 Povrch rotačného kužeľa je 60, 29 cm 2. V = 15, 07 cm 3 Objem rotačného kužeľa je 15, 07 cm 3.

Riešenia /späť na Zadania/ 3. Vypočítajte povrch a objem rotačného kužeľa, ktorého výška je 5 cm a veľkosť uhla, ktorý zviera strana kužeľa s podstavou je 65°. Zápis: v = 5 cm a = 65° S=? V=? POVRCH r = v: tga r = 5: tg 65° r = 5: 2, 14 r = 2, 34 cm s = r: cosa s = 2, 34: cos 65° s = 2, 34: 0, 42 s = 5, 57 cm V s 5 cm 65° S s 65° r v S = pr. (r + s) S = 3, 14. 2, 34. (2, 34+5, 57) S = 3, 14. 2, 34. 7, 91 S = 58, 12 cm 2 Povrch rotačného kužeľa je 58, 12 cm 2. OBJEM V= pr 2 v V= 3, 14. 2, 342. 5 V= 3, 14. 5, 48. 5 V = 28, 68 cm 3 Objem rotačného kužeľa je 28, 68 cm 3.

Riešenia /späť na Zadania/ 4. Vypočítajte povrch a objem rotačného kužeľa, ktorého priemer podstavy je 3 dm a veľkosť uhla pri vrchole je 46°. Zápis: d = 3 dm r = 1, 5 dm a = 46° S=? V=? POVRCH v = r : tg(a/2) v = 1, 5 : tg 23° v = 1, 5 : 0, 42 v = 3, 53 dm V V 46° s 23° v s S 3 dm S = pr. (r + s) S = 3, 14. 1, 5. (1, 5+3, 84) S = 3, 14. 1, 5. 5, 34 S = 25, 15 dm 2 Povrch rotačného OBJEM kužeľa je 25, 15 dm 2. V= pr 2 v s = r: sin(a/2) s = 1, 5: sin 23° s = 1, 5: 0, 39 s = 3, 84 dm r S s V= V= 3, 14. 1, 52. 3, 53 3, 14. 2, 25. 3, 53 Objem rotačného 3 V = 8, 31 dm kužeľa je 8, 31 dm 3.

Riešenia /späť na Zadania/ 5. Objem kužeľa je 462 cm 3, polomer podstavy r = 7 cm. Vypočítajte výšku v. Zápis: V = 462 cm 3 r = 7 cm v=? V = ? V = 462 cm 3 pr 2 v 462 = 3, 14. 72. v 462 = 3, 14. 49. v 462 = 51, 29. v 462: 51, 29 = v 9, 01 cm = v 7 cm Výška rotačného kužeľa je 9, 01 cm.

Riešenia /späť na Zadania/ 6. Strana rotačného kužeľa a jeho os určuje uhol a = 20° 30´; polomer podstavy kužeľa r = 22, 5 cm. Vypočítajte objem tohto kužeľa. Zápis: r = 22, 5 cm a = 20° 30´ V=? V= pr 2 v V= 3, 14. 22, 52. 60, 17 V= 3, 14. 506, 25. 60, 17 V = 31 882, 58 cm 3 = a a = 31, 88 dm 3 = 31, 88 l 20° 30´ s v Objem rotačného kužeľa je 31, 89 l. 22, 5 cm r

Riešenia /späť na Zadania/ 7. Kužeľovitá nálievka s malým (zanedbateľným) otvorom pre odtok kvapaliny má objem 0, 5 litra a výšku 7 cm. Vypočítajte polomer horného okraja. r V = 0, 5 l 7 cm Zápis: V = 0, 5 l = 0, 5 dm 3 = 500 cm 3 v = 7 cm r=? V= 500 = pr 2 v 3, 14. r 2. 7 = r 2 68, 24 = r 2 8, 26 cm = r Polomer horného okraja je 8, 26 cm.