Le forze conservative Una forza si dice conservativa

Le forze conservative • Una forza si dice conservativa se – il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla posizione P 1 alla posizione P 2 dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale – e non dal percorso effettuato, dalla traiettoria seguita per andare da P 1 a P 2, ne da alcun altro parametro come la velocità, il tempo impiegato, ecc. • Allora – esiste una funzione U della posizione del punto materiale P, U(P) = U(x, y, z), – tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa quando il punto materiale si sposta tra due punti qualsiasi, P 1 e P 2, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto iniziale P 1 meno quello che assume nel punto finale P 2. q g P 1 P 2 U= energia potenziale G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La forza peso • Verifichiamo che la forza peso è conservativa: – Dobbiamo far vedere che per qualunque percorso il lavoro fatto dalla forza per andare da P 1 a P 2 è sempre lo stesso indipendente dal percorso. – Prendiamo il percorso P 1 A P 2. – Prendiamo ora il percorso P 1 B P 2. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La forza peso – Prendiamo un qualsiasi percorso tra P 1 e P 2. • L’energia potenziale potrebbe essere G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La forza elastica x 2 x 1 • Valutiamo il lavoro fatto dalla forza elastica per spostare il corpo dalla posizione x 1 a x 2. – Lo spostamento è rettilineo – ma la forza non è costante • Utilizziamo la definizione più generale Il lavoro dipende solo dai punti iniziali e finali: la forza elastica è conservativa! La sua energia G. M. potenziale: - Informatica B-Automazione 2002/03

L’energia potenziale • E’ un’altra forma di energia, legata la posizione di un corpo – È possibile cambiare l’energia potenziale di un corpo eseguendo del lavoro (per esempio sollevare un peso U=mgy) • le forze conservative – Forza peso h = quota – Forza elastica – Forza di gravitazione universale – Forza di Coulomb • La funzione energia potenziale è determinata a meno di una costante arbitraria G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Determinazione dell’energia potenziale dall’espressione della forza • Utilizzando la definizione di energia potenziale: P • Che può essere riscritta, considerando i punti Po, iniziale, e P, il generico punto dello spazio: Po • Da cui: Non è necessario specificare la traiettoria • Per derivare la funzione energia potenziale occorre: – Fissare arbitrariamente un punto dello spazio Po. – Assegnare un valore arbitrario all’energia potenziale del punto Po. – Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da Po al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta Po con P. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

L’energia potenziale • le forze conservative – Forza peso • Il punto di riferimento Po è un punto del piano xz, con y=0 (quota nulla) • Ai punti del piano orizzontale y=0 si assegna energia potenziale nulla – Forza elastica h = quota • Il punto di riferimento Po è la posizione dell’estremo libero della molla in condizioni di molla non deformata, x=0. • Quando la molla non è deformata, x=0, si assegna energia potenziale nulla – Forza di gravitazione universale – Forza di Coulomb • Il punto di riferimento Po è il punto all’infinto. • Al punto all’infinito, si assegna energia potenziale nulla G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il lavoro effettuato da una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo • Consideriamo un percorso chiuso p-q g 1 • Le forze conservative dipendono dalla posizione. P 1 P 2 g 2 q g 1 P 2 G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Lavoro della forza di attrito • La forza di attrito statico fa lavoro nullo: – Nel caso di attrito statico, non c’è spostamento: quindi il lavoro è nullo – Se il piano di appoggio si sposta rispetto al Sd. R utilizzato, si osservi che: • il piano e l’oggetto poggiato su di esso subiscono lo stesso spostamento • Le forze di attrito sono uguali ed opposte (azione e reazione) • Il lavoro complessivo è nullo a • La forza di attrito dinamico fa, sempre, un lavoro negativo: – Consideriamo un oggetto che viene spostato su di un piano orizzontale scabro. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Lavoro della forza di attrito dinamico • Consideriamo un punto materiale che si muove su un piano orizzontale sulla traiettoria g tra P 1 e P 2. q=p • Il modulo della forza di attrito dinamico è costante g P 1 P 2 • Il lavoro effettuato dalla forza di attrito dinamico • il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta • Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero • La forza di attrito dinamico non è conservativa G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

