Kockzat s megbzhatsg Dr Tth Zsuzsanna Eszter sszefoglals

Kockázat és megbízhatóság Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter

Összefoglalás f(t) • Megbízhatóságelméleti alapok Terhelés (L) javíthatóság, tartósság, – Hibamentesség, tárolhatóság – Terhelés-teljesítőképesség diagram Teljesítőképesség (S) – Hibamentesség mutatószámai • • F(t) R(t) T 1 λ(t) Interferenciaterület Terhelés (L) Teljesítőképesség (S) 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 2

A „kádgörbe” λ(t) Korai meghibásodások: Elhasználódás: Véletlen meghibásodások: nem megfelelő minőségszabályozás súrlódás miatti kopás emberi hibák gyenge minőségű anyagok öregedés miatti fáradás felismerhetetlen hibák megfelelő gyártási eljárás korrózió nem mikroszkópikus hibák nő λ(t) monoton λ(t) megfelelő monoton csökken összeszerelési hibák nem karbantartás anyagszerkezeti hiányosságok rossz csomagolás, kezelés λ(t) állandó 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság idő 3

Összefoglalás Eloszlástípusok l λ (t) Normális Weibull Exponenciálisf(t) b>1 b<1 λ(t)bállandó =1 m 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság idő t t 4

Rendszer megbízhatósága

Feltételezéseink • A rendszert felépítő elemek megbízhatósági adatai rendelkezésre állnak. • A rendszerek független megbízhatóságú elemekből épülnek fel. • Az elemeknek két állapotát különböztetjük meg: működőképes és működésképtelen • A megbízhatósági jellemzők időben konstansak. 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 6

Soros rendszer megbízhatósága Az olyan rendszert, amely akkor és csak akkor működik, ha valamennyi eleme működik, megbízhatósági szempontból soros rendszernek nevezzük. 2013 tavasz 1 2 n R 1 R 2 Rn Kockázat és megbízhatóság 7

Példa Álljon a soros rendszer 3 elemből áll, melyeknek hibamentes működési valószínűségei egy t időpontban: R 1(t)=0, 98 R 2(t)=0, 99 R 3(t)=0, 97 Egészítsük ki a rendszert további két elemmel! R 4(t)=0, 985 R 5(t)=0, 975 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 8

Soros rendszer megbízhatósága – exponenciális működés n db exponenciális működési idejű elem sorosan a rendszer várható működési ideje: 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 9

Példa Álljon a rendszerünk ismét 5 elemből, az elemek meghibásodási rátái adottak (megbízhatóságuk pedig exponenciális eloszlású): λ 1=0, 5·10 -6/óra; λ 2=0, 75·10 -6/óra; λ 3=2, 0·10 -6/óra; λ 4=2, 25·10 -6/óra λ 1=2, 5·10 -6/óra 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 10

Párhuzamos rendszer megbízhatósága Az olyan rendszert, amely akkor és csak akkor hibásodik meg, ha valamennyi eleme meghibásodik, megbízhatósági szempontból párhuzamos rendszernek nevezzük. 1 2 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság m 11

Példa Ha a párhuzamos rendszer 3 elemből áll, melyeknek hibamentes működési valószínűségei: R 1(t)=0, 91 R 2(t)=0, 85 R 3(t)=0, 82 Egészítsük ki a rendszert további két elemmel! R 4(t)=0, 93 R 5(t)=0, 9 12

Példa Egy párhuzamos kapcsolású rendszert úgy akarnak megtervezni, hogy hibamentes működésének valószínűsége RE(t)=0, 99 legyen. A rendszert azonos megbízhatóságú Ri(t)=0, 8 hibamentes működési valószínűségű elemekből akarják felépíteni. Hány elemből kell a rendszert felépíteni, hogy az RE(t)=0, 99 követelményt elérjük? Legalább 3 elemből kell felépíteni. 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 13

Párhuzamos rendszerekexponenciális működés n db exponenciális működési idejű elem párhuzamosan Párhuzamos rendszer várható működési ideje: 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 14

Példa Álljon a párhuzamos rendszer 5 elemből, melyeknek meghibásodási rátája λ=2, 5· 10 -5/óra. Határozzuk meg a rendszer eredő megbízhatóságát 10 000 órára és az átlagos hibamentes működési időt! 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 15

Összetett rendszerek B D A BE C CE 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 16

R 1=0, 8 R 2=0, 9 R 3=0, 95 Összetett rendszerekigazságtábla ; ; Kumulált R 1 R 2 R 3 RendszerÁllapot. R 1 működési állapota állapot R 3 valószínűség val. - - + R 2 - állás 0, 001 - - állás 0, 004 + + - állás 0, 036 - - + állás 0, 019 + - + működés 0, 076 0076 - + + működés 0, 171 0, 247 + + + működés 0, 684 0, 931 - 2013 tavasz állás R+1=0, 8 - R 2=0, 9 Kockázat és megbízhatóság R 30, 009 =0, 95 17

