LA FUNZIONE INVERSA ARCSEN LA FUNZIONE INVERSA ARCSEN

LA FUNZIONE INVERSA ARCSEN

LA FUNZIONE INVERSA ARCSEN L’equazione sen x = r (– 1 ≤ r ≤ 1) ammette infinite soluzioni (infiniti valori di x) Se però limitiamo l’insieme di variabilità della x, considerando solo gli angoli minori di 400 c, il medesimo valore della funzione seno si riscontra in due soli angoli Se il primo di questi è compreso nel Io quadrante, il secondo sarà il suo supplementare compreso nel IIo quadrante. Indicando con x 1 e con x 2 i due angoli minori di 400 c, che forniscono lo stesso valore r per la funzione seno, seno si può scrivere: x 1 = e x 2 = 200 c – Se ora conveniamo di assumere, per x, solo gli angoli compresi nell’intervallo – 100 c ≤ x ≤ +100 c, in questo intervallo a un assegnato valore di r resta associato un solo valore di x. Dunque x è una funzione univoca di r. Essa è nota come funzione inversa del seno e viene chiamata arcoseno; arcoseno essa convenzionalmente si scrive nel seguente modo: x = arcsen (r) [con – 100 c ≤ x ≤ +100 c)] Tuttavia non bisogna mai dimenticare che il valore x fornito dalla funzione inversa arcoseno è solo il primo di infiniti valori, dei quali il secondo si trova nel IIo quadrante. 2

3°CASO: NOTI 2 LATI e UN ANGOLO ADIACENTE A UN LATO INCOGNITO immaginiamo noti , b, a: b A C g a c B dal teorema dei seni ATTENZIONE a questa relazione 3

DISCUSSIONE di: valutando l’argomento della funzione inversa arcoseno, si possono verificare i seguenti casi: b/a sen > 1 Il problema è manifestamente impossibile, impossibile in quanto non esiste l’arcoseno di un numero maggiore di 1, dunque non esiste nessun triangolo con i dati assegnati a, b, . b/a sen = 1 L’angolo è retto e quindi si tratta di un triangolo rettangolo b/a sen < 1 Esistono due valori di compatibili con l’angolo assegnato . Il primo valore ’ (quello fornito dalla calcolatrice) è acuto, cioè si trova nel Iº quadrante, il secondo, ”, supplementare del primo, è ottuso e si trova nel IIº quadrante. In quest’ultimo caso, poi: dei due valori ’ e ”, uno è incompatibile con l’angolo assegnato , pertanto il valore che soddisfa il problema è l’altro (per esempio: se = 120 c, e può assumere i due valori 40 c e (200 c – 40 c) = 160 c; il valore 160 c è incompatibile con il valore di = 120 c; in questo caso il valore che risolve il problema è = 40 c); i due valori di ’ e ” sono entrambi compatibili con il valore di ; in questo caso si avranno due soluzioni del problema, che danno luogo a due triangoli distinti. 4

TABELLA RIASSUNTIVA PER LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALSIASI caso 1 2 schema geometrico elementi noti Soluzione - 1 lato - 2 angoli a; ; - 2 lati - angolo compreso a; b; 3 - 2 lati - angolo non compreso a; b; 4 - 3 lati a; b; c 5