Riassunto della lezione precedente evoluzione DGLAP e teoremi

Riassunto della lezione precedente • evoluzione DGLAP e teoremi di fattorizzazione; coefficienti di Wilson, scale di fattorizzazione e schemi di calcolo • e+e− inclusivo: Wμν come trasformata di Fourier di operatore bilocale; contributo dominante a corte distanze: operatore mal definito • Operator Product Expansion (OPE): definizione (operativa) di prodotto di due operatori come serie di operatori locali regolari a corte distanze; dimostrazione rigorosa di fattorizzazione • il teorema di Wick come esempio di OPE 4 -Dic-14 1

Applicazione a e+e- inclusivo W ⇒ [J ( ) J (0)] con J la corrente e. m. di quark prodotto normale : : utile per definire un operatore composito per → 0 ⇒ studiare T [J ( ) J (0)] per → 0 con il teorema di Wick divergente per → 0 ⇒ OPE 4 -Dic-14 2

Singolarità del propagatore fermionico libero singolarità light-cone grado di singolarità proporzionale a potenza di q in trasformata di Fourier singolarità più alta in coefficienti di OPE contributo dominante di J in W 4 -Dic-14 3

(continua) termine piu` singolare in T [J ( ) J (0)] termine meno singolare in T [J ( ) J (0)] operatore bilocale regolare 4 -Dic-14 4

(continua) termini intermedi operatori bilocali regolari 4 -Dic-14 5

(continua) riassumendo : • ÔV/A (ξ, 0) e Ô (ξ, 0) sono operatori bilocali regolari per ξ → 0 ; contengono informazioni sul comportamento a lunghe distanze • i coefficienti sono singolari per ξ → 0 (ordinati per singolarità decrescente); contengono informazioni sul comportamento a corte distanze • fattorizzazione tra corte e lunghe distanze rigorosa ad ogni ordine 4 -Dic-14 6

applicazione: e+e− inclusivo Jμ(x) = I 3(q) 4 -Dic-14 7

(continua) σtot 4 -Dic-14 8

(continua) partendo contributo dominante : alla fine risultato di QPM ! Morale : OPE per quark liberi a corte distanze è equivalente a QPM perchè QPM assume che a corte distanze i quark si comportino come fermioni liberi → asymptotic freedom postulata in QPM si ritrova rigorosamente in OPE 4 -Dic-14 9

applicazione: DIS inclusivo no polarizzazione → WS 4 -Dic-14 10

(continua) [J (x), J (0)] dominante per x 2 → 0 ⇒ espandere ÔV (x, 0) intorno a x=0 operatore bilocale regolare → serie infinita di operatori locali regolari poi risultato di QPM 4 -Dic-14 11

OPE procedura generale per campi (non) interagenti light-cone expansion valida per x 2 → 0 n = spin di Ô d = dimensione canonica di Ô W dimensionless 4 -Dic-14 12

(continua) 4 -Dic-14 13

Riassunto procedura per il calcolo di W : • espansione OPE per operatore bilocale in serie di operatori locali • trasformata di Fourier di ciascun termine • somma dei termini ottenuti • risultato finale esprimibile in serie di potenze di M/Q attraverso il twist t (≥ 2) = d (dimensione canonica dell’operatore) − spin dimensioni di <P| operatore |P> -2 ~ n. indici dell’operatore la serie di potenze è contenuta nell’operatore bilocale 4 -Dic-14 14

correzioni QCD correzioni 1 s s 2 … di potenze 1 1/Q QPM IQPM Operator Product Expansion 1/Q 2 1/Q 3 …. … N. B. per il momento solo per e+e- e DIS inclusivo 4 -Dic-14 15

OPE dimostrabile solo per e+e- e DIS inclusivi e+e- inclusivo operatore composito a corte distanze → OPE e+e- semi-inclusivo sistema dell’adrone a riposo Ph = (Mh, 0) q∙ finito → W dominato da 2 ~ 0 ma stato |Ph> impedisce chiusura X → OPE non può essere applicata 4 -Dic-14 16

