Metoda supstitucije 4 dio svi koeficijenti razliiti od

Metoda supstitucije 4. dio (svi koeficijenti različiti od 1)

U prošlim smo prezentacijama rješavali sustave u kojima smo imali barem jedan koeficijent jednak 1. Sad ćemo načiti kako postupiti kad su svi koeficijenti različiti od 1. Time ćemo zapravo naučiti kako bilo koji sustav riješiti metodom supstitucije.

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: -x + 3 y = 7 -2 x - 5 y = 25 -x = 7 - 3 y Ne zaboravimo da se prilikom seljenja s jedne strane na drugu mijenja predznak, a ako nešto ostaje na istoj strani, ostaje mu isti predznak! Po čemu se ovaj sustav razlikuje od svih koje smo rješavali do sad? Svi sustavi koje smo do sad rješavali imali su barem jedan koeficijent jednak 1! U ovom sustavu su svi koeficijenti različiti od 1 ! Imaš li ideju od koje nepoznanice ovdje krenuti? Krenimo od -x iz prve jednadžbe. Tu je uz x koeficijent -1. . .

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: -x + 3 y = 7 -2 x - 5 y = 25 -x = 7 - 3 y : (-1) Govori li nam dobivena jednakost da umjesto x možemo uvrstiti 7 -3 y ? Nikako! U njoj piše da je -x jednak 7 -3 y. Stoga bismo umjesto -x mogli uvrstiti 7 -3 y, ali to nam nije praktično. Imaš li ideju - što ovdje učiniti? Tu jednakost podijelimo s -1 (s koeficijentom kojeg imamo uz x), pa ćemo dobiti čemu je jednak x, a onda ćemo moći nastaviti po starom. . .

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: -x + 3 y = 7 -2 x - 5 y = 25 -2 ·(-7 + 3 y) -5 y = 25 -x = 7 - 3 y : (-1) x = -7 + 3 y Jesmo li sad saznali što možemo uvrstiti umjesto x ? Da! Ovdje piše da je x jednak -7+3 y , pa umjesto x možemo uvrstiti -7+3 y. Učinimo to! U koju jednadžbu uvrštavamo? Uvrštavamo u onu iz koje nismo izražavali jednu nepoznanicu pomoću druge, dakle u donju jednadžbu. Umjesto koje nepoznanice uvrštavamo? Umjesto x.

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: -x + 3 y = 7 -2 x - 5 y = 25 -x = 7 - 3 y x = -7 + 3 y -2 ·(-7 + 3 y) -5 y = 25 x = -7 + 3 · (-1) 14 - 6 y - 5 y = 25 x = -7 - 3 - 6 y - 5 y = 25 - 14 - 11 y = 11 : (-1) x = -10 : (-11) y = -1 Rj. ( -10, -1 ) Provjera: - (-10) + 3 · (-1) = 10 - 3 = 7 Uvrstimo vrijednosti za x i yrezultat. Izračunajmo ovo. . . Dobilidobivene smo predviđeni u izraz na lijevoj. Otuda stranizaključujemo prve jednadžbe, da uređeni par (-10, -1) te provjerimo hoće li rezultat bitijednadžbu. jednak zadovoljava prvu desnoj strani iste jednadžbe. . . A drugu? . . .

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: -x + 3 y = 7 -2 x - 5 y = 25 -x = 7 - 3 y x = -7 + 3 y -2 ·(-7 + 3 y) -5 y = 25 x = -7 + 3 · (-1) 14 - 6 y - 5 y = 25 x = -7 - 3 - 6 y - 5 y = 25 - 14 - 11 y = 11 : (-1) x = -10 : (-11) y = -1 Rj. ( -10, -1 ) Provjera: - (-10) + 3 · (-1) = 10 - 3 = 7 -2 · (-10) - 5 · (-1) = 20 + 5 = 25 I tu smo dobili predviđeni rezultat. Dakle, uređeni par (-10, -1) zadovoljava i drugu jednadžbu. Stoga on zadovoljava obje jednadžbe, pa je on rješenje zadanog sustava.