L’energia potenziale in presenza di più forze conservative • Il lavoro effettuato da tutte le forze conservative è dato da: L’energia potenziale totale è la somma delle energia potenziali delle singole forze G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La conservazione dell’energia • Supponiamo di avere un punto materiale che si muove sotto l’azione di forze conservative. • Il teorema delle forze vive ci dice che il lavoro della risultante è uguale alla variazione dell’energia cinetica: • Poiché tutte le forze sono conservative, il lavoro della risultante può essere messo in relazione con la variazione di energia potenziale • Combinando le due relazioni si ottiene: Solo forze conservative: l’energia meccanica totale si conserva! G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Relazione lavoro energia • Se non tutte le forze sono conservative – Il lavoro della risultante sarà la somma del lavoro effettuato • Dalle forze conservative Wc • Dalle forze non conservative Wnc • La variazione dell’energia meccanica totale è uguale al lavoro effettuato dalle forze non conservative. • Questa relazione contiene come caso particolare anche la conservazione dell’energia – infatti quando non ci sono forze non conservative Wnc=0 G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

L’energia meccanica totale • In presenza di forze non conservative l’energia meccanica totale non si conserva – La sua variazione è proprio uguale al lavoro delle forze non conservative • In realtà non bisogna pensare che dell’energia sia andata distrutta o si sia creata dal nulla, semplicemente c’è stato uno scambio con altre forme di energia. – Nel caso di forze dissipative, attrito dinamico, resistenza passiva, il lavoro (negativo) di queste forze è accompagnato da un aumento della temperatura dei corpi interessati • L’energia meccanica totale diminuisce mentre aumenta l’energia interna dei corpi (aumento di temperatura) – Nel caso in cui si ha un aumento dell’energia meccanica totale (per esempio nelle esplosioni), l’energia interna contenuta nell’esplosivo è stata trasformata in energia meccanica • L’esplosivo ha subito una trasformazione chimica. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

L’integrale primo del moto • La legge di conservazione dell’energia può anche essere usata per determinare la legge oraria quando le forze agenti sono conservative. • Con un certo numero di vantaggi sulla seconda legge della dinamica – Equazione scalare e non vettoriale – Equazione differenziale del primo ordine e non del secondo • Come si fa? – Consideriamo un moto unidimensionale: l’energia potenziale sarà solo funzione di x, U(x). Che può essere integrata separando le variabili G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

L’energia meccanica totale Il diagramma dell’energia dell’oscillatore armonico La normale N e la forza peso non fanno lavoro Punti di inversione del moto K<0 N Punto di equilibrio stabile Fel P G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La determinazione della forza dall’energia potenziale • Nota l’espressione dell’energia potenziale possiamo determinare la forza (direzione verso ed intensità) • Superfici equipotenziali – Sono il luogo dei punti in cui l’energia potenziale assume lo stesso valore • Forza peso: piani orizzontali (h=cost) • Forza elastica: piani perpendicolari all’asse x (x=cost) • Forza di gravitazione universale e forza di Coulomb: superfici sferiche con centro nell’origine della forza. • La forza è perpendicolare alle superfici equipotenziale – Consideriamo un qualsiasi spostamento infinitesimo su una superficie equipotenziale (dr tangente alla superficie). – Poiché la superficie è equipotenziale d. U=0 G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La determinazione della forza dall’energia potenziale • Per uno spostamento che avviene lungo l’asse x: • Per uno spostamento che avviene lungo l’asse y: • Per uno spostamento che avviene lungo l’asse z: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il diagramma dell’energia Punti di equilibrio instabile Punti di equilibrio stabile equilibrio indifferente G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03