Lojistik Eniyilemesi Dr Y lker TOPCU www ilkertopcu

Lojistik Eniyilemesi Dr. Y. İlker TOPCU www. ilkertopcu. net Operations Research: Applications and Algorithms by Wayne L. Winston Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

İçindekiler n OR / MS, eniyileme n Ulaştırma n Geçici konaklama n Atama n Gezgin satıcı n Kargo yükleme 2

OR / MS n Yöneylem araştırması (yönetim bilimi) genellikle kıt kaynakların tahsisini gerektiren koşullarda bir sistemin işletilmesi ve en iyi tasarımının yapılmasına ilişkin karar vermeye yönelik bilimsel bir yaklaşımdır. o Söz konusu terim, liderlerin bilim adamlarından ve mühendislerden çeşitli askeri sorunların analiz edilmesini istedikleri 2. dünya savaşı sırasında türetilmiştir. 3

n Karar vermeye yönelik bilimsel yaklaşım bir veya daha fazla sayıda matematiksel modele gereksinim duyar. n Matematiksel model, daha iyi karar verebilmek veya gerçek durumu daha anlaşılır hale getirmek için kullanılabilecek bir gösterimdir. 4

n Bir eniyileme (optimizasyon) modeli karar değişkenlerinin verilen tüm kısıtları sağlayan değerleri arasında amaç fonksiyonunu eniyilediği (en büyüklediği veya en küçüklediği) değerleri bulmaya çalışır o Sistem performansını etkileyen ve kontrolumuz altındaki değerleri olan değişkenlere karar değişkenleri denilir. o Çoğu durumda, karar değişkenlerinin sadece belirli değerleri olasıdır. Karar değişkenleri değerleri üzerindeki bu sınırlandırmalara kısıt denilir. 5

OR/MS Teknikleri n n Matematiksel programlama n Ağ Teknikleri o Doğrusal programlama o Proje yönetimi (CPM/PERT) o Tamsayı programlama o Ağ modelleri o Grafik analizi o Duyarlılık analizi o Değer/yarar temelli o Ulaştırma o Etkileşimli o Atama o Üstünlük o Hedef programlama o Basit Olasılık Teknikleri n n ÇKKV (MCDM) Diğer o İstatistik o Simülasyon o Karar analizi o Tahmin o Kuyruk modelleri o Envanter o Doğrusal olmayan programlama 6

Ulaştırma eniyileme 1. Ulaştırma sorununun formülasyonu 2. Ulaştırma sorununa başlangıç Temel Olurlu Çözüm (bfs) bulma 3. Ulaştırma Simpleks algoritması ile en iyi çözümü bulma 7

Ulaştırma Sorununun Formülasyonu n Bir ulaştırma sorunu, temel olarak m arz noktasının kapasitesini kullanarak n talep noktasının talebini karşılamak için en iyi yolun bulunmasını hedefleyen sorundur. n En iyi yolu bulmaya çalışırken, genel olarak bir arz noktasından bir talep noktasına bir ürün/hizmet taşımanın değişken maliyeti göz önüne alınır. 8

9

10

11

12

Örnek 1: Powerco n Powerco şirketinin dört şehre hizmet veren üç adet elektrik santrali vardır. 13

Ör. 1 - Ulaştırma tablosu n Her santralin ürettiği ve her şehrin en yoğun saatlerde talep ettiği elektrik miktarı tabloda verilmiştir. n 1 milyon k. Wh elektriğin bir santralden bir şehre gönderilmesinin maliyeti uzaklığa bağlıdır. Nereye Nereden Şehir 1 Şehir 2 Şehir 3 Şehir 4 Arz (Milyon kwh) Santral 1 € 8 € 6 € 10 € 9 35 Santral 2 € 9 € 12 € 13 € 7 50 Santral 3 € 14 € 9 € 16 € 5 40 Talep 45 20 30 30 (Milyon kwh) 14

