Le Pierangiolate n 10 Dipartimento di Ingegneria della

Le Pierangiolate n. 10 Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche Luca Chiantini presenta Il Triangolo. O no?

Il triangolo. O no? Test di ingresso a Medicina ---- 2014 PROBLEMA : In una scuola gli studenti sono stati divisi in 3 gruppi di studio composti rispettivamente da 11, 14 e 25 studenti. 15 studenti fanno parte di un solo gruppo e 10 studenti fanno parte di due gruppi. Quanti studenti fanno parte di tutti e tre i gruppi?

PROBLEMA : In una scuola gli studenti sono stati divisi in 3 gruppi di studio composti rispettivamente da 11, 14 e 25 studenti. 15 studenti fanno parte di un solo gruppo e 10 studenti fanno parte di due gruppi. Quanti studenti fanno parte di tutti e tre i gruppi? 1 2 3

PROBLEMA : In una scuola gli studenti sono stati divisi in 3 gruppi di studio composti rispettivamente da 11, 14 e 25 studenti. 15 studenti fanno parte di un solo gruppo e 10 studenti fanno parte di due gruppi. Quanti studenti fanno parte di tutti e tre i gruppi? a = numero di studenti iscritti ad un solo gruppo b = numero di studenti iscritti a due gruppi c = numero di studenti iscritti a tre gruppi { a = 15 b = 10 a + 2 b + 3 c = 11 + 14 + 25 = 50 3 c = 5 (somma pesata) c = 5

PROBLEMA : In una scuola gli studenti sono stati divisi in 3 gruppi di studio composti rispettivamente da 11, 14 e 25 studenti. 15 studenti fanno parte di un solo gruppo e 10 studenti fanno parte di due gruppi. Quanti studenti fanno parte di tutti e tre i gruppi? ha 50 punti gruppi appartenenza al gruppo Alfa Beta = lo studente Caio è nel gruppo Alfa = (Caio, Alfa) Gamma studenti = ?

CORRISPONDENZA (o Relazione) fra insiemi. appartenenza al circolo (Caio, A) = lo studente Caio è nel gruppo Alfa gruppi Alfa Beta = lo studente Caio è nel gruppo Alfa = (Caio, Alfa) Gamma studenti = 30

cosa è una CORRISPONDENZA? naturalmente dal punto di vista matematico. . . (Caio, A) = lo studente Caio è nel gruppo Alfa corrispondenza = (x, y) = x dell’insieme 1 è in corrispondenza con y dell’insieme 2 coppia ordinata insieme 1

cosa è una CORRISPONDENZA? naturalmente dal punto di vista matematico. . . La corrispondenza totale: tutto è in corrispondenza con tutto { (x, y) tali che x A e y B } insieme 2 = B = A x B (prodotto cartesiano) insieme 1 = A

cosa è una CORRISPONDENZA? naturalmente dal punto di vista matematico. . . DEFINIZIONE In generale si chiama corrispondenza fra A e B un qualunque insieme del prodotto cartesiano A x B { (x, y) tali che x A e y B } insieme 2 = B = A x B (prodotto cartesiano) insieme 1 = A corrispondenza

ESEMPI di CORRISPONDENZE A = {studenti}, B = {gruppi}, C = {(x, y): lo studente x è nel gruppo y} A = {giocatori}, B = {squadre}, C = {(x, y): il giocatore x gioca nella squadra y} A = {uomini}, B = {donne}, C = {(x, y): x è sposato con y} A = {numeri reali} = B C = {(x, y): y è il quadrato di x} B C funzione f(x) = x 2 A ogni funzione è una corrispondenza

DEFINIZIONE In generale si chiama corrispondenza fra A e B un qualunque insieme del prodotto cartesiano A x B B (a, b) b p 1 p 2 p 1 = prima proiezione a A p 1(a, b) = a p 2 = seconda proiezione p 2(a, b) = b Nell’esercizio di partenza ogni coppia (a, b) corrisponde ad una tessera p 1(a, b) = a è il nome sulla tessera p 2(a, b) = b è il gruppo che ha stampato la tessera

