MAPA DE NAVEGACIN INECUACIONES UNIDAD 8 ndice Teora

MAPA DE NAVEGACIÓN INECUACIONES UNIDAD 8 Índice Teoría Y Ejemplos

INECUACIONES O DESIGUALDADES íNDICE n DEFINICION DE UNA DESIGUALDAD O INECUACION. n PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD. INECUACIONES SIMULTANEAS n n SOLUCION DE UNA INECUACION. n INECUACIONES CUADRATICAS. n n INECUACIONES RACIONALES. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.

DESIGUALDAD: Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. INECUACIÓN: Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se llaman DESIGUALDADES CONDICIONALES. EJEMPLO: La desigualdad 2 x – 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x. Es condicional, porque es cierta para cualquier valor de x mayor que 8, pero es falsa si x es menor o igual que 8. Índice

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES. ALGUNAS PROPIEDADES BASICAS DE LAS DESIGUALDADES SON LAS SIGUIENTES EN LOS LIBROS DE LA BIBLIOGRAFÍA DEL TALLER SE PUEDEN ENCONTRAR PROPIEDADES ADICIONALES PROPIEDADES FUNDAMENTALES: 1. - Si a > b y b > c entonces a > c. 2. - Si a > b entonces a+c > b+c y a-c > b-c. 3. - Si a > b y c > 0 entonces ac > bc y a/c > b/c. 4. - Si a > b y c < 0 entonces ac < bc y a/c < b/c. Índice

INECUACIONES SIMULTANEAS Son inecuaciones que tienen soluciones comunes. Ejemplo: ¿Para qué valores de x se verifican simultáneamente las inecuaciones 10 x-15 < 0 y 5 x > 3? Resolviendo las inecuaciones, la primera se cumple para x < 3/2, y la segunda, para x >(3/5); por consiguiente, los valores mayores que 3/5 y menores que 3/2, verifican simultáneamente ambas inecuaciones. Este resultado se escribe así: 3/5 < x < 3/2 Índice

SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN O DESIGUALDAD. EJEMPLO: 6 x – 10 > 3 x + 5 Pasamos los términos semejantes de un lado: 6 x – 3 x > 5 + 10 Reduciendo términos queda: 3 x > 15 Despejando x: x > 15/3 Haciendo la división obtenemos: x>5 El intervalo de solución es (5, ∞) Índice Siguiente

Resolver la inecuación (6 + x)÷ 3 < (5 x - 7)÷ 5 Multiplíquese por 15 (el común denominador de los divisores 3 y 5) cada miembro 30 + 5 x < 15 x -21 Réstese 15 x de cada miembro: 30 + 5 x -15 x < 15 x -21 -15 x Réstese 30 de cada miembro: 30 -10 x -30 < -21 -30 Divídase entre -10 cada miembro (-10 x)÷(-10 )> (-51)÷(-10 ) Finalmente x > 5. 1 Índice

INECUACIONES CUADRATICAS EJEMPLO: Resolver la desigualdad x 2 – 5 x – 6 > 0 SOLUCION: Se factoriza el trinomio (x – 6)(x + 1) > 0 Se buscan los valores que hacen cero el producto. En este caso son 6 y -1, con estos valores se determinan los intervalos: (- ∞, -1), -1 (-1, 6), (6, ∞) Después se comprueba, sustituyendo un valor de cada intervalo en los factores, para determinar los signos de estos. Posteriormente se aplica la ley de los signos para el producto tomando como solución el intervalo o los intervalos que cumplen con la desigualdad. Índice siguiente

-Para el intervalo (- ∞, -1) Se toma, por ejemplo, el valor de x = -4 y se sustituye en cada factor. (-4 -6)(-4+1) = (-10)(-3) = 30 el producto es positivo -Para el intervalo (-1, 6) Se toma un valor como el de x = 0 y se sustituye en los factores (0 -6)(0+1) = (-6)(1) = -6 el producto es negativo -Para el intervalo (6, ∞) Se toma el valor de x, como x = 7 y se sustituye en cada factor (7 -6)(7+1) = (1)(8) = 8 el producto es positivo Los intervalos solución son aquellos en los cuales el producto es positivo, es decir, (- ∞, -1) (6, ∞) anterior Índice

INECUACIONES RACIONALES EJEMPLO : Resolver la desigualdad 2/(3 x - 6) < 0 SOLUCION: El numerador es positivo, entonces para que la desigualdad sea negativa (menor que cero) el denominador debe ser negativo, es decir: 3 x – 6 < 0 Despejando x queda x < 6/3 con lo cual se obtiene que x < 2 El intervalo de solucion es (-∞, 2). Índice siguiente

EJEMPLO 2: Resolver (3/(2 x + 3)) < (1/(x - 2)) SOLUCION : Se agrupan los términos en un solo miembro de la desigualdad y se realiza la operación indicada, obteniendo así: (3/2 x + 3 ) - (1/(x - 2)) < 0 3(x-2) – (2 x + 3) / (2 x + 3)(x - 2) < 0 3 x – 6 – 2 x + 3 / (2 x + 3)(x - 2) < 0 x – 9 / (2 x + 3)(x - 2) < 0 Se determinan los intervalos para analizar la desigualdad, de la siguiente manera: El denominador debe ser diferente de cero por tanto x ≠ - 3/2 y x ≠ 2. Luego, el numerador se hace cero cuando x = 9, entonces los posibles intervalos solución son: (- ∞, -3/2), (-3/2, 2), (2, 9), (9, ∞) anterior siguiente

La siguiente tabla, que se presentará a continuación, es una de las formas de poder resolver una inecuación por medio de los signos entre los intervalos que se sacan, tomando valores entre los intervalos y verificando qué signos son los quedan cuando se aplican en las ecuaciones que se obtienen al factorizar. anterior siguiente

INTERVALO (-∞ , -3/2) (-3/2, 2) (2, 9) (9 , ∞) Signo de x – 9 - - - + Signo de 2 x + 3 - + + + Signo de x – 2 - - + + Signo de (x-9) / (2 x+3)(x 2) - + Por tanto la solución de la desigualdad es (-∞ , -3/2) U (2, 9) anterior Índice

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un numero real x denotado por |x| se define por: |x|= x si x > 0 -x si x < 0 0 si x = 0 Ejemplos : |5| = 5 |-7| = - (-7) = 7 | - 1 / 9| = -(- 1 / 9) = 1 / 9 |0. 98 | = 0. 98 |0|= 0 n a) b) Si x es un numero real y a > 0, entonces: |x| < a ↔ -a < x < a |x| > a ↔ x > a ó x < -a Índice siguiente

n a) b) Otra forma de ver el valor absoluto |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a |x| ≥ a ↔ x ≥ a o x ≤ -a Ejemplos: Resolver |x| = 7 Por la definición de valor absoluto, tenemos: x = 7 o x = -7 Resolver |2 x + 8| = 5 2 x + 8 = 5 2 x = 5 – 8 2 x = - 3 x=-3/2 ó ó 2 x + 8 = -5 2 x = - 8 – 5 2 x = - 13 x = -13 / 2 Resolver |x - 10| = - 3 Como el valor absoluto nunca es negativo, esta ecuación no tiene solución. anterior