Ör. 1 - Formülasyon n Karar değişkenleri o Powerco her santralden her şehre ne kadar güç gönderilmesi gerektiğini belirlemelidir: xij = santral i’de üretilen ve şehir j’ye gönderilen elektrik miktarı n x 14 = Santral 1’de üretilen ve Şehir 4’e gönderilen elektrik miktarı n Kısıtlar o Arz kısıtı üretilen toplam miktarın fabrika kapasitesini geçmemesini sağlar. Her santral bir arz noktasıdır. o Talep kısıtı bir bölgenin talebinin karşılanmasını sağlar. Her şehir bir talep noktasıdır. o Negatif miktarda elektrik gönderilemeyeceği için tüm xij’ler negatif olmayan (>0) değişkendir 15

n Genel olarak, bir ulaştırma sorunu aşağıdaki bilgi ile belirlenir: o Bir ürün/hizmet gönderen m adet arz noktası. i arz noktası en fazla si birim arz edebilir o Ürünün/hizmetin gönderildiği n adet talep noktası. j talep noktası en az dj birime gereksinim duyar o Bir birimin i arz noktasından j talep noktasına gönderilmesi maliyeti cij o Karar değişkeni xij: i arz noktasından j talep noktasına gönderilen miktar 16

Talep noktası 1 Arz noktası 2 Talep noktası 2 c 11 x 11 Talep noktası n c 12 x 12 c 1 n x 1 n c 21 x 21 . . . c 22 x 22 c 2 n x 2 n ARZ s 1 s 2 . . . Arz noktası m TALEP c m 1 xm 1 c m 2 xm 2 d 1 c mn xmn d 2 sm dn 17

18

19

20

21

22

23

24

25

n Eğer ise toplam arz toplam talebe eşittir ve sorun bir dengeli ulaştırma sorunudur. 26

n Eğer toplam arz miktarı toplam talep miktarını geçerse, sorunu dengelemek için talep miktarı aradaki fark (fazla arz miktarı) kadar olan bir yapay talep noktası yaratırız. n Söz konusu noktaya yapılacak gönderimler aslında olmayacağı için bu noktaya arz noktalarından yapılacak ulaştırma maliyeti 0 olacaktır. 27

Örnek 2: Değiştirilmiş Powerco Örneği (Fazla Arz) n Şehir 1’in talebinin 40 milyon kwh olduğunu (45 milyon kwh yerine) düşünelim. Bu durumda dengeli bir ulaştırma sorunu formüle edilirse: n Toplam talep 120, toplam arz 125. Şehir 1 Santral 2 Santral 3 TALEP 40 Şehir 2 Şehir 3 Şehir 4 Yapay 8 6 10 9 12 13 7 0 14 9 16 5 0 20 30 30 5 ARZ 35 50 40 125 28

n Eğer toplam arz miktarı toplam talep miktarından azsa, aslında olurlu bir çözüm yoktur (talepler karşılanamaz). n Bu durumda karşılanamayan talep kadar arzı olan bir yapay arz noktası yaratırız. n Talebin olmayan bir arz noktasından karşılanamaması beraberinde bir “ceza maliyeti” getirir. 29

Örnek 3: Değiştirilmiş Powerco Örneği (Karşılanmamış Talep) n Şehir 1’in talebinin 50 milyon kwh olduğunu ve karşılanamayan her 1 milyon k. Wh elektrik için € 80 ceza maliyeti kesildiğini düşünelim. n Bu durumda dengeli bir ulaştırma sorunu formüle edilirse: Şehir 1 Santral 2 Santral 3 Yapay (Eksiklik) TALEP 50 Şehir 2 Şehir 3 Şehir 4 8 6 10 9 9 12 13 7 14 9 16 5 80 80 20 30 30 ARZ 35 50 40 5 130 30