Példa Hány azonos elemből kell A A felépíteni Aaz A alrendszert, A C CC B C, B C C, B hogy Aa rendszer CC C megbízhatósága legalább 0, 9 A A legyen? 1 1 2 2 n 1 1, 3 3 2, 4 2 4 n A 1 A 2 B An C 1 C 3 C 2 C 4 18

Helyreállítás mutatói

Azonnal helyreállítható elem megbízhatósága Felújítási folyamat t . . . 0 t 1 t 2 t 3 tn ttn+1 Meghibásodási és helyreállítási időpontok 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 20

Azonnal helyreállítható elem megbízhatósága • A megbízhatóság jellemzői – Hibamentes működés jellemzése: F(t), R(t), T 1, λ(t) – Meghibásodások jellemzése: Tetszőleges t időtartam alatt bekövetkező meghibásodások száma diszkrét val. változó – Ennek várható értéke az ún. felújítási függvény 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 21

Azonnal helyreállítható elem megbízhatósága • A H(t) felújítási függvény a hibamentes működési időt leíró eloszlás ismeretében: – Exponenciális eloszlás: – Normális eloszlás: – Weibull eloszlás: 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 22

Példa Legyen a soros rendszerünk eredő megbízhatósága t=10000 órára 0, 91, exponenciális működést feltételezve. Várhatóan hány meghibásodásra kell ezalatt számítanunk? 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 23

Példa Termékünk 2500 óra várható értékkel és 500 óra szórással normális eloszlást követ. Mennyi a felújítási függvény értéke t=10000 órára? n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 24

Azonnal helyreállítható elem megbízhatósága t→∞ esetén: t→∞ esetén és ha a hibamentes működési idő szórásnégyzete véges: Ha az f(t) sűrűségfüggvény folytonos, és t→∞ esetén 0 -hoz tart, akkor a ν(t) diszkrét val. változó várható értéke és szórása: 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 25

Számottevő helyreállítási idejű elem megbízhatósága Helyreállítási időpontok … 0 t 1’ t 1” t 2’ t 2” t n’ t n” Meghibásodási időpontok 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 26

Számottevő helyreállítási idejű elem megbízhatósága • Hibamentes működési idő, mint val. változó • Helyreállítási idő, mint val. változó – Eloszlásfüggvénye – Sűrűségfüggvénye – Várható értéke – Meghibásodási ráta – Helyreállítási intenzitás 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 27

Számottevő helyreállítási idejű elem megbízhatósága Készenléti tényező: … 0 t 1’ t 1” t 2’ t 2” t n’ t n” 28

Készenléti tényező exponenciális esetben A(t) Annak valószínűsége, hogy az elemvagyis a t+Δtt ∞ Ha eléga hosszú időszakot tekintünk, időpontban működik: Exponenciális esetben: t 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 29

Megbízhatósági jellemzők statisztikai elemzése Grafikus paraméterbecslés Illeszkedésvizsgálat

Megbízhatósági jellemzők statisztikai becslése • Statisztikai adatfeldolgozás menete – Adatok leíró statisztikai feldolgozása – Paraméterek becslése • Maximum-likelihood, momentumok, legkisebb négyzetek módszere, grafikus • Statisztikai következtetések • Hipotézisvizsgálatok, intervallumbecslés 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 31

Grafikus becslés exponenciális eloszlás -ln[R(t)] t 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 32

Példa 100 terméket vizsgálunk 10 000 óráig. Az egyes megfigyelési időpontokban meghatározzuk a meghibásodások számát. A következő adatokat kapjuk: 0 -100 óráig 1, 100 -500 óráig 4, 500 -1000 óráig 4, 1000 -2500 óráig 13, 2500 -5000 óráig 18, 5000 -7500 óráig 12, és 7500 -10000 óráig 11 alkatrész hibásodott meg. Határozzuk meg – exponenciális eloszlást feltételezve- a meghibásodási ráta grafikus becslését! 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság 33

Példa Megfigyelési intervallumok Meghibásodott elemek Még működő elemek 0 -100 1 99 0, 01 100 -500 4 95 0, 0513 500 -1000 4 91 0, 0943 1000 -2500 13 78 0, 248 2500 -5000 18 60 0, 6 0, 511 5000 -7500 12 48 0, 734 7500 -10000 11 37 0, 994 2013 tavasz Kockázat és megbízhatóság -ln R(t) 34

Példa 1 0, 5 a 5000 2013 tavasz 10000 Kockázat és megbízhatóság t 35