Kockzat s megbzhatsg Alapvet megbzhatsgi eloszlsok Dr Kvesi
Kockázat és megbízhatóság Alapvető megbízhatósági eloszlások Dr. Kövesi János egyetemi tanár
Poisson-eloszlás Kockázat és megbízhatóság 2
Feladat Egy készülék meghibásodásainak átlagos száma 10000 működési óra alatt 10. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt nem romlik el! M(�) = � = 200· 10/10000 = 0, 2 P(�=0) 0, 8187 = P(�>0) = 0, 1813 Kockázat és megbízhatóság 3
Feladat Egy készülék szavatossági ideje egy év. A készülék 2000 darab azonos, különlegesen megbízható elemet tartalmaz, amelyek a szavatossági idő alatt egymástól függetlenül 0, 0005 valószínűséggel romlanak el. A szavatosság alapján a gyártó vállalat az egy éven belül bekövetkezett meghibásodások javítására esetenként a teljes ár 1/4 részét fizeti víssza. Ha a javítások száma az év során eléri az ötöt, akkor a gyártó vállalat a már kifizetett négy javítási költségen felül a teljes árat is visszafizeti. Számítsuk ki, hogy előreláthatólag az eredeti vételár hány százaléka marad a gyártó vállalatnál! Kockázat és megbízhatóság 4
Feladat Binomiális � Poisson � = 2000· 0, 0005 = 1 pk Lehetséges bevétel p 0 = 0, 3679 p 1 = 0, 3679 p 2 = 0, 1839 p 3 = 0, 0613 p 4 = 0, 0153 p 5 = 0, 0031 +1 +3/4 +1/2 +1/4 0 -1 M(�) = 0, 746 Tehát a szavatosságra � 25%-ot fordít! Kockázat és megbízhatóság 5
18 Exponenciális eloszlás f(t) F(t) ha t<0 ha t� 0 1� ha t<0 ha t� 0 M(τ) = 1/� D(τ) = 1/� Kockázat és megbízhatóság 6
Feladat Egy telefonfülke előtt állunk és várjuk, hogy az előttünk beszélő befejezze a beszélgetést. Az illető beszélgetési időtartama véletlen esemény, melyre érvényes a következő: Kockázat és megbízhatóság 7
Feladat a) Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a beszélgetés 3 percnél tovább tart! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés további 3 percnél tovább tart, feltéve, hogy eddig 3 percnél tovább tartott? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés t+3 percnél tovább tart, feltéve, hogy t percnél tovább tartott? Kockázat és megbízhatóság 8
Feladat a. ) b. ) c. ) Kockázat és megbízhatóság 9
Feladat Egy automatizált gépsor hibamentes működésének valószínűsége 120 működési órára 0, 9. Tegyük fel, hogy a működési idő exponenciális eloszlású. Számítsa ki a meghibásodási rátát és a működési idő várható értékét, valamint annak a valószínűségét, hogy a gépsor a 150. és a 200. óra között meghibásodik. Kockázat és megbízhatóság 10
Feladat F(200)-F(150) = Kockázat és megbízhatóság 11
Feladat F(1/�) = ? f(x) F(1/� � ) = 63, 21% = 1 - 0, 3679 = 0, 6321 M(�) = 1/� Kockázat és megbízhatóság 12
Normális (Gauss-) eloszlás 23 f(t) � F(t) 0, 5 M(τ) = � D(τ) = � Kockázat és megbízhatóság � 13
Standardizálás logikai menete M(u) = 0 D(u) = 1 Kockázat és megbízhatóság 14
Standardizálás Az eloszlás 0 körül szimmetrikus, ezért: Kockázat és megbízhatóság 15
Feladat Egy elektronikai gyárban tesztekkel igazolták, hogy egy TV képcső élettartama N(5, 8 év; 2, 3 év) eloszlású. A vállalat 2 év cseregaranciát vállal a képcsövekre. A képcsövek hány százalékát kell kicserélni a garancia időtartama alatt? Mekkorára kell növelni a képcsövek élettartamát (a szórás nem változik), ha a cég legfeljebb 2 %-os garanciális cserét szeretne elérni? Legfeljebb mekkora szórása lehet az élettartamnak – ha a várható érték nem változik (5, 8 év) – ahhoz, hogy a 2 %os célt elérjék? Kockázat és megbízhatóság 16
Feladat � = 2, 3 P(τ <2) = F(2) = 5% ? 2 5, 8 Kockázat és megbízhatóság 17
Feladat P(τ <2) = F(2) =0, 02 0, 98 ? ? � = 2, 3 2% 2 5, 8 ? ? �=6, 7 év �=1, 60 év Kockázat és megbízhatóság 18
Csonkított normális eloszlás f(t) ? m Kockázat és megbízhatóság t 19
Feladat A termék működési ideje az első meghibásodásig t=0 -ban csonkított normális eloszlású μ=8000 óra várható értékkel és σ=2000 óra paraméterrel. Határozzuk meg az R(t) hibamentes működés valószínűségét t=4000, 6000 és 8000 órára. Kockázat és megbízhatóság 20
21 Weibull-eloszlás F(t) R(t) 1 t Kockázat és megbízhatóság 21
21 Weibull-eloszlás f(t) b>1 a b=1 b<1 t Kockázat és megbízhatóság 22
22 Weibull-eloszlás (t) b>1 b<1 b=1 b>1 b=1 b<1 t Kockázat és megbízhatóság t 23
Weibull-eloszlás Az eloszlásfüggvény ma is sok helyen (elsősorban az angolszász szakirodalomban) használt eredeti formája az alábbi volt: Kockázat és megbízhatóság 24
24 Lognormális eloszlás f(t) t Kockázat és megbízhatóság 25
25 Gamma-eloszlás f(t) t Kockázat és megbízhatóság 26
- Slides: 26