KOMPLEXN SLA Dostupn z Metodickho portlu www rvp

KOMPLEXNÍ ČÍSLA Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

př. kvadratická rovnice x 2 + 1 = 0 x 2 = -1 -> druhá mocnina jakéhokoli čísla nikdy není záporné číslo -> v oboru reálných čísel nemá rovnice řešení

předpokládejme, že existuje prvek „i“, pro který platí: i 2 = -1 nyní má rovnice x 2 + 1 = 0 řešení x 2 + 1 = 0 x=i protože platí i 2 + 1 = -1 + 1 = 0

Def. 1 „Komplexním číslem nazveme výraz ve tvaru a+bi, kde a, b jsou reálná čísla a i je číslo, pro které platí i 2 = -1. “ a ………. . reálná část b ………. . imaginární část i ………. . . imaginární jednotka obor komplexních čísel značíme C

Def. 2 Sčítání komplexních čísel pro libovolná komplexní čísla a+bi, c+di platí: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i součet komplexních čísel je komplexní číslo jeho reálná část je rovna součtu reálných částí všech sčítanců jeho imaginární část je rovna součtu imaginárních částí všech sčítanců

Def. 3 Násobení komplexních čísel pro libovolná komplexní čísla a+bi, c+di platí: (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i součin nuly a libovolného komplexního čísla je vždy roven nule

Def. 4 Rovnost komplexních čísel „Komplexní čísla a+bi, c+di se rovnají právě tehdy, když platí: a = c a zároveň b = d“ -> libovolná dvě komplexní čísla se rovnají, jestliže se rovnají jejich části reálné i jejich části imaginární

Def. 5 Algebraický tvar „Zápis komplexního čísla z ve tvaru a+bi se nazývá algebraický tvar komplexního čísla z. “

Příklady k procvičení Příklad 1 Zapište v algebraickém tvaru číslo: (2+3 i) (1+i) – (2+i) (1 -3 i) Řešení: (2+3 i) (1+i) – (2+i) (1 -3 i) = = (2 + 2 i + 3 i 2 ) – (2 – 6 i + i – 3 i 2) = i 2 = -1 -> 3(-1) = -3 = (-1 + 5 i) – (5 – 5 i) = -6 + 10 i

Def. 6 „Komplexní čísla z = a + bi a –z = - a – bi se nazývají navzájem opačná čísla. “ Def. 7 „Komplexní čísla z = a + bi a 1 1 = , kde z ≠ 0, se nazývají z a + bi převrácená (reciproká) čísla. “

Příklad 5 Příklad 6 Příklad 7

Příklad 8 výsledek: Příklad 9 výsledek:

Zdroje Def 1: CALDA, CSC. , Doc. RNDr. Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3. vydání. Praha : Prometheus, 2005. 134 s. ISBN 80 -7196 -1876. Def 2: CALDA, CSC. , Doc. RNDr. Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3. vydání. Praha : Prometheus, 2005. 134 s. ISBN 80 -7196 -1876. Def 3: CALDA, CSC. , Doc. RNDr. Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3. vydání. Praha : Prometheus, 2005. 134 s. ISBN 80 -7196 -1876. Def 4: CALDA, CSC. , Doc. RNDr. Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3. vydání. Praha : Prometheus, 2005. 134 s. ISBN 80 -7196 -1876. Def 5: CALDA, CSC. , Doc. RNDr. Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3. vydání. Praha : Prometheus, 2005. 134 s. ISBN 80 -7196 -1876. Def 6: POLÁK, CSC. , Doc. RNDr. Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vydání. Praha : Prometheus, 2005. 608 s. ISBN 80 -7196 -267 -8. Def 7: POLÁK, CSC. , Doc. RNDr. Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vydání. Praha : Prometheus, 2005. 608 s. ISBN 80 -7196 -267 -8.

Příklad 1: CALDA, CSC. , Doc. RNDr. Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3. vydání. Praha : Prometheus, 2005. 134 s. ISBN 80 -7196 -187 -6. Příklad 2: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1. vydání. Praha : Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 80 -7196 -099 -3. Příklad 3: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1. vydání. Praha : Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 80 -7196 -099 -3. Příklad 4: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1. vydání. Praha : Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 80 -7196 -099 -3. Příklad 5: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1. vydání. Praha : Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 80 -7196 -099 -3. Příklad 6: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1. vydání. Praha : Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 80 -7196 -099 -3. Příklad 7: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1. vydání. Praha : Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 80 -7196 -099 -3. Příklad 8: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1. vydání. Praha : Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 80 -7196 -099 -3. Příklad 9: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1. vydání. Praha : Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 80 -7196 -099 -3.