Ulaştırma Sorununa Başlangıç Temel Olurlu Çözüm (bfs) Bulma n Diğer Doğrusal Programlama sorunlarının aksine, m arz noktası ve n talep noktası olan (m+n eşitlik kısıtı olan)dengeli bir ulaştırma sorununu çözmek kolaydır. n Bunun nedeni, karar değişkenlerinin (xij’ler) bir kısıt haricinde tüm kısıtları sağlamaları durumunda, kalan kısıtın da xij’lerin değerlerince sağlanacak olmasıdır. 31

n Dengeli bir ulaştırma sorununa bfs bulmak için üç temel yöntem vardır: o Kuzeybatı Köşe Yöntemi o Enküçük Maliyet Yöntemi o Vogel’in Yaklaşımı (VAM) 32

n Bir bfs’de o m+n– 1 adet temel değişken vardır o Söz konusu temel değişkenlerin temsil edildiği hücreler bir döngü oluşturmaz 33

n Bir değer atanan (boş olmayan) hücre bir temel değişkeni temsil eder. n En az dört hücrenin bir döngü oluşturması için: o Herhangi ardışık iki hücrenin aynı satır veya sütunda olması gerekir o Aynı satır veya sütunda ardışık üç hücre olmamalıdır o Serinin son hücresi ilk hücre ile aynı satır veya sütunda olup döngüyü kapatmalıdır 34

n Kuzeybatı Köşe Yöntemi taşıma maliyetlerini kullanmaz. Başlangıç bfs’si çok kolay bulunur ama toplam taşıma maliyeti çok yüksek olabilir. n Enküçük maliyet yöntemi taşıma maliyetlerini kullanır ve düşük maliyetli bir bfs bulur. n Vogel’in yaklaşımı aşırı yüksek taşıma maliyetlerini devre dışı bırakmak üzerinedir. Çok fazla hesaplama gerektirse de bulunan bfs çok büyük olasılıkla en düşük toplam taşıma maliyetini (en iyi çözüm) verir. 35

Ulaştırma Simpleks Algoritması ile En İyi Çözümü Bulma n Özel bir prosedür kullanılarak ulaştırma tablosu üzerinde pivot işlemler yapılır: 1. Mevcut bfs’nin en iyi çözüm olup olmadığı kontrol edilir. Eğer en iyi ise durulur. Değilse, ikinci adıma geçilir. 2. Temele girecek temel olmayan değişken ve temelden çıkacak temel değişken belirlenir: Yeni bir bfs elde edilir. İlk adıma dönülür. 36

Geçici Konaklama Sorunları n Bir ulaştırma sorunu sadece arz noktasından talep noktasına doğrudan taşımaya izin verir. n Çoğu durumda, arz noktaları arasında veya talep noktaları arasında taşıma da söz konusu olabilir. n Bazen de arz noktasından talep noktasına taşıma yaparken ürün/hizmetlerin geçici olarak konakladıkları noktalar (geçici konaklama noktaları) var olabilir. n Geçici konaklama sorunları ulaştırma tablsouna aktarıldıktan sonra ulaştırma sorunu gibi çözülebilirler. 37

n Geçici konaklama sorununun en iyi çözümünün bulunmaya hazır hale getirilmesi: Adım 1 Eğer gerekli ise yapay bir nokta ekleyerek sorunu dengeleyiniz. s = dengeli ulaştırma sorunu için toplam arz (talep) miktarı olsun. Adım 2 : Her arz noktası ve geçici konaklama noktası için bir satır; her talep noktası ve geçici konaklama noktası için bir sütun oluşturtarak bir ulaştırma tablosu kurunuz. 38

n Her arz noktasının arzı kendi orijinal arz miktarına, her talep noktasının talebi kendi orijinal talep miktarına eşit olacaktır. n Her geçici konaklama noktasının arzı (o noktanın orijinal arzı)+ s ve her talep noktasının talebi (o noktanın orijinal talebi) + s olacaktır. 39