DIS inclusivo in limite DIS ⇒ ( x. B = -q 2/2 P∙q finito) ⇔ ( → ∞ ) q∙ finito in limite DIS → 0 ~ 0 → ~ 0 X DIS semi-inclusivo stato |Ph> impedisce chiusura X → OPE non può essere applicata 4 -Dic-14 17

Drell-Yan q∙ finito → dominanza per 2 ~ 0 ma <. . > non è limitato in nessun sistema perché s=(P 1+P 2)2 ~ 2 P 1∙ P 2 ≥ Q 2 e nel limite Q 2 → ∞ entrambe P 1, P 2 non limitati W riceve contributi fuori dal light-cone! Quali sono i diagrammi dominanti per i processi in cui non si può applicare l’OPE ? E’ possibile applicare il concetto dell’OPE (fattorizzazione) anche a processi semi-inclusivi? 4 -Dic-14 18

Classificazione dei contributi dominanti ai vari processi hard Premessa : - propagatore di quark libero a corte distanze SF(x) - interazione con gluone non incrementa la singolarità 4 -Dic-14 19

e+e- inclusivo teorema ottico = Im contributo dominante a corte distanze → tot del QPM correzioni radiative → ~ (log x 2 R 2)n → si ritrova risultato OPE e+e- semi-inclusivo 2 ~ diagramma dominante a corte distanze perché 4 -Dic-14 correzioni radiative → ~ (log x 2 R 2)n fattorizzazione tra vertice hard e frammentazione soft 20

(continua) ~ DIS inclusivo diagramma dominante a corte distanze perché correzioni radiative → ~ (log x 2 R 2)n quindi si ritrova risultato di OPE 2 DIS semi-inclusivo ~ da e+e- semi-inclusivo fattorizzazione tra vertice e. m. hard e funzioni di distribuzione e frammentazione (el. di matrice soft) 4 -Dic-14 da DIS inclusivo 21

correzioni QCD correzioni s 1 s 2 … di potenze 1 1/Q 2 1/Q 3 … QPM IQPM Operator Product Expansion convolution approach …. diagrammatic approach convoluzione con scattering hard studio sistematico fattorizzato delle correzioni di (Efremov, Teryaev, Jaffe, potenze (↔ OPE Ji, Ralston, Soper, Qiu, + per DIS e e e inclusivi) Sterman, Collins, Leader (Ellis, Furmanski, Petronzio, ’ 82) 4 -Dic-14 Anselmino…) 22

(continua) Per tutti i processi di tipo DIS o e+e- (sia inclusivi che semi-inclusivi) il contributo dominante al tensore adronico viene dalla cinematica light-cone • definizione e proprietà delle variabili light-cone • teoria di campo quantizzata sul light-cone • algebra di Dirac sul light-cone 4 -Dic-14 23

Variabili light-cone dato 4 -vettore a prodotto scalare metrica “base” light-cone : metrica “trasversa” 4 -Dic-14 24

adrone-bersaglio a riposo DIS inclusivo bersaglio assorbe momento trasferito di * ; ad esempio se q || z Pz=0 → P’z= q >> M in regime DIS ⇒ direzione “+” dominante direzione “-” soppressa boost di 4 -vettore a → a’ lungo asse z boost lungo asse z N. B. rapidity 4 -Dic-14 25

A = M → rest frame dell’adrone A = Q → Infinite Momentum Frame (IFM) cinematica light-cone ⇔ boost all’IFM definizioni : invariante di Nachtmann miglior scaling in x. N quando Q ~ M frazione light-cone (longitudinale) di momento partonico 4 -Dic-14 26

Quantizzazione di teoria di campo sul light-cone regole di commutazione al tempo x 0=t=0 evoluzione in x 0 regole di commutazione al tempo “light-cone” x+=0 evoluzione in x+ variabili cinematiche x x- , x⊥ momenti coniugati k k+ , k⊥ k- Hamiltoniana k 0 quanto di campo …. . spazio di Fock 4 -Dic-14 …. . 27