Instytut Metrologii Elektrycznej UNIWERSYTETU ZIELONOGRSKIEGO Cyfrowe Przetwarzanie Sygnaw

Instytut Metrologii Elektrycznej UNIWERSYTETU ZIELONOGÓRSKIEGO Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów dla kierunku: Informatyka specjalność: Przemysłowe Systemy Informatyczne cześć 1 Wybrane zagadnienia z teorii sygnałów Dyskretyzacja sygnału analogowego Odtwarzanie i obliczanie parametrów sygnału na podstawie próbek dr hab. inż. Jerzy Bolikowski, prof. UZ

OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA PRZEDMIOTU Wielkości fizyczne W otaczającym nas środowisku występuje wiele sygnałów fizycznych niosących informację na, podstawie której podejmowane są różne decyzje. Organizm człowieka wyposażony jest w pięć kategorii czujników: słuchu, dotyku, smaku, zapachu i wzroku. Czujniki te przetwarzają wielkości fizyczne w sygnały elektryczne, które za pośrednictwem nerwów przesyłane są do „analogowego superkomputera” jakim jest mózg. W większości przypadków decyzje podejmowane są samodzielnie przez człowieka. Istnieją jednak sytuacje, w których niezbędne lub celowe jest wspomaganie człowieka przez urządzenia elektroniczne, a przede wszystkim przez cyfrowy mikrokomputer. Aby komputer mógł przeprowadzić odpowiednią analizę zawartej w sygnałach informacji (cyfrowe przetwarzanie sygnałów) do jego pamięci muszą być wprowadzone liczby, które z wystarczającą dokładnością odwzorowują rzeczywiste sygnały. Po przetworzeniu przez mikrokomputer rezultat obróbki ma postać sekwencji liczb. Praktyczne wykorzystanie wyników cyfrowego przetwarzania sygnałów wymaga zazwyczaj przetworzenia ich w postać analogową, a więc w sygnał elektryczny. czujniki przetwarzanie analogowoelektryczne cyfrowe sygnały liczby Operacje na sygnałach elektrycznych mogą być przeprowadzone z pominięciem konwersji analogowo-cyfrowej a potem cyfrowo-analogowej przez coraz doskonalsze układy elektroniki analogowej w które przemysł półprzewodnikowy zainwestował wielkie sumy pieniędzy. CPS 1 -2 Czym zatem uzasadnione jest coraz powszechniejsze stosowanie cyfrowego przetwarzania sygnałów? cyfrowe przetwarzanie sygnałów sygnały liczby przetwarzanie cyfrowoelektryczne analogowe LITERATURA PODSTAWOWA • Marven C. , Evers G. : Zarys cyfrowego przetwarzania sygnałów. WKiŁ. 1999. • Lyons R. G. : Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów. WKiŁ. 1999. • Szabatin J. : Podstawy teorii sygnałów. WKiŁ. 1982. • van de Plassche R. : Scalone przetworniki analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe. WKiŁ. 1997. • Kulka Z. , Libura A. , Nadachowski M. : Przetworniki analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe. WKiŁ. 1987.

WŁAŚCIWOŚCI CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW programowalność możliwe jest skonstruowanie jednej konfiguracji sprzętowej, która przez zmianę oprogramowania może służyć do realizacji różnych zadań cyfrowego przetwarzania sygnałów. W technice analogowej do każdego zadania musi być zaprojektowany i wykonany inny układ elektroniczny. stabilność algorytmy cyfrowego przetwarzania sygnałów (programy) są odporne na zmianę warunków eksploatacji (temperatura, wilgotność, zakłócenia elektromagnetyczne, procesy starzeniowe itp. ). Dla poprawnej pracy układów analogowych wymagane jest stosowanie często bardzo skomplikowanych metod i układów korygujących wpływ czynników zewnętrznych. powtarzalność Programy realizujące algorytmy cyfrowego przetwarzania sygnałów działają identycznie na różnych egzemplarzach tego samego urządzenia. Każdy układ analogowy, ze względu na rozrzut parametrów tworzących go elementów, ma inne, mieszczące się w pewnym zakresie, właściwości. kompresja danych Przy ograniczonej przepustowości kanałów transmisji zachodzi konieczność kompresji danych. Przy wykorzystaniu cyfrowej transmisji danych istnieje możliwość bezstratnej kompresji w przeciwieństwie do transmisji analogowej, gdzie kompresja danych związana jest z utratą części informacji. CPS 1 -3

