Metoda supstitucije 3 dio izraavamo y iz bilo

Metoda supstitucije 3. dio (izražavamo y iz bilo koje jednadžbe; barem jedan koeficijent jednak 1)

U prošle dvije prezentacije rješavali smo sustave u kojima smo uz x imali koeficijent 1, bilo u prvoj ili u drugoj jednadžbi (odnosno, koeficijent uz x nije pisao, a kad on ne piše podrazumijeva se 1). Iz jednadžbe u kojoj je uz x bio koeficijent 1, izrazili smo x pomoću y, te smo dobiveni izraz uvrstili u drugu jednadžbu. . . U ovoj prezentaciji susrest ćemo sustave koje je jednostavnije rješavati na "malo drugačiji" način.

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: -4 x + y = -10 3 x - 2 y = 0 y = -10 + 4 x Po čemu se ovaj sustav razlikuje od svih koje smo rješavali do sad? Svi sustavi koje smo do sad rješavali imali su u barem jednoj jednadžbi uz x koeficijent 1 (tj. nikakav koeficijent nije pisao, pa se podrazumijevao broj 1)! U ovom sustavu nije tako, ovdje u obje jednadžbe uz x imamo koeficijente različite od 1 ! Stoga sad više nije tako lako izraziti x pomoću y. Imaš li ideju što ćemo sad? (pažljivo pogledaj zadani sustav) Uočimo da sad u prvoj jednadžbi imamo "sami y" (tj. koeficijent 1 uz y) ! Stoga ćemo sad iz prve jednadžbe izraziti y pomoću x!

Primjer 1. : a) ? Riješimo metodom supstitucije: -4 x + y = -10 3 x - 2 y = 0 y = -10 + 4 x 3 x - 2 · (-10 + 4 x) = 0 Time smo u drugu jednažbu umjesto y uvrstili -10+4 x. Uočimo da u dobivenom izrazus piše da je Nastavljamo rješavanjem. . . y jednak nekom izrazu, izrazu -10+4 x. Stoga umjesto y možemo pisati -10+4 x. Upravo to ćemo i učiniti! U drugu jednadžbu ćemo umjesto y uvrstiti -10+4 x. Stoga prepišimo drugu jednadžbu, samo umjesto y stavimo -10+4 x. Prvo prepišimo sve do y. . .

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: -4 x + y = -10 3 x - 2 y = 0 y = -10 + 4 x 3 x - 2 · (-10 + 4 x) = 0 3 x + 20 - 8 x = 0 Ukoliko ti nije jasno otkud ovi predznaci, klikni ovdje. Ako ti je sve jasno, klikni bilo gdje izvan tog linka za nastavak.

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: -4 x + y = -10 3 x - 2 y = 0 y = -10 + 4 x 3 x - 2 · (-10 + 4 x) = 0 y = -10 + 16 3 x + 20 - 8 x = 0 y= 6 y = -10 + 4 · 4 3 x - 8 x = 0 - 20 - 5 x = - 20 x = 4 : (-5) Rj. ( 4, 6 ) Time smo izračunali koliki je x. JošPazi nam da nedostaje y. u uređenom paru Imaš li ideju kakox, ćemo njega prvo napišeš izračunati? a zatim y! Budući da smo izračunali da je x = 4, umjesto x možemo pisati 4. Učinimo to! Provjeru napravi sam. . . Umjesto x uvrstimo 4 u gornju jednadžbu!

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: -7 x - y = 16 -5 x + y = -4 + 5 x Što ćemo ovdje učiniti? sad Sa čime krenuti? U koju ćemo jednadžbu uvrštavati? Budući U prvu da ! u drugoj jednadžbi imamo koeficijent 1 uz y, iz te ćemo jednadžbe izraziti pomoću x. (Nikad u onu iz kojey smo izražavali jednu nepoznanicu pomoću druge. ) Umjesto koje nepoznanice što uvrštavamo? Umjesto y ćemo uvrstiti -4 + 5 x. Učinimo to. . .

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: -7 x - y = 16 -5 x + y = -4 + 5 x -7 x - (-4 + 5 x) = 16 -7 x + 4 - 5 x = 16 -7 x - 5 x = 16 - 4 - 12 x = 12 x = -1 Kako ćemo se sad riješiti zagrade? Ispred zagrade je minus! On nam kaže da svima iz zagrade promijenimo predznake. : (-12)

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: -7 x - y = 16 -5 x + y = -4 + 5 x -7 x - (-4 + 5 x) = 16 y = -4 + 5 · (-1) -7 x + 4 - 5 x = 16 y = -4 - 5 y = -9 -7 x - 5 x = 16 - 4 - 12 x = 12 x = -1 : (-12) Rj. ( -1, -9 ) Provjeru napravi sam. . .

Primjer 2. : Sljedeće sustave riješi sam na papiru, a tek onda klikni da ti se i ovdje prikaže postupak: a) -3 x - 2 y = -13 3 x + y = 2 - 3 x - 2 · (2 - 3 x) = -13 y = 2 - 3 · (-3) -3 x - 4 + 6 x = -13 y=2+9 y = 11 -3 x + 6 x = -13 + 4 3 x = -9 x = -3 : 3 Rj. ( -3, 11 )

Primjer 2. : Sljedeće sustave riješi sam na papiru, a tek onda klikni da ti se i ovdje prikaže postupak: b) y= 2 y = 3 2 x + 2 y = 2 2 x + 2 · 2 = 2 3 2 x + 4 = 2 3 Ovo je rješenje za y. ( Vidimo da nam tu lijepo piše 1 , 2 koliki Rj. 3 je 3 y, a ni traga od x. ) · 3 Riješimo se razlomka! 6 x = 6 - 4 x = 2 6 x= 1 3 3 ) Prva jednadžba je očito zadovoljena! : 6 1 ( Provjera: 6 x + 4 = 6 6 x = 2 2 3 Provjerimo je li i druga! Uvrstimo vrijednosti dobivene za x i y u lijevu stranu te jednadžbe, izračunajmo i provjerimo je li rezultat jednak desnoj strani. . .

