n 1 2 3 4 5 6 fuzzy

퍼지이론의 출현 n 1) 2) 3) 4) 5) 6) fuzzy 이론에서 다루는 분야 fuzzy set logic number relation fuzzy 이론의 응용 expert system fuzzy database control robot fuzzy computer pattern recognition 4

퍼지집합 F = {(ui, F(ui) |u i U } = { F(ui) / ui |u i U } = F(ui) / ui F = F(u) / u if U is discrete if U is continuous ex) F = {(a, 0. 5), (b, 0. 7), (c, 0. 1)} ex) F = {0에 가까운 실수} F = F(x) / x where F(x) = 1/(1+x 2) ex) F = {0에 매우 가까운 실수} F = F(x) / x where F(x) = {1/(1+x 2)}2 7

퍼지집합의 연산 정의) 퍼지교집합(fuzzy intersection) F G F G(u) = Min[ F(u), G(u)] = F(u) G(u) u U 정의) 퍼지여집합(fuzzy complement) FC(~F) Fc(u) = 1 - F(u) u U 11

퍼지집합의 연산 퍼지집합 연산자의 특성 1) Involution : (Fc)c = F 2) 교환법칙(Commutative) : F G = G F F G=G F 3) 결합법칙(Associativity) : F (G H) = (F G) H 4) 분배법칙(Distributivity) : F (G H) = (F G) (F H) F (G H) = (F G) (F H) 5) Idempotency : F F=F 12

퍼지집합의 연산 : F (F G) = F F (F G ) = F 7) Absorption by and U : F = F U=U 8) 항등(Identity) : F =F F U=F 9) 드모르강의 법칙 : (F G) C= FC GC 10) Equivalence : (FC G) (F GC) = (FC GC) (F G) 11) Symmetrical difference : (FC G) (F GC) = (FC GC) (F G) 6)흡수법칙(Absorption) 13

퍼지집합의 연산 Law of contradiction Law of excluded middle : F FC = ( 성립 안함) : F FC = U(성립 안함) 6. 3. 2 퍼지집합의 기타 연산 (1) 배타합집합(disjunctive sum) F G = (F GC) (FC G) (2) 퍼지집합의 차이(difference) ①단순차이 : F-G = F GC F -G(u) = Min[ F(u), 1 - G(u)] u U ②한계차이(bounded difference) F G(u) = Max[0, F(u)- G(u)] u U 14

퍼지집합의 연산 (3) 한계합(bounded sum) F G(u) = Min[1, F(u) + G(u)] u U (4) 한계곱(bounded product) F G(u) = Max[0, F(u) + G(u)-1] u U (5) 퍼지집합의 곱(Cartesian product) ① 퍼지집합 F의 곱 F의 제곱 F 2 : F 2 (u) = [ F (u)]2 Fm : Fm (u) = [ F (u)]m ② 퍼지집합 F 1, F 2, , Fn의 곱 : F 1 F 2 Fn F 1 F 2 Fn(u 1 , u 2, , un) = Min[ F 1(u 1), , , Fn(un) ], ui Fi 15

퍼지관계의 연산과 합성 정의) 퍼지합관계(union relation) R S (R A B S A B) R S(u, v)= Max[ R(u, v), S(u, v)] (u, v) R, S 정의) 퍼지교관계(intersection relation) R S(u, v)= Min[ R(u, v), S(u, v)] (u, v) R, S 정의) 퍼지여관계(complement relation) RC(~R) RC(u, v) = 1 - R(u, v) R, S 정의) 퍼지역관계(inverse relation) R-1 B A R-1(u, v) = R(v, u) B A 18

퍼지논리 6. 5. 2 퍼지수식의 연산자(operator) a, b : 퍼지수식 1) 2) 3) 4) 부정(negation) 논리곱(conjunction) 논리합(disjunction) 조건, 함의(implication) ~ a = 1 - a a b = Min(a, b) a b = Max(a, b) a b = Min(1, 1 -a+b) by Lukasiewicz 22

퍼지논리 퍼지수식의 성질 1) Involution ~~a = a 2) 교환법칙(Commutative) a b = b a a b=b a ) 결합법칙(Associatove) (a b) c = a (b c) 4) 분배법칙(Distributive) a (b c) = (a b) (a c) 5) Idempotency a a=a 23

퍼지논리 6)Absorption 7) Absorption by and 1 8) 항등법칙(Identity) 9) 드모르강 법칙 ( De Morgan’s law) a (a b) = a a 0=0 a 1=1 a 1=a a 0=a ~ (a b) = ~a ~b 24

퍼지논리 a ~a = 0 (law of contradiction)은 성립하지 않음 a ~a = Min(a, ~a) = Min(a, 1 -a) =a if 0 < a 0. 5 = 1 -a if 0. 5 a < 1 0 < a ~a <0. 5 a ~a 0 a ~a = 1(law of excluded middle)은 성립하지 않음( a가 0, 1 일 때 성립) a ~a = Max(a, 1 -a) =a if 0. 5 a < 1 = 1 -a if 0 < a 0. 5 a ~a < 1 a ~a 1 25

퍼지논리 (ex) (Age, T(Age), U, G, M) Age : 언어변수의 이름 T(Age) : (young, very young, ) U : [0, 100] G(Age) : T i+1 = {young} {very T i} M(young) = {(u, young(u)) | u [0, 100]} young(u) = 1 u [0, 25] = {1+((u-25)/5)} -2 u [25, 100] 27