PROBLEMA : In una scuola gli studenti sono stati divisi in 3 gruppi di studio composti rispettivamente da 11, 14 e 25 studenti. 15 studenti fanno parte di un solo gruppo e 10 studenti fanno parte di due gruppi. Quanti studenti fanno parte di tutti e tre i gruppi? p 2 25 14 11 p 2 ha 3 fibre di 11, 14 e 25 elementi p 1 ha 15 fibre con 1 elemento e 10 fibre con 2 elementi poiché (fibre di p 1) = (fibre di p 2) = (n. di elementi della corrispondenza) inoltre (fibre di p 1) = 1· 15 + 2· 10 + 3·x (x = numero cercato) allora 15 + 20 + 3·x = 50 da cui x = 5

Proprietà delle Proiezioni - iniettività e suriettività p 2 25 14 11 p 2 ha 3 fibre di 11, 14 e 25 elementi p 1 ha 15 fibre con 1 elemento e 10 fibre con 2 elementi A = {studenti}, B = {gruppo}, C = {(x, y): lo studente x è nel gruppo y} La proiezioni p 1 NON è iniettiva p 1 è invece suriettiva perché ci sono studenti che hanno più di una tessera perché ogni studente ha almeno una tessera Sappiamo che p 2 è suriettiva ma non iniettiva In realtà sappiamo quanti elementi hanno le fibre di p 2

In Informatica le corrispondenze sono DATABASE Un Database semplice è una tabella campi STUDENTI GRUPPI Giovanni Giovannoni Alfa Pieroni Alfa Giuseppe Giusepponi Beta Caioni Gamma Elisoni Gamma Piera Pieroni Beta Giovanni Giovannoni Beta . . . record E’ evidente che, da un punto di vista logico, il database a fianco contiene esattamente le informazioni della corrispondenza dell’esercizio di partenza.

STUDENTI CIRCOLI Giovanni Giovannoni Alfa Pieroni Alfa Giuseppe Giusepponi Beta Caioni Gamma Elisoni Gamma Piera Pieroni Beta Giovanni Giovannoni Beta . . . TABELLA studcirc p 2 p 1 Lavorare sulle fibre in Informatica corrisponde a fare delle QUERY p 1 -1(Giuseppe Giusepponi) p 2(p 1 -1(Giuseppe Giusepponi)) SELECT DISTINCTROW FROM studcirc WHERE studcirc. studenti = ‘’Giuseppe Giusepponi’’ SELECT studcirc. gruppi FROM studcirc WHERE studcirc. studenti = ‘’Giuseppe Giusepponi’’ linguaggio SQL

CORRISPONDENZA STUDENTI CIRCOLI Giovanni Giovannoni Alfa Pieroni Alfa Giuseppe Giusepponi Beta Caioni Gamma Elisoni Gamma Piera Pieroni Beta Giovanni Giovannoni Beta . . . TABELLA MATRICE p 2 p 1 Gruppi Alfa Beta Gamma STUDENTI Giovanni Giovannoni 1 1 0 Piera Pieroni 1 1 1 Giuseppe Giusepponi 0 1 0 Caioni 0 0 1 Elisa Elisoni 0 0 1

cosa è una CORRISPONDENZA? naturalmente dal punto di vista matematico. . . (Caio, Alfa) = lo studente Caio è nel gruppo Alfa corrispondenza = (x, y) = x dell’insieme 1 è in corrispondenza con y dell’insieme 2 coppia ordinata insieme 1

cosa è una CORRISPONDENZA? naturalmente dal punto di vista matematico. . . ORARIO (Lun 8. 30 -9. 30, 3 B, Giusepponi) = il lunedi’ dalle 8. 30 alle 9. 30 nella 3 B fa lezione il prof. Giusepponi = (x, y, z) insieme 2 classe p 2 tripla ordinata p 3 insieme 3 prof p 1 insieme 1 giorno/ora