Primjer 1. : a) Riješimo metodom supstitucije: -x + 3 y = 7 -2 x - 5 y = 25 -x = 7 - 3 y x = -7 + 3 y -2 ·(-7 + 3 y) -5 y = 25 x = -7 + 3 · (-1) 14 - 6 y - 5 y = 25 x = -7 - 3 - 6 y - 5 y = 25 - 14 - 11 y = 11 : (-1) x = -10 : (-11) y = -1 Rj. ( -10, -1 ) Provjera: - (-10) + 3 · (-1) = 10 - 3 = 7 -2 · (-10) - 5 · (-1) = 20 + 5 = 25 Dakle, ako u sustavu imamo barem jedan koeficijent -1, krenemo od njemu pripadne nepoznanice. . .

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: 4 x + 2 y = 32 4 x + 3 y = 12 2 y = 32 - 4 x U bilo kojem sustavu možemo krenuti od bilo koje nepoznanice, izraziti je pomoću druge nepoznanice, te nastaviti na način kojeg smo upoznali u prošlim prezentacijama. Međutim, o izboru početne nepoznanice može ovisiti hoćemo li u postupku imati razlomke ili ne. Ovo je jedan takav primjer. Krenimo od 2 y iz prve jednadžbe, tj. iz prve jednadžbe izrazimo y pomoću x. (Kasnije ćemo komentirati što bi bilo da smo krenuli od neke druge nepoznanice. )

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: 4 x + 2 y = 32 4 x + 3 y = 12 4 x + 3 ∙ (16 - 2 x) = 12 2 y = 32 - 4 x : 2 y = 16 - 2 x Sad smo dobili Dobivena jednakost čemupočinje je jednak s 2 y y , . Štoizraz pa učiniti s desne da bismo strane umjesto tj. 16 -2 x 2 y imali y ? možemo uvrštavati umjesto y. Cijelu podijelimo s brojem uz y, U kojujednadžbu ćemo jednadžbu uvrstiti? tj. sa 2 ! U onu koju do sad nismo koristili, tj. u donju.

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: 4 x + 2 y = 32 4 x + 3 y = 12 2 y = 32 - 4 x y = 16 - 2 x 4 x + 3 ∙ (16 - 2 x) = 12 y = 16 - 2 · 18 4 x + 48 - 6 x = 12 y = 16 - 36 4 x - 6 x = 12 - 48 - 2 x = -36 x = 18 : 2 y = -20 : (-2) Rj. ( 18, -20 ) Provjeru napravi sam. . . U ovom smo postupku krenuli od 2 y iz prve jednadžbe i došli do rješenja (18, -20). Što da smo krenuli od neke druge nepoznanice (bilo iz prve ili iz druge jednadžbe)? Bismo li došli do istog rješenja? Bi li postupak bio jednako složen? . . . Isprobajmo i to! Riješimo ponovo isti sustav, ali krenimo npr. sa 4 x iz druge jednadžbe.

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: 4 x + 2 y = 32 4 x + 3 y = 12 4 x = 12 - 3 y x= 3 - : 4 3 y 4 Sad smo dobili Dobivena jednakost čemupočinje je jednak s 4 x x , . Štoizraz pa učiniti s desne da bismo strane umjesto možemo 4 x imali x ? uvrštavati umjesto x. U koju ćemo jednadžbu uvrstiti? U onu koju do sad nismo koristili, tj. u gornju. U ovom smo postupku krenuli od 2 y iz prve jednadžbe i došli do rješenja (18, -20). Što da smo krenuli od neke druge nepoznanice (bilo iz prve ili iz druge jednadžbe)? Bismo li došli do istog rješenja? Bi li postupak bio jednako složen? . . . Isprobajmo i to! Riješimo ponovo isti sustav, ali krenimo npr. sa 4 x iz druge jednadžbe.

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: 4 x + 2 y = 32 4 x + 3 y = 12 4· 4 x = 12 - 3 y ( 12 ) - 3 y + 2 y = x= 3 - 3 3 y + 2 y = 32 4 32 = 20 y = -20 3 y 4 x = 3 - 3 ∙ (-20) 4 - 3 y + 2 y = 32 - 12 -y : 4 : (-1) x = 3 + 15 x = 18 Rj. ( 18, -20 ) Dobili smo isto rješenje!