Primjer 2. : Sljedeće sustave riješi sam na papiru, a tek onda klikni da ti se i ovdje prikaže postupak: b) y= 2 2 3 y = 3 2 x + 2 y = 2 2 x + 2 · 2 = 2 3 Rj. 2 x + 4 = 2 · 3 3 2· 1 +2· 2 6 x = 6 - 4 x = 2 6 x= 1 3 : 6 1 3 ) Provjera: 6 x + 4 = 6 6 x = 2 ( 1 , 2 3 3 = = 2 + 4 = 3 3 = 6 = 2 3 Dobili smo predviđeni rezultat! Dakle, uređeni par (1/3, 2/3) zadovoljava obje jednadžbe, pa je on rješenje zadanog sustava.

Primjer 3. : Hoćemo li u sljedećem sustavu izraziti x ili y iz prve jednadžbe? x+y=0 -3 x + 2 y = 35 Svejedno! Ako izrazimo x, moramo paziti da kod uvrštavanja u drugu jednadžbu umjesto x uvrstimo dobiveni izraz. A ako izrazimo y, moramo paziti da kod uvrštavanja u drugu jednadžbu umjesto y uvrstimo dobiveni izraz. Oba postupka dovest će do istog rješenja! Provjeri - sam riješi na oba načina. . .

Primjer 3. : Hoćemo li u sljedećem sustavu izraziti x ili y iz prve jednadžbe? x+y=0 -3 x + 2 y = 35 x = -y x = -7 -3 · (-y) + 2 y = 35 3 y + 2 y = 35 5 y = 35 y = 7 Izrazimo x. . . : 5 Rj. ( -7, 7 ) Oba načina dovela su nas do istog rješenja! Drugi način (izrazimo y). . . y = -x x+y=0 -3 x + 2 y = 35 y = - (-7) -3 x + 2 · (-x) = 35 y=7 -3 x - 2 x = 35 -5 x = 35 x = -7 : (-5) Rj. ( -7, 7 ) Dakle, možeš krenuti od nepoznanice od koje želiš; svi putevi dovest će do istog rješenja!

Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke. Prvi zadatak je bez razlomaka, a u drugom se pojavljuju razlomci. Navali na one koji su u skladu s tvojim znanjem i željama za uspjehom iz matematike. Nakon zadataka, na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja. Sretno! 1. ) Riješi metodom supstitucije: a) -7 x - 20 y = 7 -5 x + y = 5 f) -x + 12 y = -37 x + 2 y = -5 b) 4 x - 9 y = 30 x + 2 y = -1 g) 2 x - 3 y = 100 -4 x + y = -20 c) x + y = - 5 -x - y = 5 h) x - 5 y = 16 -x + 2 y = -4 d) 2 x + 3 y = 8 -x + y = -9 i) 2 x + y = 15 -3 x -2 y = -25 e) -2 x + 3 y = 24 3 x + y = 19 j) -x + 3 y = 2 -x + y = 2 Rješenja: a) (-1, 0) b) (3, -2) c) (2, -7) d) (7, -2) e) (3, 10) f) (1, -3) g) (-4, -36) h) (-4, -4) i) (5, 5) j) (-2, 0)

Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke. Prvi zadatak je bez razlomaka, a u drugom se pojavljuju razlomci. Navali na one koji su u skladu s tvojim znanjem i željama za uspjehom iz matematike. Nakon zadataka, na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja. Sretno! 2. ) Riješi metodom supstitucije: a) x + 5 y = 8 2 x - 4 y = -5 b) 2 x + y = 1 -x + 2 y = 3 4 c) 1 1 1 x+ y= 3 4 3 1 xy = -4 2 d) -6 x + 3 y = 0 1 -x + y = 4 e) 2 =0 5 4 x + 5 y = 3 y- f) -2 x + 3 y = 0 1 x-y= 6 g) x + y = 3 4 3 x + 4 y = 5 2 h) 4 x - 2 y = 3 -x + y = 0 i) 1 x+y=0 2 4 x + 12 y = -1 Rješenja: a) b) c) d) e) f) g) h) i) (1/2, 3/2) (1/4, 1/2) (-2, 4) (1/4, 1/2) (1/4, 2/5) (1/2, 1/3) (1/2, 1/4) (3/2, 3/2) (1/2, -1/4)

Nadam se da si uspješno riješio zadatke. Time smo svladali metodu supstitucije, ali samo u slučajevima kad uz neku nepoznanicu imamo koeficijent 1 (bilo u prvoj ili u drugoj jednadžbi). U sljedećoj prezentaciji susrest ćemo se i sa sustavima u kojima će svi koeficijenti bili različiti od 1. . .

Autorica prezentacije: Antonija Horvatek svibanj 2011.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima. . . , za korištenje na predavanjima, radionicama. . . , potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare. . . Antonija Horvatek ahorvatek@yahoo. com http: //public. carnet. hr/~ahorvate