Metoda supstitucije 2 dio izraavamo x iz druge

Metoda supstitucije 2. dio (izražavamo x iz druge jednadžbe)

U prošloj prezentaciji zadane smo sustave rješavali metodom supstitucije, a u svim smo primjerima izražavali x pomoću y krenuvši od prve jednadžbe, te smo uvrštavali u drugu. U ovoj prezentaciji susrest ćemo sustave koje je jednostavnije rješavati na "malo drugačiji" način. Ako si dobro shvatio postupak iz prošle prezentacije, i ovaj ćeš savladati bez problema. Prije nego što krenemo s takvim primjerima, uvedimo neke nove nazive.

KOEFICIJENTI su brojevi uz nepoznanice (koji se množe s nepoznanicama). Npr. Koji bi bili koeficijenti u sljedećim sustavima: a) 7 x - 3 y = 4 -2 x + 6 y = 1 Koeficijenti su brojevi: 7, -3, -2, 6. Brojevi 4 i 1 nazivaju se SLOBODNI ČLANOVI. b) -2 x + y = 9 5 x - y = -3 Koji broj zamišljamo uz nepoznanicu (ako ne piše)? Zamišljamo broj 1. Naime, vrijedi y = 1 y. Koeficijenti su brojevi: -2, 1, 5, -1. Slobodni članovi su: 9, -3. c) -x + y = 7 -9 x ? = 10 Koeficijenti su: -1, 1, -9, 0. Slobodni članovi su: 7, 10.

Krenimo sad korak dalje. . .

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: 3 x - 2 y = 6 x + 3 y = 13 x = 13 - 3 y Uočavaš li po čemu se ovaj sustav razlikuje od svih koje smo rješavali do sad? Svi sustavi koje smo do sad rješavali imali su u prvoj jednadžbi uz x koeficijent 1 (tj. nikakav koeficijent nije pisao, pa se podrazumijevao broj 1)! U ovom sustavu nije tako, ovdje je u prvoj jednadžbi uz x koeficijent 3 ! Stoga sad više nije tako lako iz prve jednadžbe izraziti x pomoću y. Imaš li ideju što ćemo sad? (pažljivo pogledaj zadani sustav) Uočimo da sad u drugoj jednadžbi imamo "sami x" (tj. koeficijent 1 uz x) ! Stoga ćemo sad iz druge jednadžbe izraziti x pomoću y!

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: 3 x - 2 y = 6 x + 3 y = 13 x = 13 - 3 y Što misliš, u koju ćemo sad jednadžbu umjesto x uvrštavati 13 -3 y ? Ako smo x izrazili iz druge jednadžbe, uvrštavat ćemo u - koju? Uvrstit ćemo u prvu jednadžbu! Dakle, ako x iz druge jednadžbe izrazimo pomoću y, onda uvrštavamo u prvu jednadžbu! Nikad ne uvrštavamo u istu jednadžbu iz koje smo izrazili jednu nepoznanicu pomoću druge! Uvijek uvrštavamo u onu drugu jednadžbu!!! Dakle, prepišimo prvu jednadžbu, samo umjesto x stavimo 13 -3 y.

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: 3 x - 2 y = 6 ? x + 3 y = 13 3 · ( 13 - 3 y ) - 2 y = 6 39 - 9 y - 2 y = 6 - 39 - 11 y = - 33 y = 3 x = 13 - 3 y x = 13 - 3 · 3 x = 13 - 9 Time smo u prvu jednažbu x= 4 : (-11) umjesto x uvrstili 13 -3 y. Nastavljamo s rješavanjem. . . Rj. ( 4, 3 ) Kako ćemo provjeriti je li taj uređeni par rješenje zadanog sustava?

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: 3 x - 2 y = 6 x + 3 y = 13 x = 13 - 3 y 3 · ( 13 - 3 y ) - 2 y = 6 x = 13 - 3 · 3 x = 13 - 9 39 - 9 y - 2 y = 6 x= 4 - 9 y - 2 y = 6 - 39 - 11 y = - 33 : (-11) y = 3 Rj. ( 4, 3 ) Provjera: 3 · 4 - 2 · 3 = 12 - 6 = 6 Uvrstimo dobivene vrijednosti od x i y rezultat. Izračunajmo ovo. . . Dobili smo predviđeni u izraz na lijevoj strani jednadžbe, Otudaprve zaključujemo da uređeni par (4, 3) te provjerimo hoće li rezultat prvu biti jednak zadovoljava jednadžbu. desnoj strani iste jednadžbe. . . A drugu? . . .