SYGNAŁY I ICH KLASYFIKACJA W rozumieniu teorii sygnałów, sygnał jest pojęciem abstrakcyjnym, modelem matematycznym wyrażającym się określoną funkcją, przebiegiem stochastycznym lub dystrybucją. W technice sygnał definiowany jest jako funkcja czasowa dowolnej wielkości o charakterze energetycznym, w którym można wyróżnić dwa elementy: nośnik i parametr informacyjny. W teorii sygnałów stosowane są dwa, niezależne od siebie, sposoby podziału sygnałów. W pierwszym sygnały dzieli się na deterministyczne i losowe; w drugim zaś rozróżnia się sygnały: ciągłe i dyskretne. Sygnałem deterministycznym jest sygnał, którego każda wartość jest jednoznacznie określona za pomocą ścisłych zależności matematycznych. Sygnały opisane za pomocą procesu stochastycznego nazywa się sygnałami losowymi, a konkretna funkcja (sygnał) jest traktowana jedynie jako jedna z wielu możliwych realizacji procesu stochastycznego. sygnały deterministyczne okresowe sinusoidalne (harmoniczne) nieokresowe niesinusoidalne (poliharmoniczne) Na podstawie fundamentalnych praw lub w rezultacie wielu obserwacji można opisać dokładnie wartość sygnału deterministycznego w dowolnej chwili, również w przyszłości. CPS 1 -4 Sygnałem ciągłym w czasie jest funkcja x(t), której dziedziną jest każdy punkt pewnego przedziału osi czasu. Sygnałem dyskretnym w czasie jest funkcja x[n], której dziedziną jest zbiór liczb całkowitych. sygnały losowe stacjonarne nieergodyczne niestacjonarne ergodyczne Stacjonarnym nazywany jest proces stochastyczny, którego charakterystyki statystyczne (wartość średnia, wartość średnia kwadratowa, funkcja korelacji) nie są funkcjami czasu. Ergodycznym jest proces, którego dowolna statystyczna charakterystyka, otrzymana ze zbioru realizacji w dowolnej chwili, jest równa podobnej charakterystyce otrzymanej z jednej realizacji procesu obliczonej jako średnia w dostatecznie długim czasie.

WYBRANE SYGNAŁY DETERMINISTYCZNE Impuls prostokątny P(t) x(t) 1 t -1/2 x(t) a c b Sygnał Sa CPS 1 -5 t 0 1/2

Skok jednostkowy - 1(t) x(t) 1 t Skok sygnału o dowolną wartość i w dowolnym punkcie osi czasu można zapisać jako: x(t) A t t 0 Sygnał sinusoidalny t 0 CPS 1 -6

WYBRANE SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Sygnał harmoniczny stochastyczny Zmienne losowe opisane odpowiednimi funkcjami gęstości prawdopodobieństwa Konkretną realizacją sygnału z(t) jest sygnał harmoniczny deterministyczny Szum śrutowy CPS 1 -7 Szum śrutowy jest przykładem sygnału z parametrem statystycznym; jest ciągiem zmiennych losowych, których realizacje tworzą ciągi na osi czasu, a k(t) jest sygnałem deterministycznym losowym. Można go traktować jako sumę sygnałów impulsowych poprzesuwanych losowo względem siebie o odcinki czasu. Szum śrutowy jest modelem matematycznym sygnałów przypadkowych, których źródłem są zjawiska fizyczne związane z przepływem prądu elektrycznego w elementach elektronicznych.

