NUMERI E SUONI Cenni introduttivi per la classe

NUMERI E SUONI Cenni introduttivi per la classe prima del Liceo musicale a cura di Silvia Buzzi Docente di Matematica presso il Liceo Musicale Statale A. Manzoni - Varese

IL SEGRETO DELL’ ARMONIA RISIEDE NEL MAGICO POTERE DEI NUMERI “Musica è un esercizio aritmetico della mente che conta senza saper contare” Leibniz 2

• Un musicista, anche se bravo in matematica, risponderebbe No (per deformazione professionale) Con le frazioni vengono infatti indicati i tempi dei brani musicali e, in questo caso le due frazioni indicano situazioni diverse e ben distinguibili tra loro: la prima è ternaria semplice, la seconda binaria composta. • Un matematico risponderebbe SI perché le due frazioni sono equivalenti Non è detto che le due risposte, pur in contrasto l’una con l’altra, siano una esatta e l’altra sbagliata 3

LE DUE DISCIPLINE HANNO RADICI COMUNI • Nel medioevo con l’istituzione del trivium (retorica, logica, grammatica) e del quadrivium (astronomia, musica, aritmetica e geometria) la matematica e la musica venivano accorpate nell’ambito della formazione scolastica propedeutica a quella universitaria. • Nel corso dei secoli molte questioni teoriche riguardanti l’armonia musicale vengono risolte grazie alla matematica 4

LE DUE DISIPLINE SONO INCONCILIABILI? • Le sette note su cui si basa tutta la musica occidentale, non sono frutto dell’irrazionalità o dell’istinto, ma di solidi ragionamenti matematici • La natura del suono è stata compresa e descritta dalla fisica solo nel ‘ 700. 5

• Ogni fenomeno acustico è il risultato di successive compressioni e rarefazioni dell’aria che vengono percepite dal nostro orecchio e trasformate in suono. • Il corpo che genera queste “onde sonore” è un corpo vibrante detto sorgente sonora • Affinché la perturbazione si propaghi e giunga al nostro orecchio occorre la presenza di un mezzo (aria, acqua. . ) poiché essa non si propaga nel vuoto. 6

• Le onde sonore, cioè le successive compressioni e rarefazioni dell’aria causate dalla sorgente sonora vibrante, si propagano nell’aria ad una velocità di 340 m/s e si rappresentano mediante funzioni matematiche particolari. • Il numero di oscillazioni compiute dalla sorgente sonora in un secondo si chiama frequenza e si misura in Hertz (Hz) • Il nostro apparato uditivo percepisce suoni le cui frequenze sono comprese fra i 20 e i 20000 Hz 7

• In una corda tesa sollecitata si genera una perturbazione, onda, che si propaga lungo tutta la sua lunghezza generando un “suono”; ma la propagazione della perturbazione genera oscillazioni che coinvolgono anche sezioni della sua lunghezza. • Ciò fa si che al suono fondamentale se ne aggiungano altri più acuti e meno intensi: gli armonici. • Essi hanno una importanza fondamentale nella determinazione del timbro di uno strumento. 8

SUONI ARMONICI Ad ogni frazione precisa del corpo vibrante (un mezzo, un terzo, un quarto ecc. ) si formano dei punti nodali che generano altri suoni più deboli. Questi suoni sono definiti armonici. La formazione degli armonici caratterizza il timbro della sorgente sonora 9

SCALE • La scala è una successione di suoni che rispettano determinati rapporti numerici in termini di frequenza • Nell’ambito della musica occidentale la teoria delle scale ha subito almeno tre grandi evoluzioni: • Scala pitagorica (fu la prima a mostrare la differenza fra toni e semitoni) • Scala naturale, o di Zarlino • Scala temperata (in particolare quella equabile) 10

SCALA PITAGORICA Pitagora (560 a. C. – 480 a. C. ) teorizzò la prima scala conosciuta della cultura occidentale, basata sulla successione di quinte giuste, ma lo stesso procedimento fu impiegato, molto tempo prima dalla civiltà Cinese (1000 a. C. ). Da notare che popoli molto lontani e privi di contatti fra loro, arrivarono autonomamente allo stesso risultato. Questa scala, quasi perfetta e di semplice realizzazione, fu impiegata per due millenni, in tutto il periodo in cui la musica era costituita da un’unica linea melodica. 11

Pitagora sperimentava sul monocordo, uno strumento costituito da una corda tesa da un peso e da un ponticello mobile che spostava a suo piacimento per modificare la lunghezza della corda vibrante. 12