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: 3 x - 2 y = 6 x + 3 y = 13 x = 13 - 3 y 3 · ( 13 - 3 y ) - 2 y = 6 x = 13 - 3 · 3 x = 13 - 9 39 - 9 y - 2 y = 6 x= 4 - 9 y - 2 y = 6 - 39 - 11 y = - 33 : (-11) y = 3 Rj. ( 4, 3 ) Provjera: 3 · 4 - 2 · 3 = 12 - 6 = 6 4 + 3 · 3 = 4 + 9 = 13 I tu smo dobili predviđeni rezultat. Izračunajmo ovo. . . Dakle, uređeni par (4, 3) zadovoljava i drugu jednadžbu. Stoga on zadovoljava obje jednadžbe, pa je on rješenje zadanog sustava.

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: -4 x + 48 y = -28 x + 9 y = - 14 x = -14 - 9 y -4 · ( -14 - 9 y ) + 48 y = -28 x = -14 - 9 · (-1) x = -14 + 9 56 + 36 y + 48 y = -28 - 56 84 y = - 84 y = -1 : 84 x = -5 Rj. ( -5, -1 ) Provjeru napravi sam. . .

Primjer 2. : Sljedeće sustave riješi sam na papiru, a tek onda klikni da ti se i ovdje prikaže postupak: a) x - y = -1 -x - 3 y = 9 x = -1 + y x = -1 + (-2) - (-1 + y) - 3 y = 9 x = -1 - 2 1 - y - 3 y = 9 x = -3 - y - 3 y = 9 - 1 - 4 y = 8 y = -2 : (-4) Rj. ( -3, -2 )

Primjer 2. : Sljedeće sustave riješi sam na papiru, a tek onda klikni da ti se i ovdje prikaže postupak: b) 12 x - 2 y = 3 x+y = 5 x= 5 -y 6 12 · 6 x= 5 - 1 ( ) - 12 y - 2 y = 3 10 5 - y - 2 y = 3 6 6 x= 5 -3 6 x= 2 6 - 12 y - 2 y = 3 - 10 - 14 y = - 7 y= y= 2 7 14 1 2 : (-14) 1 2 1 3 x= 1 3 Rj. ( 1 , 1 3 2 )

Primjer 3. : Hoćemo li u sljedećem sustavu x izraziti iz prve ili iz druge jednadžbe? x - 7 y = -1 x - 5 y = -3 Svejedno! Ako ga izrazimo iz prve jednadžbe, uvrštavat ćemo u drugu. A ako ga izrazimo iz druge jednadžbe, uvrštavat ćemo u prvu. . . Oba postupka dovest će do istog rješenja! Provjeri - sam riješi na oba načina. . . Rj. (-8, -1)

Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke. Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno pogrešaka, vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće! Nakon zadataka, na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja. Sretno! 1. ) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije: a) -2 x - 3 y = -19 x - 2 y = -1 b) - x - 3 y = 2 x+y=6 x - y = -1 e) Rješenja: a) (5, 3) b) (10, -4) c) (-1, 1) -1 , 1 d) 2 2 e) (-5, -1) f) (0. 3, 0. 2) ( c) x + y = 0 2 x + y = -1 d) 2 x + 3 y = f) 0. 2 x + 3 y = 0. 66 x - 2 y = -0. 1 1 2 3 x + y = -4 5 x - 5 y = 0 )

Nadam se da si uspješno riješio zadatke. Time smo svladali metodu supstitucije, ali samo u slučajevima kad uz x imamo koeficijent 1 (bilo u prvoj ili u drugoj jednadžbi). U sljedećim prezentacijama susrest ćemo se sa sustavima u kojima neće biti tako. . .

Autorica prezentacije: Antonija Horvatek svibanj 2011.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima. . . , za korištenje na predavanjima, radionicama. . . , potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare. . . Antonija Horvatek ahorvatek@yahoo. com http: //public. carnet. hr/~ahorvate