SYGNAŁY DYSTRYBUCYJNE Delta Diraca - d(t) Dystrybucja Diraca (delta Diraca) jest modelem matematycznym sygnału impulsowego o nieskończenie krótkim czasie trwania i nieskończenie dużej amplitudzie. Sygnał taki nie jest realizowalny fizycznie, ale stanowi wygodny abstrakcyjny model sygnału fizycznego, którego przebieg ma kształt bardzo wąskiego impulsu. (t) 1 t 0 Ciągiem definiującym dystrybucję d(t) może być na przykład ciąg funkcji gaussowskich o postaci: Wraz ze zbliżaniem się parametru do zera funkcje gaussowskie są coraz węższe, a jednocześnie rośnie ich wartość. W granicy ciąg dąży do do wartości, która jest równa zeru dla t różnego od zera i równa nieskończoności dla t = 0. Jednocześnie pole ograniczone wykresem każdego elementu ciągu jest równe 1. Zatem delta Diraca jest granicą ciągu funkcji gaussowskich (t-t 0) 1 t 0 CPS 1 -8 t 0 Właściwość próbkowania Jeżeli x(t) jest dowolnym sygnałem, to

Dystrybucja grzebieniowa - III(t) Dystrybucja grzebieniowa jest ciągiem okresowo powtarzających się delt Diraca o jednostkowych wysokościach i jednostkowym okresie. Zdefiniowana jest następującym wyrażeniem: 1 t -3 -2 -1 0 1 2 3 właściwość próbkowania właściwość zmiany skali Z właściwości zmiany skali wynika, że ciąg delt Diraca jednakowo odległych od siebie o dowolną odległość T i o jednostkowych wysokościach można zapisać w postaci: t T Wówczas operację próbkowania dowolnego sygnału w odstępach czasu T można zapisać następująco: CPS 1 -9

METODY ANALIZY SYGNAŁÓW W teorii sygnałów pojęciu sygnał przyporządkowuje się odpowiednie modele matematyczne. Wybór tych modeli jest w zasadzie arbitralny ale ze względów praktycznych bierze się pod uwagę następujące aspekty: • Model powinien być możliwie ogólny, tak aby opisywał dostatecznie szeroką klasę sygnałów fizycznych i abstrahował od jego natury fizycznej. • Model powinien zapewniać łatwość analizy matematycznej problemów generacji, przetwarzania i przesyłania sygnałów. Wszystkie sygnały fizyczne (istniejące w przyrodzie oraz generowane sztucznie przez człowieka) trwają w czasie, mają na ogół bardzo skomplikowaną formę i nie dają się opisać żadną funkcją elementarną. Bezpośrednie badanie analityczne takich sygnałów jest niezwykle trudne, a czasami niemożliwe. Dobór odpowiedniej analitycznej reprezentacji sygnału jest zagadnieniem kluczowym w analizie sygnałów. Przedstawienie sygnału w postaci analitycznej powinno zapewnić uproszczenie obliczeń przy badaniu właściwości sygnału i pomiarach jego parametrów oraz umożliwić głębszą interpretację niektórych cech fizycznych. Sygnały mogą być reprezentowane w dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości. W zależności od celu analizy wybiera się jedną z tych dziedzin wykorzystując odpowiedni aparat matematyczny. Najczęściej stosowana jest widmowa (dyskretna) reprezentacja sygnałów (dziedzina częstotliwości). W przypadku sygnałów okresowych jest to trygonometryczny lub zespolony szereg Fouriera, a w przypadku sygnałów nieokresowych całkowe przekształcenie (transformata) Fouriera. CPS 1 -10 W dziedzinie czasu sygnały opisuje się średnią czasową rzędu n lub funkcją korelacji.

SYGNAŁY W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI SZEREG FOURIERA - trygonometryczny Z matematycznego punktu widzenia zagadnienie dyskretnej reprezentacji sygnału sprowadza się do aproksymacji sygnału x szeregiem typu xi - ustalone funkcje ai - liczby rzeczywiste lub zespolone Po ustaleniu funkcji aproksymującej wyznacza się liczby ai tak, aby błąd aproksymacji (według ustalonego kryterium) był najmniejszy. Kryterium tym jest błąd średniokwadratowy. Można udowodnić, że błąd aproksymacji dąży do zera jeśli zastosuje się zestaw zupełny funkcji ortogonalnych, a liczba wyrazów szeregu dąży do nieskończoności. Jeśli do aproksymacji użyje się zestaw funkcji sinus i cosinus (najczęściej stosowany), to dowolną funkcję okresową o okresie T 0 spełniającą warunki Dirichleta, można przedstawić za pomocą nieskończonego szeregu, zwanego szeregiem Fouriera, o równaniu trygonometryczny szereg Fouriera ponieważ gdzie: CPS 1 -11 11 widmo amplitudowe sygnału widmo fazowe sygnału