Örnek 4: Boğaziçi n Boğaziçi LCD TV’ler üretmektedir. Biri İstanbul’da biri Bruges’da olmak üzere iki fabrikası vardır. n İstanbul fabrikası günde 150 TV, Bruges fabrikası ise günde 200 TV üretmektedir. n TV’ler uçak ile Londra ve Paris’deki müşterilere gönderilmektedir. Her şehrin talebi günde 130 TV’dir. n Havayolu taşıma ücretlerindeki düzensizlik nedeni ile Boğaziçi bazı TV’leri önce Amsterdam veya Münih’e gönderip oradan müşterilere ulaştırmayı düşünmektedir. 40

n Boğaziçi gerekli gönderimi yaparken toplam taşıma maliyetlerini enazlamak istemektedir. n Bir TV’yi uçak ile taşımanın maliyeti tabloda verilmiştir: € Nereden Istanbul Bruges Amsterdam Munchen London Paris Istanbul 0 - Bruges 0 - Nereye Amsterdam Munchen 8 13 15 12 0 6 6 0 - London 25 26 16 14 0 - Paris 28 25 17 16 0 41

Ör. 4 – Yanıt n Bu sorunda Amsterdam ve Münih geçici konaklama noktalarıdır. n Adım 1. Sorunu dengeleme Toplam arz = 150 + 200 = 350 Toplam talep = 130 + 130 = 260 Yapay talep = 350 – 260 = 90 s = 350 (dengeli sorun için toplam talep veya arz) 42

n Adım 2. Ulaştırma tablosunun kurulması Geçici konaklama noktası talebi = Orijinal talep + s = 0 + 350 = 350 Geçici konaklama noktası arzı = Orijinal arz + s = 0 + 350 Amsterdam Istanbul Bruges Amsterdam Munchen Talep 350 Munchen London Paris Yapay Arz 8 13 25 28 0 15 12 26 25 0 0 6 16 17 0 6 0 14 16 0 350 130 = 350 150 200 350 90 43

n Adım 3. Ulaştırma tablosunun çözümü Amsterdam Istanbul 8 13 Paris 25 Yapay 28 12 26 0 25 130 0 6 220 0 70 16 17 0 14 16 0 130 6 0 350 Arz 20 15 Munchen Talep London 130 Bruges Amsterdam Munchen 350 130 150 200 350 90 n Boğaziçi İstanbul’da 130 TV üretip bunları Amsterdam üzerinden Londra’ya taşımalıdır. n Bruges ise 130 TV üretip bunları doğrudan Paris’e göndermelidir. n Toplam taşıma maliyeti 6370 Euro’dur. 44

Atama Sorunları n Genel olarak bir atama sorunu tüm talep ve arzları 1’e eşit olan dengeli bir ulaştırma sorunudur. n Bu sorunda tüm arz ve talepler tamsayıdır ve en iyi çözüm de tamsayılı çözümdür. n Ulaştırma sorunu şeklinde çözmek yerine Macar yöntemi kullanmak daha uygundur. 45

Örnek 5: Makine Atama n Machineco şirketinin yapılması gereken dört işi vardır. n Machineco şirketinin bu işler için kullanabileceği dört makinesi vardır. n Her iş bir makineye atanacaktır. n Machineco hangi işin hangi makineye atanacağını belirlemeye çalışmaktadır. 46

n Her iş için gerekli zaman aşağıda verilmiştir. Time (Hours) Job 1 Job 2 Job 3 Job 4 Machine 1 14 5 8 7 Machine 2 2 12 6 5 Machine 3 7 8 3 9 Machine 4 2 4 6 10 n Machineco toplam üretim zamanını enküçüklemek istemektedir. 47

48

49

50

51

n Macar yöntemi adımları. 1. m m’lik maliyet matrisinin her satırındaki en küçük maliyeti bulunuz. 2. Her maliyetten kendi satırındaki en küçük maliyeti çıkararak bir matris kurunuz Yeni matriste her sütunun en küçük maliyetini bulunuz Bu sefer her maliyetten kendi sütunundaki en küçük maliyeti çıkararak yeni bir matris (indirgenmiş maliyet matrisi) kurunuz İndirgenmiş maliyet matrisindeki tüm sıfırları örtecek şekilde en az sayıda (yatay veya düşey) çizgi çiziniz. Eğer bu işlem için m adet çizgi gerekli ise en iyi çözüm bulunmuştur. Eğer gerekli çizgi sayısı m adetten az ise bir sonraki adıma geçiniz İndirgenmiş maliyet matrisinde Adım 5’de çizilen çizgiler ile örtülmemiş ve sıfır’dan farklı en küçük maliyeti (k) bulunuz Her üstünden çizgi geçmeyen maliyetten k’yı çıkarınız ve çift çizgi ile örtülen her maliyete k’yı ekleyiniz. Adım 5’e dönünüz. . 3. 4. 5. 6. 7. 52

