OPTIMIZACIN DINMICA Optimizacin dinmica Clculo de variaciones Ecuacin

OPTIMIZACIÓN DINÁMICA • • Optimización dinámica. Cálculo de variaciones. Ecuación de Euler-Lagrange. Aplicación a sistemas de control. . Principio del máximo de Pontryagin. Procesos lineales con coste cuadrático. Ecuación de Riccati. Sistemas de tiempo mínimo. Tema VI. 1 Optimización dinámica Simulación y Optimización de Procesos Químicos 1

Para el caso 2. tenemos la condición de contorno general que se puede escribir de la siguiente manera: Tema VI. 1 Optimización dinámica Simulación y Optimización de Procesos Químicos 2

FUNCION DE ESTADO DE PONTRYAGIN. Planta Indice de comportamiento Problema. Escoger u= k (x(t), t) que minimice J sobre el intervalo [a, b] Solución. Método de los multiplicadores de Lagrange. Paso 1. Se forma la función de estado de Pontryagin Paso 2. Resolver la ecuación para obtener Paso 3. Encontrar la función H óptima Paso 4. Resolver el conjunto de 2 n ecuaciones diferenciales con las condiciones de contorno x(a) y x(b). Paso 5. Sustituir los resultados del paso 4 en la expresión de uº para obtener el control óptimo. Tema VI. 1 Optimización dinámica Simulación y Optimización de Procesos Químicos 3

PROBLEMA GENERAL DE CONTROL OPTIMO. Ecuación de la planta Condiciones de contorno s. Estado inicial y tiempo inicial fijos. Tiempo terminal fijo o libre. Estado final fijo, libre o especificado por un conjunto de relaciones de la forma c Indice de comportamiento Región de control El vector de control u pertenece a un conjunto U llamado región de control. Tema VI. 1 Optimización dinámica Simulación y Optimización de Procesos Químicos 4

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SISTEMAS LINEALES CON COSTE CUADRATICO PROBLEMA DE LA ENERGÍA MINIMA. Sistema con x(a) y x(b) conocidos(condiciones de contorno). Encontrar u(t) que minimice el criterio: con P matriz simétrica y definida positiva. Si no hay restricciones en el vector de control, la solución se obtiene a partir de : y de las ecuaciones canónicas, que da lugar al sistema siguiente de dimensión 2 n: con las 2 n condiciones de contorno x(a) y x(b). Problema de condiciones de contorno en dos puntos diferentes (TPBP) difícil siempre de resolver. Sin embargo este puede reducirse a uno condiciones en un solo extremo. Tema VI. 1 Optimización dinámica Simulación y Optimización de Procesos Químicos 6

Si ponemos la solución en función de la matriz de transición, tendremos: Haciendo t=b en las ecuaciones anteriores puede obtenerse el valor de l(a) como: que permite tener las condiciones de contorno en un solo punto o sea x(a) y l(a). Por tanto la solución del problema de control óptimo será: Tema VI. 1 Optimización dinámica Simulación y Optimización de Procesos Químicos 7

CONTROL DE TEMPERATURA EN UN RECINTO • Estado final fijo Tema VI. 1 Optimización dinámica • Estado final libre Simulación y Optimización de Procesos Químicos 8

SISTEMAS LINEALES CON COSTE CUADRATICO PROBLEMA DEL SERVOSISTEMA Sistema Criterio Las matrices S, P y Q deben ser simétricas. S y Q semidefinidas positivas y P definida positiva. Hamiltoniano Vector de control óptimo que garantiza un mínimo al ser P definida positiva. Tema VI. 1 Optimización dinámica Simulación y Optimización de Procesos Químicos 9

Ecuaciones canónicas: (**) que pueden ser resueltas con las condiciones de contorno. x(a) conocido La matriz del sistema canónico es : y puede demostrarse que sus valores propios(2 n) son simétricos respecto del eje imaginario. Introduciendo la matriz de transición la solución será: Con ayuda de la condición de contorno podemos escribir l(t) como función de x(t). Así: Puede demostrarse que R(t) es una matriz no singular y además que: R(b)=S Este método de calcular R(t) es bastante complejo. Tema VI. 1 Optimización dinámica Simulación y Optimización de Procesos Químicos 10

UUna alternativa es la siguiente: Derivar OObtenemos C CComo x(t) puede ser cualquier valor arbitrario la ecuación anterior se reduce a: Q Qque se conoce como la ecuación matricial de Riccati con la condición inicial R(b)=S EEl control óptimo será: Un caso muy particular es cuando b tiende a infinito, lo que equivale a decir que el intervalo de optimización es mucho mayor que las constantes de tiempo del proceso. Por tanto no tendrá significado el ponderar el estado final, con lo cual se puede resolver el problema haciendo S=0. Por otra parte podemos obtener la solución a la ecuación algebraica de Riccati haciendo nula la derivada de la matriz R. O sea resolvemos D a c Tema VI. 1 Optimización dinámica Simulación y Optimización de Procesos Químicos 11

PROBLEMA DE TIEMPO MÍNIMO Se desea llevar el sistema del estado x(a) conocido al estado x(b) asimismo conocido en un tiempo mínimo. Por tanto el coste será: Además suponemos que existe una limitación en el vector de control El hamiltoniano se escribirá así: y su minimización con respecto a u es inmediata: El control es de tipo bang-bang o sea cada elemento de u debe conmutar instantáneamente del máximo valor permitido al mínimo(o viceversa). La solución de l(t) para el caso de valores propios reales de A puede ponerse así: y la solución óptima tendrá la forma siguiente: donde m son los valores propios reales de la matriz A. Puede demostrarse que en este caso el número de saltos coincidente con el número de ceros de la expresión anterior entre corchetes es igual a n-1. Tema VI. 1 Optimización dinámica Simulación y Optimización de Procesos Químicos 12