CORRISPONDENZA TABELLA GIORNO/ORA CLASSE PROF Lun 8. 30 -9. 30 3 B Giuseppe Giusepponi Mar 10. 30 -11. 30 1 C Piera Pieroni . . . . nessuna delle tre proiezioni è iniettiva. . . p 2 classe p 3 prof p 1 giorno/ora

CORRISPONDENZA TABELLA GIORNO/ORA CLASSE PROF Lun 8. 30 -9. 30 3 B Giuseppe Giusepponi Mar 10. 30 -11. 30 1 C Piera Pieroni . . . . p 2 x p 3 non è iniettiva. . . ma p 1 x p 3 lo è classe p 2 x p 3 prof p 1 x p 3 giorno/ora

CORRISPONDENZA TABELLA GIORNO/ORA CLASSE PROF Lun 8. 30 -9. 30 3 B Giuseppe Giusepponi Mar 10. 30 -11. 30 1 C Piera Pieroni . . . . CLASSE MATRICE . . . 1 B 3 B 1 C 2 A 3 A 1 0 0 0 1 1 0 0 GIORNO/ORA Lun 8. 30 -9. 30 Mar 10. 30 -11. 30 Giusepponi 1 0 0 0 1 1 0 0 Pieroni

CORRISPONDENZA corrispondenza tridimensionale TABELLA matrice tridimensionale MATRICE = TENSORE Joseph Sylvester 1814 -1897 i tensori si applicano allo studio delle corrispondenze big data filogenetica reti neurali onde gravitazionali Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e Scienze Matematiche Università di Siena 1240

ogni elemento della corrispondenza è un triangolo

ogni elemento della corrispondenza è un triangolo Cosa è un triangolo? TRIANGOLO: figura piana delimitata da tre lati trilatero? TRIANGOLO: figura piana delimitata da tre angoli cioè da tre vertici A B A C B C

triangolo = tre punti del piano A B triangolo = terna di punti del piano = elemento dell’insieme (piano) x (piano) CI SONO DUE PROBLEMI IN QUESTA DEFINIZIONE C

triangolo = terna di punti del piano PRIMO PROBLEMA gli elementi di (piano) x (piano) sono terne ordinate A (A, B, C) (A, C, B) B C (B, C, A) ecc. una relazione R in A x A è SIMMETRICA se (a, b) R implica (b, a) R una relazione R in A x A è SIMMETRICA se. . . se (a, b, c) R implica che ogni permutazione della terna sta ancora in R un triangolo è una terna di punti, a meno di simmetria.

un triangolo è una terna di punti, a meno di simmetria. (piano) x (piano) { triangoli } NON è iniettiva poco male: in Geometria si studiano i triangoli a meno di congruenze A A B B C A C C B

triangolo = terna di punti del piano SECONDO PROBLEMA (piano) x (piano) { triangoli } è BEN definita? A (A, B, C) B ? (A, B, C) allineati B C A triangolo degenere triangolo = terna di punti del piano, non allineati? C

triangolo = terna di punti del piano, non allineati? (piano) x (piano) { triangoli } è BEN definita? A B C A B B C A C

triangolo = terna di punti del piano, non allineati? (piano) x (piano) { triangoli } è BEN definita? w w v v C B C v+w w w A v B A v triangolo = terna di punti del piano

triangolo = terna di punti del piano eventualmente allineati PROBLEMA: quali risultati sui triangoli «normali» continuano a valere per triangoli «degeneri» ? (cioè triangoli definiti da 3 punti allineati? ) la somma degli angoli di un triangolo è 180 gradi OK! B A C

triangolo = terna di punti del piano eventualmente allineati PROBLEMA: quali risultati sui triangoli «normali» continuano a valere per triangoli «degeneri» ? (cioè triangoli definiti da 3 punti allineati? ) segmento BC B A distanza di A dalla retta BC C OK!