• Supponiamo che una corda di lunghezza L , fatta vibrare, emetta un suono di frequenza f (chiamiamolo Do 1) , se spostando il ponticello facciamo vibrare solo metà della corda, ½ L , otterremo un suono di frequenza 2 f (chiamiamolo Do 2 alto) • Otteniamo un intervallo di un’ ottava (intervallo tra due suoni di cui uno è un’ ottava più alto del suono precedente Do 1 – Do 2) Do 1 f Re Mi Fa Sol La Si Do 2 2 f 13

• Se, spostando il ponticello facciamo vibrare i 2/3 della corda, otteniamo un suono la cui frequenza è i 3/2 di quella iniziale. • Chiamiamo questo suono Sol • Otteniamo quello che oggi chiamiamo un intervallo di quinta: Do – Sol (formato da 2 toni - 1 semitono - 1 tono) Do 1 f Re Mi Fa Sol 3/2 f La Si Do 2 2 f 14

• Il Re si ottiene salendo di una quinta rispetto al Sol (quindi dividendo ancora la corda di ulteriori 2/3) ma così facendo si ottiene un suono che esce dalla scala delimitata dal Do alto. Per riportare la nota nella scala considerata occorre dividere la sua frequenza per due ( quindi raddoppiare la lunghezza del tratto di corda spostando il ponticello) : 3/2 f. 3/2 : 2 = 9/8 f Do 1 Re f 9/8 f Mi Fa Sol 3/2 f La Si Do 2 2 f 15

• Se sposto di nuovo il ponticello salgo di una quinta rispetto al Re arrivo al La la cui frequenza si ottiene moltiplicando per 3/2 la frequenza del Re: 9/8 f 3/2 = 27/16 f Do 1 Re f 9/8 f Mi Fa Sol La 3/2 f 27/16 f Si Do 2 2 f 16

• Se salgo di una quinta rispetto al La ottengo il Mi , che ancora una volta è una nota troppo alta rispetto alla scala di riferimento e quindi va riportata all’altezza giusta dividendo per due la sua frequenza: 27/16 f. 3/2 : 2 = 81/64 f Do Do 1 Re Re Mi Mi ff 9/8 ff 81/64 ff Fa Fa Sol La La 3/2 ff 27/16 ff Si Si Do Do 2 2 f 2 f 17

• Se salgo di una quinta dal Mi ottengo il Si la cui frequenza è: 3/2 della frequenza del Mi 81/64 f. 3/2 = 243/128 f Do 1 Re Mi Fa Fa * Sol La Si Do 2 f 9/8 f 81/64 f 4/3 f 729/512 f 3/2 f 27/16 f 243/128 f 2 f • Posso ottenere il Fa tornando indietro di una quinta rispetto al Do e la sua frequenza è 4/3 f. • Se salgo di una quinta rispetto al Si, quindi se moltiplico la frequenza del Si per 3/2, ottengo un nuovo suono che è vicino al Fa ma leggermente diverso, lo chiamo Fa*, che però esce dalla scala e quindi la sua frequenza va divisa ancora per 2, la frequenza del Fa* è 729/512 f ≠ 4/3 f (frequenza del Fa) 18

NON E’ POSSIBILE COPRIRE UN NUMERO ESATTO DI OTTAVE ANDANDO AVANTI O INDIETRO DI QUINTE • Procedere per quinte significa moltiplicare la frequenza per (3/2)n dove n indica il numero di quinte di cui si è saliti. • Procedere per ottave significa moltiplicare la frequenza per 2 m dove m indica il numero di ottave di cui si è saliti. • L’equazione matematica (3/2)n = 2 m non ammette soluzione per nessun valore di m e n interi. • Quindi non posso coprire una scala di ottave procedendo per quinte 19

Se penso alla scala moderna: • • In un’ottava ci sono 12 semitoni In una quinta ci sono 7 semitoni Se calcolo il m. c. m ( 12 e 7)= 12. 7 = 84, ricavo che: Salendo di 7 ottave o di 12 quinte conto sempre 84 semitoni e, dunque, sento lo stesso suono. 20

INVECE NELLA SCALA PITAGORICA LA COSA NON FUNZIONA • Salire di 7 ottave significa dividere la corda a metà (1/2) per 7 volte: (1/2)7 • Salire di 12 quinte significa dividere la corda in 3 parti per prenderne 2 per 12 volte: (2/3)12 • Ma (1/2)7 ≠ (2/3)12 quindi Pitagora non ottiene lo stesso suono e la differenza è ben udibile anche per un orecchio non esperto

bibliografia • “Musica una passione matematica” Andrea Frova • “Armonie matematiche “ Ivano Bilotti • La scala pitagorica Sonia Cannas e ”la natura delle cose” • L'acustica per il musicista. Fondamenti fisici della musica Pietro Righini , Ed. Zanibon