Gezgin Satıcı n Hedeflenen noktaların tamamını ziyaret edip geri gelinmesini sağlayacak en az maliyetli (masraf, uzunluk veya zaman) bir rota bulmak n Depodan yola çıkıp dağıtım yapıp geri dönecek kamyonlar n Okul servisleri, çöp arabaları… n Genelde sezgisel yaklaşımlarla iyi bir çözüm bulunur 53

En Yakın Komşu Sezgiseli n Herhangi bir noktadan başla ve en yakın noktaya git. n Son gidilen noktadan ziyaret edilmemiş en yakın noktaya git. n Tüm noktalar ziyaret edilip bir tur oluşuncaya kadar devam et. n Tek tek diğer noktaları da başlangıç noktası olarak alıp bulunan en iyi çözümü öner. 54

Örnek n Burak’ın merkezi İzmir’de olan bir şirketi vardır. Her yıl sonunda İstanbul, Ankara, Antalya ve Adana’daki şubelerini ziyaret etmektedir. n Yolculuğunun toplam süresini enazlamak için hangi sırada şubelerini ziyaret etmelidir? n Süreler: 55

n İzmir’i başlangıç noktası olarak alalım n Ziyaret edilmeyen şehirlerden İzmir’e en yakını Antalya’dır. İzmir’den Antalya’ya git. n Ziyaret edilmeyen şehirlerden Antalya’ya en yakını İstanbul’dur. Antalya’dan İstanbul’a git. n Ziyaret edilmeyen şehirlerden İstanbul’a en yakını Samsun’dur. İstanbul’dan Samsun’a git. Oradan Adana’ya git n İzmir – Antalya – İstanbul – Samsun – Adana – İzmir Toplam süre: 40 sa 14 dk 56

n İstanbul’u başlangıç noktası olarak alalım n İstanbul’dan İzmir’e git. n İzmir’den Antalya’ya git. n Antalya’dan Adana’ya git. n Adana’dan Samsun’a git n İstanbul – İzmir – Antalya – Adana – Samsun – İstanbul n İzmir – Antalya – Adana – Samsun – İstanbul – İzmir Toplam süre: 36 sa 17 dk 57

n Samsun’u başlangıç noktası olarak alalım n Samsun’dan İstanbul’a git. n İstanbul’dan İzmir’e git n İzmir’den Antalya’ya git. n Antalya’dan Adana’ya git. n Samsun – İstanbul – İzmir – Antalya – Adana – Samsun n İzmir – Antalya – Adana – Samsun – İstanbul – İzmir Toplam süre: 36 sa 17 dk 58

n Antalya’yı başlangıç noktası olarak alalım n Antalya’dan İzmir’e git. n İzmir’den İstanbul’a git. n İstanbul’dan Samsun’a git. n Samsun’dan Adana’ya git n Antalya – İzmir – İstanbul – Samsun – Adana – Antalya n İzmir – İstanbul – Samsun – Adana – Antalya – İzmir Toplam süre: 36 sa 17 dk 59

n Adana’yı başlangıç noktası olarak alalım n Adana’dan Samsun’a git. n Samsun’dan İstanbul’a git. n İstanbul’dan İzmir’e git. n İzmir’den Antalya’ya git n Adana – Samsun – İstanbul – İzmir – Antalya – Adana n İzmir – Antalya – Adana – Samsun – İstanbul – İzmir Toplam süre: 36 sa 17 dk 60

n İzmir – Antalya – İstanbul – Samsun – Adana – İzmir Toplam süre: 40 sa 14 dk 61

n İzmir – Antalya – Adana – Samsun – İstanbul – İzmir n İzmir – İstanbul – Samsun – Adana – Antalya – İzmir Toplam süre: 36 sa 17 dk 62

