Ottava Lezione Magnetismo Riassunto della lezione precedente n

Ottava Lezione Magnetismo

Riassunto della lezione precedente n n n Soluzione eq di Poisson per differenze finite La corrente elettrica Legge di Ohm Campo Magnetico e Forza di Lorentz Effetto Hall

Considerazioni n Non sono mai stati trovate evidenze di monopoli magnetici S N S N SI NO n Il campo magnetico non compie lavoro: non può cambiare l’energia cinetica

Linee di Campo n n n Luogo dei punti cui B è tangente Non esistono monopoli: le linee di campo magnetico sono sempre linee chiuse Il polo magnetico da cui emergono le linee di campo è detto polo nord, l’altro polo sud. Poli magnetici opposti si attraggono, poli magnetici simili si respingono.

Effetti della forza di Lorentz n n Immettiamo una particella carica in un campo magnetico uniforme, ortogonale alla direzione del moto (esce dal foglio) La forza prodotta dal campo magnetico non compie lavoro: è una forza centripeta e la particella ruota

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico uniforme ortogonale al moto n Utilizzando la legge di Newton per un moto circolare uniforme n Per cui il periodo T n n Senza effetti relativistici (v<<c) T non dipende dalla velocità, ma solo dal rapporto massa/carica Particelle più veloci ovviamente percorrono circonferenze più ampie

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico uniforme, non ortogonale al moto n Se la velocità ha componente non nulla nella direzione di B, percorso elicoidale n La componente della velocità parallela all’induzione da il passo dell’elica, quella ortogonale raggio e periodo. n Raggio e periodo si calcolano considerando solo la componente ortogonale

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico non uniforme, non ortogonale al moto n n Se il campo magnetico B non è omogeneo, la particella sarà soggetta ad un moto a spirale con raggio ( e velocità di rotazione) variabile Se alle estremità B è molto intenso e ha una componente radiale, può riflettere la particella; se questo avviene alle due estremità si ha la “bottiglia magnetica”

Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico non uniforme, non ortogonale al moto; Bottiglia magnetica n infatti n cioè z n Dopo una riflessione, invertendosi il senso del moto, si inverte la direzione di rotazione, e quindi la direzione di Fz Bz Br

Aurore Boreali n n Urtandoli, eccitano gli atomi dell’atmosfera: colori diversi prodotti da emissione spontanea degli atomi di diverse sostanze (O, N ecc) Il campo magnetico terrestre, addensandosi ai poli, agisce da “bottiglia magnetica” Tale bottiglia cattura elettroni e protoni del vento solare forzandoli ad andare avanti e indietro: fasce di Van Allen o magnetosfera Il “collo” (anzi i colli) della bottiglia è sopra i poli: le cariche si addensano e penetrano di più nell’atmosfera

Tempeste magnetiche 11 Gennaio 1997: calcolati 1400 Gigawatt di energia dissipata nelle aurore boreali…. . Blackout nei sistemi di comunicazione e guasti reti distribuzione elettrica Courtesy of (C) Pittsburgh Supercomputing Center (PSC) http: //www. psc. edu/science/Goodrich/goodrich. html

Camera a bolle Un raggio gamma urta un atomo di idrogeno che perde un elettrone; il raggio gamma si trasforma in una coppia elettrone positrone; le traiettorie spiraliformi sono dovute alla presenza di un campo magnetico uniforme

Scoperta dell’elettrone n n L=lunghezza dei piatti v=velocità della particella m=massa della particella E=campo elettrico q=carica della particella n J. J. Thomson, 1897 Un fascio di elettroni viene prodotto da un filamento incandescente. Ed accelerato da un campo elettrico Attraversa un condensatore a piatti piani dove subisce una deflessione: moto uniformemente accelerato, la deflessione è:

Scoperta dell’elettrone Si sovrappone un campo magnetico e se ne regola l’intensità fino a bilanciare la forza elettrica n Quando ciò avviene q E = q v B. In questo modo si ottiene v=E/B n Eliminando la velocità si ha il rapporto massa/carica in funzione della deflessione del fascio n "I can see no escape from the conclusion that [cathode rays] are charges of negative electricity carried by particles of matter[. . . ] What are these particles? are they atoms, or molecules, or matter in a still finer state of subdivision? ” [J. J Thomson] n n La misura del rapporto, più di 1000 volte più piccolo di atomo di idrogeno carico, comportava o una massa molto più piccola di qualsiasi atomo o una carica molto più grande La misura di q per di Millikan chiarì che si trattava di una parte dell’atomo

Le Forze su un tratto di filo dl A Un elemento di corrente in un campo magnetico subisce una forza dovuta alla forza di Lorentz sulle singole cariche Dati due elementi di corrente, ciascuno subisce l’effetto del campo dell’altro; poniamo A la sezione dell’elemento di corrente e ricordiamo che qnv era la densità di corrente J: In generale, se si hanno due fili percorsi da corrente:

Le Forze su un tratto di filo Consideriamo il caso di un filo rettilineo immerso in un campo magnetico uniforme Se B perpendicolare al filo:

Momento di torsione su una spira n n Consideriamo una spira in un campo magnetico uniforme Lati 1 e 3 perpendicolari al campo; Lati 2 e 4 no I lati 2 e 4 subiscono forze uguali (F 2 ed F 4) e contrarie di modulo ib. Bsin(90°-q)=ib. Bcos(q) sulla stessa retta: equilibrio I lati 1 e 3 subiscono forze uguali e contrarie di modulo ia. B su rette diverse: coppia

Momento di torsione su una spira n Il momento meccanico vale n Definiamo momento magnetico della spira e A=ab n Il momento torcente diviene

Formula di Laplace Una corrente di cariche produce un campo magnetico: calcoliamolo Sia n la densità per unità di volume di cariche, d. V l’elemento di volume percorso dalle cariche Ricordando che B dovuto ad una carica q in dl movimento: A Quindi il contributo di un elemento di corrente d. B che contiene n d. V cariche è P u Campo magnetico prodotto da una corrente filiforme

Legge di Biot-Savart Caso particolare della formula di Laplace per conduttore rettilineo: in questo caso il campo magnetico giace sul piano ora Da cui Inoltre a dl Sostituendo dl ed r 2 r l d. B P R I

Forza tra due fili rettilinei percorsi da corrente Usiamo la legge di BS n per il campo di induzione magnetica dei fili rettilinei x y dove

Forza tra due fili rettilinei percorsi da corrente cioè

Legge di Ampère Calcoliamo la circuitazione di B lungo un arbitrario percorso chiuso intorno ad una corrente filiforme dq r dl’ proiezione di dl sul versore lungo la circonferenza passante per il punto a distanza r

Considerazioni B è “solenoidale”: le linee di campo si chiudono sempre su sé stesse (inesistenza monopoli magnetici) Inesistenza cariche magnetiche+ teorema di Gauss: Forma integrale Differenziale

Un operatore differenziale per la circuitazione: il rotore Applichiamo il Th di Ampère ad una spira infinitesima, nel piano XY B 2 y D -dx C B dy B‘ -dy A Scegliendo sup. elementari parallele ad YZ z ed XZ, analogamente: I dx B 1

Un operatore differenziale per la circuitazione: il rotore Diremo che il vettore m. J è dato dal rotore(B): Corrisponde al prodotto vettoriale dell’operatore “del” Ñ e del campo B E’ una sorta di “densità di circuitazione”, ma ha come risultato un vettore, ortogonale alla superficie elementare su cui si calcola la circuitazione! Th di Ampère in forma differenziale