Metody analizy decyzji Wykad 6 wybr w warunkach

Metody analizy decyzji Wykład 6 – wybór w warunkach ryzyka

Cele dzisiejszego wykładu 2 • Metody wyboru w warunkach ryzyka: – dominacja stochastyczna – maksymalizacja wartości oczekiwanej i maksymalizacja oczekiwanej użyteczności – awersja do ryzyka

Ryzyko a niepewność 3 • Ryzyko a niepewność • Czym jest prawdopodobieństwo: – sprzyjające zdarzenia – częstościowe – aksjomatyczne – subiektywne

Wybór w warunkach ryzyka – słownik 4 • Wariantom decyzyjnym odpowiada kilka możliwych konsekwencji • Dla każdego wariantu można określić rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze możliwych konsekwencji • Każdemu wariantowi można przypisać rozkład prawdopodobieństwa ocen

Wybór w warunkach ryzyka – model 5 • Przyjmijmy skończoną liczbę konsekwencji dla każdego wariantu • Każdy wariant można utożsamić z loterią, tj. dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze ocen (wypłat) • Sposoby zapisu: 10 0, 3 0, 5 0, 2 5 20 Wypłata Prawdopodobieństwo 5 50% 10 30% 20 20% (5, 50%; 10, 30%; 20, 20%)

Redukcja loterii złożonych 6 • Możemy redukować loterie złożone – tj. loterie, których wynikiem są loterie, zapisać bezpośrednio jako loterie na zbiorze wypłat 0 0, 6 0, 8 0, 2 0, 4 10 5 0, 3 0, 7 0 0, 5 10 0, 48 0, 32 10 0, 2 5 0 10 0 0 0, 15 10 0, 7 10 0, 85 10

Wybór wariantu – przykłady 7 Wypłata Pr. 1 50% 4 10% 1 50% 2 30% 5 50% 2 30% 3 20% 6 40% 3 20% 4 20% Wypłata Pr. 1 50% 1 40% 2 30% 2 35% 3 20% 3 30% 3 25%

8 Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu (FOSD) cdf Wypłata Pr. 1 50% 4 10% 2 30% 5 50% 3 20% 6 40% 1 1 t cdf Wypłata Pr. 1 50% 1 40% 2 35% 3 20% 3 25% 1

9 Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu • Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X dominuje rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y w sensie dominacji stochastycznej pierwszego rzędu (first order stochastic dominance – FOSD), jeśli: – dla każdej wartości t zachodzi FX(t) FY(t) – dla pewnej wartości t zachodzi FX(t)<FY(t) • Decydent preferujący większe wartości wypłat wybierze zmienną dominującą w sensie FOSD

10 Porównaj poniższe pary rozkładów ze względu na FOSD Wypłata Pr. 1 50% 1 40% 2 30% 2 50% 3 20% 3 30% 3 20% 3 10% Wypłata Pr. 1 10% 0 30% 1 50% 2 90% 2 70% 2 55% 2 30% 3 5% 3 20% 4 15% 3 20% 4 5%

11 Porównywanie wartości oczekiwanych? • Możesz zagrać w następującą grę: – rzucasz symetryczną monetą do pierwszego wyrzucenia orła – oznacz przez n numer rzutu, w którym po raz pierwszy wyrzucisz orła – otrzymujesz wypłatę 2 n PLN • Ile jesteś skłonny maksymalnie zapłacić za możliwość jednokrotnego wzięcia udziału w takiej grze? • Policz samodzielnie wartość oczekiwaną wypłaty • Dlaczego wolisz skończoną, niewielką kwotę niż loterię?

Funkcja użyteczności 12 Numer rzutu Wypłata Użyteczność ln(wypłata) 1 2 0, 69 2 4 1, 39 3 8 2, 08 4 16 2, 77 5 32 3, 47 • Funkcja użyteczności rosnąca i często wklęsła (malejąca użyteczność krańcowa) • Dla dowolnej rosnącej funkcji użyteczności rozkład dominujący w sensie FOSD zapewnia większą oczekiwaną użyteczność

13 Funkcja użyteczności a awersja do ryzyka 2 0, 5 1 10 6

Awersja do ryzyka a wybór 14 • Awersja do ryzyka: – decydent zawsze preferuje wartość oczekiwaną wypłat niż (niezdegenerowaną) loterię o tej wartości oczekiwanej • Awersja do ryzyka wklęsła funkcja użyteczności • Czy istnieje sposób porównywania rozkładów uwzględniający awersję do ryzyka (może wybór oczywisty nawet bez FOSD)?

