ECUACIN DE LA RECTA 1 Ecuacin de la

ECUACIÓN DE LA RECTA 1

Ecuación de la Recta Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a, b, c R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano. Ejemplo Nº 1 : La ecuación L : x + y – 4 = 0 es la ecuación general de la recta. Grafiquemos L en el plano cartesiano: Tabla de valores X Y (x, y) 2 2 (2, 2) 1 3 (1, 3) 0 4 (0, 4) -1 5 (-1, 5) Gráfico y 5 4 3 2 1 1 -1 -1 2 3 4 x L Observaciones: • A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta. • Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir, satisface esta ecuación. 2

Ecuación Principal de la Recta Ejemplo: Sea L 2 una recta en el plano cuya ecuación es: ecuación, para darle la forma principal. Ecuación General Despejemos “y” en términos de “x” 2 x – y – 1 = 0. Despejemos ”y” en la 2 x – y - 1 = 0 - y = - 2 x + 1 Si dividimos la igualdad por -1 para que el coeficiente de y no sea negativo -Y = -2 x + 1 / : - 1 Nos queda Y = 2 x – 1 se llama Ecuación Principal de la Recta. Donde: m = 2 n= -1 IMPORTANTE: Tiene la forma y= mx + n y se llama Ecuación Principal de la Recta, donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x) y n es el intercepto con el eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y. 3

Pero, ¿qué son m y n ? En la ecuación principal encontrada m = 2 y n = – 1, significa que la recta tiene pendiente positiva, forma un ángulo agudo con el eje “x” y pasa por el punto (0, – 1) y 2 1 1 4 1 2 3 x

¿Qué es la Pendiente en una Recta? ¿Dónde se aplica la Pendiente de una Recta? ¿Para qué sirve la Pendiente de una Recta? Veamos las siguientes imágenes: 5

¿ Qué tienen en común todas estas imágenes? En estas imágenes encontramos algo común, esto es un concepto matemático que permite modelar situaciones de la vida real. Aterrizaje de un avión 6

Aquí, los constructores deben aplicar el concepto estudiado… 7

¿Esta imagen te parece familiar? La cuesta es demasiado inclinada…. 8

Los discapacitados ahora cuentan con entradas a los edificios públicos que tienen una forma especial y que se construyen con una cierta inclinación… 9

¿Te es conocido este Volcán? Aquí es más fácil ver el concepto matemático que se estudió y analizó en la unidad. 10

El Volcán que vemos casi todos los días del año tiene laderas con mucha pendiente… La pendiente es el ángulo ( medido en grados) de inclinación de una recta con respecto al eje “X” Y X 11

Ejemplo: Para obtener la pendiente de la recta de ecuación x + y = 4 despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así: Ecuación Despejemos y m = -1 pendiente negativa la recta forma un ángulo obtuso con el eje x ( mide más de 90º) x + y =4 y = -x + 4 y n= 4 la recta corta al eje y en 4, en el punto (0, 4) x 12

Ejemplo 2: Sea L 2 : 4 x - 2 y = 8 despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así: Ecuación Despejemos y 4 x -2 y - 4 =0 -2 y = -4 x + 4 Multipliquemos 2 y = 4 x - 4 Dividimos por 2 y= 4 x 2 y= 2 x m=2 La pendiente es positiva por lo tanto la recta forma un ángulo agudo (mide menos de 90º) con el eje x. 4 2 2 n= -2 y La recta corta al eje y en -2 , en el punto (0, -2) x 13

y m>0 m<0 y x Si b= 0 entonces m y n no existen x si a= 0 entonces m=o y y x x 14

¿Cómo podemos encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica? Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente, ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta. Por ejemplo: Los puntos ( 2, 2) y (-1, 5) pertenecen a la recta Usaremos la ecuación y 5 4 3 2 1 1 -1 2 3 4 -1 x L donde (x 1 , y 1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta. ( x 2 , y 2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta. Por lo tanto remplazando tenemos: m = 15 = = = -1 Luego la pendiente m = -1

¿Qué pasaría si en este resbalín los dos lados no fueran paralelos? Los lados de este aparato son paralelos es decir describen segmentos de recta que son paralelos. 16

Y ¿si los lados de esta pasarela no fueran paralelos? No puede haber un lado que no sea paralelo al otro no cumpliría la función para el cual están hechas, que es el facilitar el acceso a los discapacitados a un edificio Veamos a continuación las distintas posiciones que pueden adoptar dos rectas. 17

Posiciones relativas de dos rectas en el plano Dos rectas L 1 y L 2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones: a) Que sean Paralelas b) Que se intercepten y 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 -1 2 -1 3 4 1 -1 x 2 3 4 -1 L L y 5 4 3 c) Que sean Coincidentes 1 1 -1 -1 18 2 x 2 3 4 x L

Rectas Paralelas Dos rectas L 1 y L 2 son paralelas si sus pendientes son iguales: Es decir: Sea L 1: recta de ecuación y = m 1 x + n L 2: recta de ecuación y = m 2 x + n L 1 // L 2 si m 1 = m 2 y L y y 2 L 2 2 – y 1 19 x 1 x 2 – x 1 x 2 x

Ejemplo Grafiquemos las rectas de ecuaciones y=x– 2 En el mismo plano cartesiano y=x+1 y=x-3 20

Rectas Perpendiculares Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto, ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son perpendiculares. si L 1 es una recta de ecuación y y=m 1 x + n L y y L 2 es una recta de ecuación – y y= m 2 x +n 2 2 1 y 1 x 2 – x 1 x 2 x L 1 ┴ L 2 si m 1 • m 2 = -1 L 1 21

Ejemplo Grafiquemos las rectas de ecuaciones y = 4 x + 3 y=-¼x+1 En el mismo plano cartesiano 22

Rectas Coincidentes Rectas coincidentes: Si L 1 y L 2 son coincidentes entonces sus pendientes m 1 y m 2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas “n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a punto. Si L 1: y = m 1 x + n 1 L 2: y = m 2 x + n 2 L 1 y L 2 son coincidentes entonces m 1 = m 2 y n 1 = n 2 L 1 y L 2 son la misma recta. y L 1 y 2 L 2 y 1 23 x 1 x 2 x