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: 4 x + 2 y = 32 4 x + 3 y = 12 Dakle, od koje god nepoznanice krenuli, doći ćemo do istog rješenja! Međutim, o izboru početne nepoznanice ponekad ovisi hoćemo li u postupku imati razlomke ili ne. Pitanje je kako to možemo predvidjeti, odnosno kako izabrati početnu nepoznanicu, pa da nam postupak bude što jednostavniji (bez razlomaka)? Proučimo to na ovom primjeru. . . Ako krenemo od 4 x iz prve jednažbe, tj. ako taj 4 x izrazimo pomoću y, sa čime ćemo morati dijeliti tu jednažbu da bismo dobili sami x ? Morat ćemo dijeliti sa koeficijentom uz x, tj. sa 4 ! Pogledaj ostale brojeve u toj jednadžbi! Jesu li oni djeljivi sa 4 ? 32 je djeljiv, ali 2 nije! Zbog toga ćemo kod dijeljenja 2: 4 dobiti razlomak! Dakle, ako krenemo od 4 x iz prve jednadžbe, u postupku ćemo imati razlomke!

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: 4 x + 2 y = 32 4 x + 3 y = 12 Dakle, od koje god nepoznanice krenuli, doći ćemo do istog rješenja! Međutim, o izboru početne nepoznanice ponekad ovisi hoćemo li u postupku imati razlomke ili ne. Pitanje je kako to možemo predvidjeti, odnosno kako izabrati početnu nepoznanicu, pa da nam postupak bude što jednostavniji (bez razlomaka)? Proučimo to na ovom primjeru. . . Što ako krenemo od 2 y iz prve jednažbe? Sa čime ćemo morati dijeliti tu jednažbu da bismo dobili sami y ? Morat ćemo dijeliti sa koeficijentom uz y, tj. sa 2 ! Pogledaj ostale brojeve u toj jednadžbi! Jesu li oni djeljivi sa 2 ? Jesu! Zbog toga kod ovog dijeljenja nećemo imati razlomke! Dakle, ako krenemo od 2 y iz prve jednadžbe, u postupku nećemo imati razlomke! Dakle, takav izbor bi bio dobar, tj. skratio bi nam muke u postupku.

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: 4 x + 2 y = 32 4 x + 3 y = 12 Dakle, od koje god nepoznanice krenuli, doći ćemo do istog rješenja! Međutim, o izboru početne nepoznanice ponekad ovisi hoćemo li u postupku imati razlomke ili ne. Pitanje je kako to možemo predvidjeti, odnosno kako izabrati početnu nepoznanicu, pa da nam postupak bude što jednostavniji (bez razlomaka)? Proučimo to na ovom primjeru. . . Što ako krenemo od 4 x iz druge jednažbe? Sa čime ćemo morati dijeliti tu jednažbu da bismo dobili sami x ? Morat ćemo dijeliti sa 4 ! Pogledaj ostale brojeve u toj jednadžbi! Jesu li oni djeljivi sa 4 ? 12 je djeljiv, ali 3 nije! Zbog toga ćemo kod dijeljenja 3: 4 dobiti razlomak! Dakle, ako krenemo od 4 x iz druge jednadžbe, u postupku ćemo imati razlomke!

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: 4 x + 2 y = 32 4 x + 3 y = 12 Dakle, od koje god nepoznanice krenuli, doći ćemo do istog rješenja! Međutim, o izboru početne nepoznanice ponekad ovisi hoćemo li u postupku imati razlomke ili ne. Pitanje je kako to možemo predvidjeti, odnosno kako izabrati početnu nepoznanicu, pa da nam postupak bude što jednostavniji (bez razlomaka)? Proučimo to na ovom primjeru. . . Što ako krenemo od 3 y iz druge jednažbe? Sa čime ćemo morati dijeliti tu jednažbu da bismo dobili sami y ? Morat ćemo dijeliti sa 3 ! Pogledaj ostale brojeve u toj jednadžbi! Jesu li oni djeljivi sa 3 ? 12 je djeljiv, ali 4 nije! Zbog toga ćemo kod dijeljenja 4: 3 dobiti razlomak! Dakle, ako krenemo od 3 y iz druge jednadžbe, u postupku ćemo imati razlomke!

Primjer 1. : b) Riješimo metodom supstitucije: 4 x + 2 y = 32 4 x + 3 y = 12 Dakle, jedino u slučaju ako krenemo od 2 y iz prve jednadžbe, u postupku nećemo imati razlomke! Ako je moguće učiniti takav izbor, naravno da je dobro učiniti ga i olakšati si postupak. Međutim, ponekad nije moguće izbjeći razlomke. U svakom slučaju, imali ili ne imali u postupku razlomke, svi će nas postupci dovesti do istog rješenja!!!