Dominacja stochastyczna drugiego rzędu (second-order stochastic dominance) 15 cdf Wypłata Pr. 1 30% 1 50% 2 60% 2 20% 3 10% 3 30% 1 1 t F(x) Całka 1 0, 3 0 1 0, 5 0 2 0, 9 0, 3 2 0, 7 0, 5 3 1 1, 2 4 1 2, 2 t 1 1 t

16 Dominacja stochastyczna drugiego rzędu • Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X dominuje rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y w sensie dominacji stochastycznej drugiego rzędu (second order stochastic dominance – SOSD), jeśli: – dla każdej wartości t zachodzi – dla pewnej wartości t zachodzi • Rozkład dominujący w sensie SOSD zapewnia większą wartość oczekiwaną każdej rosnącej, wklęsłej funkcji użyteczności

17 Porównaj pary zmiennych ze względu na FOSD i SOSD Wypłata Pr. 1 50% 1 60% 1 15% 1 20% 2 30% 2 10% 2 45% 2 40% 3 20% 3 30% 3 40% Wypłata Pr. 1 10% 1 30% 1 40% 2 50% 2 15% 2 40% 2 15% 3 40% 3 55% 3 30% 3 45%

Awersja do ryzyka a wariancja • Jeśli decydent cechuje się awersją wobec ryzyka, to: – jeśli E(X)=E(Y) – i 0=Var(X)<Var(Y), – to woli X • Natomiast jeśli obie loterie mają niezerową wariancję, to niekoniecznie Loteria X Loteria Y Prawd. x ln(x) (x-EX)2 y ln(y) (y-EY)2 20% 20, 1 3 65, 61 4 1, 386 64 80% 9, 975 2, 3 4, 1 14 2, 639 4 średnia 12 2, 44 16, 4 18 12 2, 388 16

19 Ekwiwalent pewności i premia za ryzyko 1 4, 5 2 0, 5 1 10 6

Ćwiczenie • Wyliczmy ekwiwalent pewności dla loterii Bernoulliego i użyteczności u(x)=ln(x) Numer rzutu Wypłata Użyteczność ln(wypłata) 1 2 0, 69 2 4 1, 39 3 8 2, 08 4 16 2, 77 5 32 3, 47

Kwantyfikacja awersji do ryzyka 21 • O sile awersji do ryzyka świadczy wielkość premii za ryzyko – wypłaty, której odjęcie jest równoważne (w sensie preferencji) dodaniu ryzyka • Wielkość tej premii zależy od kształtu funkcji użyteczności – im bardziej wklęsła funkcja, tym większa premia • Ilościowo mierzy to współczynnik awersji do ryzyka Arrowa-Pratta • ARA to miara lokalna – jej wartość zależy od x – uszeregowanie funkcji użyteczności może zależeć od punktu odniesienia

Interpretacja ARA 22 • x 0 – wypłata początkowa (liczba) • l – loteria o zerowej wartości oczekiwanej (zmienna losowa) • d – premia za ryzyko (liczba)

Przykłady funkcji użyteczności 23 u(x) u’’(x) ARA ln(x+a), a>0 (x+a)-1 -(x+a)-2 1/(x+a) ax-bx 2, a, b>0 a-2 bx -2 b 2 b / (a-2 bx) -e-ax, a>0 ae-ax -a 2 e-ax a xa, 0<a 1 axa-1 a(a-1)xa-2 -(a-1)/x -x-a, a>0 ax-a-1 -a(a+1)x-a-2 (a+1)/x

Sprawdź się! • https: //www. bbc. co. uk/labuk/experiments/ris k/ 24

Podsumowanie 25 • Prawdopodobieństwa można zdefiniować obiektywnie lub subiektywnie • Metody porównywania rozkładów: – dominacja stochastyczna pierwszego rzędu – maksymalizacja wartości oczekiwanej – maksymalizacja oczekiwanej użyteczności – dominacja stochastyczna drugiego rzędu • Decydenci często cechują się awersją do ryzyka – wklęsłą funkcją użyteczności – stopień awersji do ryzyka można mierzyć

Materiały 26 • Uzupełnienia do dzisiejszego wykładu dla chętnych: – R. Keeney i H. Raiffa (1993): Decisions with Multiple Objectives. Preferences and Value Tradeoffs, rozdz. 4 – J. Pratt (1964): Risk Aversion in the Small and in the Large, Econometrica, 32(1/2), ss. 122 -136

Dziękuję! 27