DERIVADAS Y GRFICAS U D 9 1 BCT

DERIVADAS Y GRÁFICAS U. D. 9 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS U. D. 9. 3 @ Angel Prieto Benito * 1º BCT Apuntes 1º Bachillerato CT 2

LÍMITES EN TRIGONOMETRÍA • • • Observar la figura. El radio de la circunferencia trigonométrica es la unidad. Tenemos el ángulo x, el sen x, el arco de longitud x y la tg x • • • Podemos poner: sen x < tg x Dividiendo todo entre sen x queda: sen x x tg x -------- < ------sen x x 1 < ----- < cos x sen x • • • Cuando x 0 1 < 0 / sen 0 < cos 0 0 Es decir 1 < 0 / sen 0 < 1 Lo que obliga a que ----- = 1 sen 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT x sen x x tg x 3

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS • • • Sea f(x) = sen x • • Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría: 2. cos [(x+h+x)/2]. sen [(x+h – x)/2] f ‘ (x) = lím ------------------------ = h 0 h • • • sen (h/2) sen h/2 = lím cos [x+(h/2)]. ------- = cos x. Lim ------ = cos x. 1 = cos x h 0 h/2 • Puesto que hemos visto antes que el último límite vale 1 Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) sen (x+h) – sen x f ‘ (x) = lím ---------- = lim ------------ = h 0 h @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 4

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS • • • Sea f(x) = cos x • • Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría: - 2. sen [(x+h+x)/2]. sen [(x+h – x)/2] f ‘ (x) = lím ------------------------ = h 0 h • • • sen (h/2) sen h/2 = lím - sen [x+(h/2)]. ------- = - sen x. Lim ------ = - sen x h 0 h/2 • Puesto que se puede comprobar que el último límite vale 1 Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) cos (x+h) – cos x f ‘ (x) = lím ---------- = lim ------------ = h 0 h @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 5

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS • • • Sea f(x) = tg x • • • cos x – sen x. (- sen x) (cos x)2 + (sen x)2 1 f ‘ (x) = ---------------------- = -----(cos x)2 (cos x)2 • • Como 1/ cos x = sec x Queda: • • • f ‘ (x) = 1 / cos 2 x O también f ‘ (x) = sec 2 x Aplicando la definición de tangente: tg x = sen x / cos x Derivando como una división de funciones que es: @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6

OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS • • Sea f(x) = sec x • • Sea f(x) = cosec x Aplicando la definición de secante: sec x = 1 / cos x Y se derivaría como una división – (- sen x) sen x tg x f ‘ (x) = -------- = -----(cos x)2 cos x Aplicando la definición de cosecante: cosec x = 1 / sen x Y se derivaría como una división – cos x -1 f ‘ (x) = ---------------(sen x)2 tg x. sen x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7

OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS • • • Sea f(x) = cotg x • • Sea f(x) = sen g(x) Sea f(x) = cos g(x) Sea f(x) = tg g(x) Etc … • Se aplicaría la Regla de la Cadena para funciones compuestas. Aplicando la definición de secante: cotg x = cos x / sen x Y se derivaría como una división (– sen x). sen x – cos x – (sen x)2 – (cos x)2 – 1 f ‘ (x) = --------------------- = -----(sen x)2 (sen x)2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8

Ejemplos • y = sen x 2 y ‘ = cos x 2. 2 x • y = cos x 3 y ‘ = - sen x 3. 3 x 2 • y = ln sen x y ‘ = cos x / sen x = cotg x • y = log cos x y ‘ = (- sen x / cos x) / ln 10 • y = sen ln x y ‘ = cos ln x. (1 / x) • y = sen 3 x y ‘ = 3. sen 2 x. cos x • y = cos 5 x 3 y ‘ = 5. cos 4 x 3. (– sen x 3). 3 x 2 • y = √sen x y ‘ = (1/2) (sen x)-1/2. cos x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9

DERIVADAS DEL ARCO SENO • • • Sea f(x) = arcsen x • • Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (cos(arcsen x)). (arcsen x)’ = 1 • Resultando que f ’(x) = 1 / √(1 - x 2) Es la función inversa de f(x) = sen x Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función. Como y = sen x e y = arcsen x son funciones inversas: sen(arcsen x) = x Como sabemos que: (sen(arcsen x))2 + (cos(arcsen x))2 = 1 También sabemos que sen(arcsen x) = x Luego x 2 + (cos(arcsen x))2 = 1 (cos(arcsen x)) = √(1 - x 2) Despejando: (arcsen x)’ = 1 / (cos(arcsen x)) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10

DERIVADAS DEL ARCO COSENO • • • Sea f(x) = arccos x • • Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (- sen(arccos x)). (arccos x)’ = 1 • Resultando que f ’(x) = – 1 / √(1 - x 2) Es la función inversa de f(x) = cos x Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función. Como y = cos x e y = arccos x son funciones inversas: cos(arccos x) = x Como sabemos que: (sen(arccos x))2 + (cos(arccos x))2 = 1 También sabemos que cos(arccos x) = x Luego (sen(arccos x))2 + x 2 = 1 (sen(arccos x)) = √(1 - x 2) Despejando: (arccos x)’ = 1 / (- sen(arccos x)) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 11

DERIVADAS DEL ARCO TANGENTE • • • Sea f(x) = arctg x • • Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (1 / (cos(arccos x))2). (arctg x)’ = 1 • Resultando que f ’(x) = 1 / (x 2 + 1) Es la función inversa de f(x) = tg x Su dominio es todo R. Como y = tg x e y = arctg x son funciones inversas: tg(arctg x) = x Como sabemos que: 1 / (cos(arccos x))2 = (sec(arctg x))2 También sabemos que (sec(arctg x))2 = (tg(arctg x))2 + 1 Y por último como tg(arctg x) = x (sec(arctg x))2 = x 2 + 1 Despejando: (arctg x)’ = 1 / (x 2 + 1) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 12

Ejercicios propuestos • Aplicando la Regla de la Cadena hallar las derivadas de: • y = arcsen x 2 y‘= • y = arccos x 3 y‘= • y = ln arcsen x y‘= • y = log arctg x y‘= • y = arctg ex y‘= • y = arcsen 3 x y‘= • y = arccos 5 x 3 y‘= • y = √arcsen ex y‘= @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 13