Questa la funzione esponenziale Questa la funzione esponenziale

Questa è la funzione esponenziale

Questa è la funzione esponenziale Consideriamo a =2 f(x) = 2 x

Se diamo alla x il valore X = 1, otteniamo per la funzione f(1) =21 = 2

Se diamo alla x il valore X = 1, otteniamo per la funzione f(1) =21 = 2 Mentre se diamo alla x il valore X = 10, otteniamo per la funzione f(10) =210 = 1024

Aumentando il valore della x di sole 10 volte il valore della funzione aumenta di più di 1000 volte Questo fatto può essere molto scomodo quando si devono eseguire calcoli ed utilizzare i grafici e poiché le funzioni esponenziali, in modo più o meno complicato, sono usatissime in vari campi, questo capita molto spesso ? Questa parte del grafico è inutilizzabile

La funzione esponenziale costituisce il modello matematico che, in modo più o meno complicato, permette di descrivere fenomeni e situazioni in svariati campi Ma può essere molto scomoda da usare!!! ? Questa parte del grafico è inutilizzabile

Per aggirare l’ostacolo dovuto della scomodità si ricorre ad un «trucco» : Poiché, in una funzione esponenziale, la base è sempre la stessa, si possono utilizzare nei calcoli , inizialmente, i valori degli esponenti e solo successivamente il valore della funzione f(x) = ax

CONCENTRIAMOCI SULL’ESPONENTE X X è il valore da dare all’esponente della base a per ottenere il valore della funzione

X è il valore da dare all’esponente della base a per ottenere il valore della funzione Esempio 1: 6 è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Esempio 2: 4 è il valore dell’esponente della base a = 3 che ci permette di ottenere il valore della funzione

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Esempio 3: - 4 è il valore dell’esponente della base a = 5 che ci permette di ottenere il valore della funzione

Ee, poiché nel linguaggio delle funzioni Si può anche scrivere

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione y Invertiamo i ruoli tra l’esponente x e la funzione esponenziale modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione y in

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione X , il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione, si chiama LOGARITMO IN BASE a DI y x = loga(ax)

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione x = f -1(y) x = f -1(ax)

Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione x = f -1(y) Questo simbolo indica la funzione inversa x = f -1(ax)

f(x) = ax ha come funzione inversa x = loga f(x) E’ una funzione come tutte le altre, quindi può essere definita indipendentemente dalla funzione esponenziale f(x) = loga x

Che tipo di funzione è

E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x f(x 3) f(x 2) x 1 f(x 1) x 2 x 3

E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x f(x 3) Di conseguenza è una funzione invertibile f(x 2) x 1 f(x 1) x 2 x 3

è una funzione invertibile, cioè esiste una funzione tale che x = f -1 (y) da y = ax x=f si passa a -1 (y) Funzione inversa

x = f -1 (y) Per ottenere la funzione inversa è sufficiente che l’asse delle x , dove sono riportati gli esponenti prenda il posto dell’asse delle y (VALORI DELLA FUNZIONE) e viceversa

esempio di funzioni non invertibili f 1(x) f(x) = ax 2+ bx + c x 1 B Ad ogni valore di corrispondono f(x) due valori di x x 1 A

x = f -1 (y) Per ottenere la funzione inversa è sufficiente che l’asse delle x , dove sono riportati gli esponenti prenda il posto dell’asse delle y (VALORI DELLA FUNZIONE) e viceversa

Gli esponenti sono correttamente sull’asse delle y ma l’asse orizzontale, pur riportando i valori della funzione, è diretto in senso opposto rispetto al normale Per ovviare a questo inconveniente l’asse orizzontale deve ruotare perpendicolarmente al piano del disegno, intorno all’asse verticale

x 1

x Adesso rinominiamo gli assi mettendo x su quello orizzontale e y su quello verticale 1

x Adesso rinominiamo gli assi mettendo x su quello orizzontale e y su quello verticale 1

f(x) Questa è la funzione logaritmo f(x) = logax 1 x

f(x) = logax Questa è la funzione a>1 logaritmo f(x) = logax 1 x

Cerchiamo la funzione inversa della funzione esponenziale anche nel caso in cui f(x) = ax 0<a<1

0<a<1

f 1(x) = loga x f 2(x) = logb x

f 1(x) = loga x 0<a<1 f 2(x) = logb x b>1

Le due funzioni f(x) = loga x e f(x) = a x Sono simmetriche rispetto alla bisettrice del III quadrante f(x) = loga x

x è il valore dell’esponente della base ottenere il valore della funzione f(x) Identica a: da cui : infine a che ci permette di

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI PROPRIETA’ 1 IL LOGARITMO DI UN PRODOTTO E’ UGUALE ALLA SOMMA DEI LOGARITMI

PROPRIETA’ 2 IL LOGARITMO DI UN RAPPORTO E’ UGUALE ALLA DIFFERENZA DEI LOGARITMI

PROPRIETA’ 3 IL LOGARITMO DI UNA POTENZA E’ UGUALE AL PRODOTTO DELL’ESPONENTE PER IL LOGARITMO DELLA BASE