Kargo Yükleme n Geleneksel sırt çantası problemi: o Bir sırt çantası var o Taşınması gereken ölçüleri (hacim, ağırlık…) ve değeri / yararı belli eşyalar var o Amaç taşınabilecek toplam eşya değerini en büyüklemek n 0 -1 Tamsayılı Programlama Modeli: o Tek kısıt var o Katsayılar negatif değil 63

max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ∙∙∙ + cnxn s. t. a 1 x 1 + a 2 x 2 + ∙∙∙ + anxn ≤ b xi = 0 or 1 (i = 1, 2, …, n) o ci i. eşyanın taşınmasının yararı o b taşınabilecek toplam hacim veya ağırlık o ai i. eşyanın hacim veya ağırlığı 64

65

66

67

68

69

max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ∙∙∙ + cnxn s. t. a 1 x 1 + a 2 x 2 + ∙∙∙ + anxn ≤ b xi = 0 or 1 (i = 1, 2, …, n) o ci i. eşyanın taşınmasının yararı o b taşınabilecek toplam hacim veya ağırlık o ai i. eşyanın hacim veya ağırlığı o ri = c i / ai o Daha iyi eşyaların r oranı yüksek 70

n Tüm oranları hesapla n En iyi eşyayı sırt çantasına koy n Daha sonra ikinci iyi eşyayı koy n Bu şekilde çantada yer kalmayıncaya kadar devam et n Kalan kısma son eşyanın bir kısmını koyduğunu varsay 71

n Oranlar: r 1 = 8 / 5 = 1. 6 r 2 = 11 / 7 = 1. 57 r 3 = 6 / 4 = 1. 5 r 4 = 4 / 3 = 1. 33 n İlk çözüm: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0. 5, x 4 = 0, z = 22 max z = 8 x 1 + 11 x 2 + 6 x 3 + 4 x 4 s. t. 5 x 1 + 7 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 ≤ 14 72

n x 3 için geliştirilen problemler: o P 1 (x 3=0) çözüm: x 3=0, x 1=x 2=1, x 4=2/3, z=21. 67 o P 2 (x 3=1) çözüm: x 3=x 1=1, x 2=5/7, x 4=0, z=21. 85 n P 2 çözüm değeri daha iyi olduğu için bu sefer x 2 için: o P 3 (P 2 + x 2=0) çözüm: x 3=1, x 2=0, x 1=1, x 4=1, z=18 o P 4 (P 2 + x 2=1) çözüm: x 3=x 2=1, x 1=3/5, x 4=0, z=21. 8 n P 3 çözümü uygun bir çözüm (0/1) Aday çözüm = 18 max z = 8 x 1 + 11 x 2 + 6 x 3 + 4 x 4 s. t. 5 x 1 + 7 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 ≤ 14 73

n P 4 seçilirse x 1 için problemler geliştirilir: o P 5 (P 4 + x 1=0) çözüm: x 3=x 2=1, x 1=0, x 4=1, z=21 o P 6 (P 4 + x 1=1) çözüm: Uygun değil (x 3=x 2=x 1=1 16) n P 5 çözümü uygun Yeni aday çözüm = 21 max z = 8 x 1 + 11 x 2 + 6 x 3 + 4 x 4 s. t. 5 x 1 + 7 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 ≤ 14 74

n P 1 için problem yaratılmadı ama P 1 için toplam yarar 21. 67 n Bu durumda toplam yararı 21 olan uygun çözüm en iyi çözüm: z=21, x 1=0, x 2=1, x 3=1, x 4=1 n 2. , 3. ve 4. eşyalar taşınmalı n Toplam değer 21 olur 75

76

Teşekkürler. . . Yazılımı indirmek için web adresi: www. isl. itu. edu. tr/ya (yöntem/yazılım bağlantısı) 77