Primjer 1. : c) Riješimo metodom supstitucije: -3 x + 4 y = 22 6 x - 2 y = -2 - 6 x : (-2) y = 1 + 3 x Je li ovdje moguće izbjeći razlomke? S kojom nepoznanicom bi ti krenuo? Moguće je izbjeći razlomke! Naime, uočimo -2 y iz druge jednadžbe! Što sad? U koju ćemo jednadžbu uvrstiti? U gornju! Ako krenemo od -2 y iz te jednažbe, sa čime ćemo morati dijeliti tu jednažbu da bismo dobili sami y ? Morat ćemo dijeliti sa -2 ! Pogledaj ostale brojeve u toj jednadžbi! Jesu li oni djeljivi sa -2 (odnosno sa 2)? Jesu! Kod tih dijeljenja nećemo dobivati razlomke!

Primjer 1. : c) Riješimo metodom supstitucije: -3 x + 4 y = 22 6 x - 2 y = -2 - 6 x -3 x + 4 ∙ (1 + 3 x) = 22 y = 1 + 3 x -3 x + 4 + 12 x = 22 y = 1 +3 · 2 y= 1 +6 -3 x + 12 x = 22 - 4 9 x = 18 x = 2 : (-2) : 9 y= 7 Rj. ( 2, 7 ) Provjeru napravi sam. . .

Primjer 1. : d) Riješimo metodom supstitucije: 5 x + 2 y = 24 -3 x - 7 y = 3 2 y = 24 - 5 x : 2 y = 12 - 5 x 2 Je li ovdje moguće izbjeći razlomke? S kojom nepoznanicom bi ti krenuo? Što sad? U koju ćemo jednadžbu uvrstiti? U donju! Ovdje nije moguće izbjeći razlomke! Svejedno je s kojom ćemo nepoznanicom krenuti. Krenimo npr. s 2 y iz prve jednadžbe.

Primjer 1. : d) Riješimo metodom supstitucije: 2 y = 24 - 5 x 5 x + 2 y = 24 -3 x - 7 y = 3 ( -3 x -7 ∙ 12 - 5 x 2 : 2 y = 12 - 5 x 2 ) =3 y = 12 - -3 x - 84 + 35 x = 3 · 2 2 -6 x - 168 + 35 x = 6 5 · 6 2 Što ćemo sad? y = 12 - 15 Riješimo se razlomka! y = -3 -6 x + 35 x = 6 + 168 29 x = 174 x = 6 : 29 Rj. ( 6, -3 ) Provjeru napravi sam. . .

Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke. Nakon zadataka, na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja. Sretno! 1. ) Riješi metodom supstitucije: a) 2 x + 5 y = -18 5 x + 5 y = -15 g) 2 x + 3 y = -69 -x - y = 27 b) h) -5 x + 7 y = 8 -2 x + 4 y = 2 -x - y = 0 3 x - 2 y = -10 c) 4 x - 5 y = 6 4 x - 3 y = 2 i) -3 x + 5 y = -48 -x - y = 0 d) 2 x + 6 y = 3 4 x - 3 y = 1 j) -2 x - 3 y = 9 4 x + 2 y = 2 e) -3 x + 5 y = 84 x - 8 y = -28 k) 2 x + 3 y = -3 3 x + 2 y = 13 f) 3 x + 2 y = -5 3 x - 4 y = -8 l) 2 x - 3 y = 29 6 x - 2 y = 38 m) 2 x - 3 y = 3 5 x + 7 y = -7 Rješenja: a) (1, -4) b) (-2, 2) c) (-1, -2) d) (1/2, 1/3) e) (-28, 0) f) (-2, 1/2) g) (-12, -15) h) (-3, -1) i) (6, -6) j) (3, -5) k) (9, -7) l) (4, -7) m) (0, -1)

Nadam se da si uspješno riješio zadatke. Time smo svladali metodu supstitucije, tj. naučili kako je primijeniti na bilo koji sustav jednadžbi. Sretno!

Autorica prezentacije: Antonija Horvatek svibanj 2011.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima. . . , za korištenje na predavanjima, radionicama. . . , potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare. . . Antonija Horvatek ahorvatek@yahoo. com http: //public. carnet. hr/~ahorvate