퍼지논리 언어변수의 분류 1) 퍼지술어(fuzzy predicate) : expensive, old, rare, dangerous, 2) 퍼지변형자(fuzzy modifier) : very, likely, almost, impossible, extremely, unlikely, 3) 퍼지정성자(fuzzy qualifier, fuzzy truth value) : quite true, very true, more or less true, mostly false, 4) 퍼지정량자(fuzzy quantifier) : many, few, almost, usually, 28

퍼지논리 (2) 퍼지술어(fuzzy predicate) 퍼지집합으로 변수(또는 객체)의 성질을 나타내는 술어 ex) “ z is expensive’’ (3) 퍼지 변형자(fuzzy modifier) : very, likely, 기본용어에 붙여 새로운 용어를 만들 때 사용 ex) very young(u) =( young(u))2 (4) 퍼지 정성자(fuzzy qualifier) : quite true, very true, 주어진 술어의 의미를 정성적으로 변경시킬 때 사용 ex) T(true)= {true, very true, fairly true, absolutely true, , undecided, , absolutely false, fairly false, very false, false} 29

퍼지논리 true(v) = v very true(v) = ( true(v))2 fairly true(v) = ( true(v))1/2 undecided(v) = 1 false(v) = 1 - true(v) very false(v) = ( false(v))2 fairly false(v) = ( true(v))1/2 absolutely true(v) = 1 for v = 1 0 otherwise absolutely false(v) = 1 for v = 0 0 otherwise v [0, 1] v [0, 1] 30

퍼지추론 근사추론(approximate reasoning) (Zadeh) 자연언어로 표현된 규칙과 사실 변환규칙(translation rules) 주목변수(focal variable) 의 가능성분포(possibility distribution) 추론규칙(rules of inference) 추론 된 새로운 가능성분포 언어근사(linguistic approximation) 자연언어로 표현된 새로운 사실 34

퍼지추론 변환규칙(translation rules) 1. 변형(modification) p: X is F x = F X is m. F x = F+ m : modifier m = very 이면 F+(u) = [ F(u) ]2 m = not 이면 F+(u) = 1 - F(u) m = more or less 이면 F+(u) = [ F(u) ]1/2 35

퍼지추론 2. 정성화(qualification) p : X is F X = F X is F is X = F+ F+(u) = ( F(u)) u U 3. 합성(composition) p : X is F X = F q : Y is G Y= G - conjunctive composition p and q : X is F and Y is G (X, Y) = F G F G (u, v) = Min( F(u), G(v)) u U v V 36

퍼지추론 - disjunctive composition p or q : X is F or Y is G (X, Y) = F G (u, v) = Max( F(u), G(v)) u U v V - conditional composition(fuzzy implication)(X와 Y의 관계) if X is F then Y is G (X, Y) = F G (1) Rz : RZ(u, v) = ( F(u) G(v)) (1 - F(u)) (2) Rr : Rr(u, v) = 1 if F(u) G(v) 0 if F(u) > G(v) : Rescher (3) Rl : Rl(u, v) = 1 (1 - F(u) + G(v)) : Lukasiewicz 37

퍼지추론 (4) Rm : Rm(u, v) = F(u) G(v) (5) Rg : Rg(u, v) = 1 if F(u) G(v) if F(u) > G(v) (6) Rd : Rd(u, v) = F(u) if G(v) = 1 | G(v) if F(u) = 1 0 otherwise u : Mamdani : Godel : Dubois F v G 4. 정량화(quantification) 명제에 most, many등의 quantifier가 부과 quantifier가 붙으면 가능성분포의 domain이 바뀜 38

퍼지추론 2. 일반화된 후향추론(generalized modus tollens) If X is F then Y is G If Y is ~G' X is ~F' (~G' (F G)) ~ F' 3. 일반화된 삼단논법(generalized syllogism) R 1' If X is F then Y is G' R 2 If X is G then Z is H R' If X is F then Z is H' R 1' R 2 R' 40

퍼지추론 n 일반화된 연역추론(generalized modus ponens) F G F' G' G' = F' (F G)) G' (v) = Max[Min( F'(u), F G(u, v))] = [ F'(u) F G(u, v)] = [ F'(u) ( F(u) G(v))] : Mamdani = [ ( F'(u) ( F(u))] G(v)) 43

퍼지추론 n 삼단논법(syllogism) R 1 : F G R 2 : G H R : F H R(u, w) = R 1 R 2(u, w) = {( F(u) G(v)) ( G(v) H(w))} = ( F(u) H(w)) ( G(v) ) = F(u) H(w) = F H(u, w) : Mamdani 44

퍼지추론 n 일반화된 삼단논법(generalized syllogism) R 1' : F G' R 2 : G H R' : F H' R'(u, w) = R 1' R 2(u, w) = {( F(u) G'(v)) ( G(v) H(w))} = ( F(u) [ ( G'(v) G(v))] H(w) = F(u) H'(w) = F H’(u, w) : Mamdani 45

퍼지추론 n 병렬추론(parallel inference) F' R 1 : F 1 G 1 R 2 : F 2 G 2 Rn : F n G n G' n개의 규칙 R 1, R 2, , Rn R = R 1 R 2 Rn (RF G = Rm을 이용하는 경우) 46

퍼지추론 G' = F' R = F' (R 1 R 2 Rn) = (F' R 1) (F' R 2) (F' Rn) = G 1' G 2' Gn' G 1'(v) = F' R 1(v), Rn(v) G 2'(v) = F' R 2(v), Gn'(v) = F' G'(v) = G 1'(v) G 2'(v) Gn'(v) 47