Metody Analizy Danych Dowiadczalnych Wykad 9 Estymacja parametryczna

Metody Analizy Danych Doświadczalnych Wykład 9 ”Estymacja parametryczna”

Program na dziś FPojęcia podstawowe FMatematyczny model zjawiska FMetoda największej wiarygodności FMetoda najmniejszych kwadratów

Pojęcia podstawowe Podstawowe pojęcia z jakimi spotykamy się w teorii estymacji: Estymator - dowolna funkcja służąca do oszacowania nieznanej wartości parametru populacji generalnej; Estymator nieobciążony - estymator dla którego wartość przeciętna jest równa zeru, tzn. estymator szacujący parametr rozkładu bez błędu systematycznego; Estymator efektywny - estymator o możliwie małej wariancji; Estymator zgodny - estymator który jest stochastycznie zbieżny do parametru, czyli estymator podlegający działaniu prawa wielkich liczb (stosowanie większych prób oprawia dokładność szacunku); Estymator wystarczający - estymator skupiający w sobie wszystkie informacje o badanym parametrze zawarte w próbie losowej; Estymacja punktowa - metoda szacunku nieznanego parametru polegająca na tym, że jako wartość parametru przyjmuje się wartość estymatora tego parametru otrzymaną z n-elementowej próby losowej; Estymacja przedziałowa - estymacja polegająca na budowie przedziału ufności dla tego parametru. Przedział ufności jest przedziałem losowym wyznaczonym za pomocą rozkładu estymatora, a mający tę własność, że pokrywa wartość parametru z góry zadanym prawdopodobieństwem, zapisujemy go zwykle w postaci P(a<X<b) = 1 - a.

Metoda największej wiarygodności Podstawowym pojęciem występującym w metodzie największej wiarygodności jest pojęcie wiarygodności próby. Wiarygodność Natomiast najbardziej popularną metodą estymacji nieznanych (likelihood) n-elementowej próby prostej lub funkcja wiarygodności parametrów rozkładu populacji jest metoda największej wiarygodności. dana jest zależnością: Metoda ta pozwala na znalezienie estymatorów nieznanych parametrów w takich rozkładach populacji, w których znana jest ich postać funkcyjna. Estymatory uzyskane metodą największej wiarygodności mają wiele pożądanych własności. Trzy najważniejsze ze względów praktycznych to: 1. gdzie Dla dużej pomiarów estymator rozkładowi a p(xi , ) f(xi , liczby ) oznacza funkcję gęstościpodlega prawdopodobieństwa normalnemu; funkcję prawdopodobieństwa, zaś może być pojedynczym 2. parametrem Wariancja estymatora, czyli ocena dokładności wyznaczenia wartości lub wektorem. prawdziwej, jest najlepsza jaką można osiągnąć w danej sytuacji (optymalna); 3. Estymator uzyskany tą metodą nie zależy od tego, czy maksimum wiarygodności wyznaczymy dla estymowanego parametru, czy też dla dowolnej jego funkcji.

Maximum likelihood method Example The general population has a two-point distribution of zero-one with an unknown parameter p. Find the most reliable estimator of the parameter p for nelement simple sample. Since the probability distribution of the data is a function of:

Maximum likelihood method Example Therefore, the likelihood function is as follows where m is the number of successes in the sample. ln L = m ln(p) + (n-m) ln(1 -p)

Maximum likelihood method Example and the differential of this expression amounting to: is zero if:

Maximum likelihood method Example The second derivative of the logarithm: is less than zero for p*, which means that the reliability of the function has a maximum at that point, and p* is the most reliable estimator of the parameter p

Maximum likelihood method Exercise The speed of sound in air measured with two different methods is: v 1 = 340± 9 m/s, v 2 = 350 ± 18 m/s Find the best estimate of the speed of sound. Note: The speed of sound is a weighted average of these results.

Metoda najmniejszych kwadratów Rozważmy W przypadku przypadek obecnościrównania związku drugiego stopnia: statystycznego pomiędzy y i x nie ma 2 najmniejszych krzywej przez podstawy kwadratów y. U=możliwości a 0 + a 1 x +metody apoprowadzenia x 2 wszystkie punkty pomiarowe, leży zasada zgodnie z się którątustopień niezgodności Zadanie sprowadza doniektóre znalezienia obliczone nasumą podstawie wartości będą jest mierzony kwadratów wartości liczbowych a , wzoru a 1 i aodchyleń. Można je 2 odbiegać od wartościyszereg empirycznych. wartości rzeczywistej i obliczonej Y: Naszym rozwiązać posiadając obserwacji par celem jest zminimalizowanie tych odchyleń, zmiennej zależnej y i zmiennej niezależnej x: 2 celu ustalić matematyczne (y, y-należy Y) = minimum. (x 1 w, ytym ), (x ), . . . , (x , y ). 1 2 2 n n zasady pomiaru stopnia niezgodności rzeczywistych wartości z wyliczonymi.

Koniec wykładu !