triangolo = terna di punti del piano eventualmente allineati PROBLEMA: quali risultati sui triangoli «normali» continuano a valere per triangoli «degeneri» ? (cioè triangoli definiti da 3 punti allineati? ) CRITERI di UGUAGLIANZA CONGRUENZA primo criterio: due triangoli con i tre lati uguali sono congruenti OK! secondo criterio: due triangoli che hanno uguali due lati e l’angolo fra essi compreso sono congruenti. OK! terzo criterio: due triangoli che hanno uguali due angoli e il lato fra essi compreso sono congruenti. B A ? ? ? C

triangolo = terna di punti del piano eventualmente allineati PROBLEMA: quali risultati sui triangoli «normali» continuano a valere per triangoli «degeneri» ? (cioè triangoli definiti da 3 punti allineati? ) CRITERI di UGUAGLIANZA CONGRUENZA terzo criterio: due triangoli che hanno uguali due angoli e il lato fra essi compreso sono congruenti. B A FALSO C B A non sono congruenti, perché hanno lati diversi. C

terzo criterio: due triangoli che hanno uguali due angoli e il lato fra essi compreso sono congruenti. FALSO Il motivo è da ricercare nel fatto che la dimostrazione fallisce. A B D C E F A B=E B B=E A=D è il punto di intersezione dei due rimanenti lati C=F A A? C C=F E D F

triangolo = terna di punti del piano C’E’ DI PEGGIO! eventualmente allineati triangolo (A, A, C)? C A=B area = (base) x (altezza) / 2 angolo ACB = 0 angolo in CAB = ? angolo CBA = ? B C A A A A

B C A A A A A=B C angolo in CAB + angolo CBA + angolo BCA = 180 come risolvere il problema?

A=B C Siccome gli angoli in CAB e CBA sono INDEFINITI, il loro valore LO SCEGLIAMO NOI! Purché la somma sia 180 ricorrendo alle corrispondenze triangolo = terna di punti del piano PIU’ una terna di numeri (i suoi angoli), la cui somma è 180. NB la terna di numeri è univocamente determinata, tranne il caso in cui A=B

triangolo = terna di punti del piano PIU’ una terna di numeri (i suoi angoli), la cui somma è 180. in generale, una volta stabiliti i tre vertici del triangolo, i valori dei tre angoli sono univocamente determinati. A B C ma ciò non è più vero per i triangoli degeneri. A=B C

triangolo = terna di punti del piano PIU’ una terna di numeri (i suoi angoli), la cui somma è 180. A triangolo (A, B, C, 60, 90, 30) B C triangolo (A, B, C, 60, 120, 0) A=B C triangolo (A, B, C, 90, 0) A=B C il secondo e il terzo sono DIVERSI

somma = 180 insieme dei triangoli t pezzetto di bordo = triangoli con due vertici coincidenti (A, B, C, 30, 90, 60) terne di numeri terne di punti (mod simmetria) (A, B, C) (A, A, C) t = (30, 60, 90) COMPATTIFICAZIONE

triangolo = terna di punti del piano e terna degli angoli CRITERI di CONGRUENZA devono essere uguali anche gli angoli primo criterio: due triangoli con i tre lati uguali sono congruenti OK! secondo criterio: due triangoli che hanno uguali due lati e l’angolo fra essi compreso sono congruenti. A=B (A, A, C, 60, 120, 0) C (A, A, C, 90, 0) NO!

triangolo = terna di punti del piano e terna degli angoli e se prendo come terna di punti (A, A, A)? A=B=C stavolta posso scegliere DUE angoli! A B A C C B insieme dei triangoli bordo del bordo

Grazie per l’attenzione