SZEREG FOURIERA - wykładniczy Uwzględniając zależności Eulera otrzymuje się zespolony szereg Fouriera zespolone widmo Fouriera można wykazać, że oraz CPS 1 -12 12 Przedstawienie funkcji okresowej za pomocą szeregu Fouriera jest równoważne rozłożeniu funkcji okresowej na jej funkcje składowe. Częstotliwość f 0 = w 0 /2 p jest podstawową częstotliwością, a pozostałe harmonicznymi częstotliwości f 0. . Dlatego analiza sygnału przy użyciu szeregu Fouriera nazywa się analizą harmoniczną.

SZEREG FOURIERA - Przykłady Rozwinąć w szereg Fouriera sygnał: x(t)=3 t (0<t<2 p) x(t) y=3 t t Stąd szereg Fouriera reprezentujący sygnał x(t)=3 t (0<t<2 p) ma postać: CPS 1 -13 13 a 0/2 k = 10 źródło: http: //skierka. zsh. konin. pl/andrzej/szeregf. html k = 500

SZEREG FOURIERA - Przykłady widmo amplitudowe widmo fazowe x(t) Rozwinąć w wykładniczy szereg Fouriera sygnał okresowy: A t T CPS 1 -14 14

SZEREG FOURIERA - Przykłady Efekt Gibbsa F 0 n=3 widmo amplitudowe n = 33 źródło: http: //skierka. zsh. konin. pl/andrzej/szeregf. html Fazorowy model sygnału fazor - wektor obracający się na płaszczyźnie zespolonej Im Re CPS 1 -15 15

SZEREG KOTIELNIKOWA-SHANNONA Dowolny sygnał x(t) o ograniczonym częstotliwością fmax paśmie może być reprezentowany przez szereg współczynniki szeregu są wartościami sygnału x(t) w punktach n. T T x(n. T) wartości sygnału w dyskretnych chwilach czasu CPS 1 -16 16 kolejne wyrazy szeregu suma wyrazów szeregu

TRANSFORMACJA FOURIERA Dyskretne widmo Fouriera istnieje dla sygnałów okresowych. Natomiast w praktycznych zastosowaniach istnieje konieczność analizy sygnałów nieokresowych. Jeśli sygnał nieokresowy potraktuje się jako sygnał periodyczny o okresie dążącym do nieskończoności, to dyskretne widmo Fouriera takiego sygnału przechodzi w granicy w widmo ciągłe. Para transformat Fouriera transformata prosta zespolone widmo sygnału transformata odwrotna widmo amplitudowe sygnału CPS 1 -17 17 widmo fazowe sygnału

SENS FIZYCZNY WIDMA SYGNAŁU Sygnał zespolony jest abstrakcyjnym, nierealizowalnym fizycznie modelem sygnału. Charakterystyki sygnału zespolonego określone są dla całej osi zmiennej . Natomiast interpretację fizyczna mają tylko ich prawe części dla 0. Widmo amplitudowe i widmo fazowe reprezentują strukturę częstotliwościową sygnału. Reprezentacja ta ma dla sygnałów rzeczywistych wyraźny sens fizyczny. Dla 0 widmo sygnału jest wielkością fizyczną w nie mniejszym stopniu niż sam sygnał. Można je zmierzyć lub obejrzeć na ekranie analizatora widma. Na podstawie widma można w sposób jednoznaczny odtworzyć sygnał. Widmo sygnału jest więc alternatywnym i równoważnym sposobem przedstawienia sygnału. Pełna informacja o sygnale jest „zapisana” w jego widmie. Wszelkie cechy sygnału w dziedzinie czasu mają swoje odzwierciedlenie w dziedzinie częstotliwości. Operacje przeprowadzane na widmie sygnału oddziaływają na przebieg i parametry sygnału w dziedzinie czasu. Część mocy sygnału DP, która przypada na przyrost pulsacji Dw nazywana jest widmową gęstością mocy Widmo gęstości mocy jest rzeczywistą funkcją pulsacji . Nie zawiera ono jednak żadnej informacji o fazie sygnału. Informacja ta jest tracona przy obliczaniu wartości średniej, co jest niezbędne dla wyznaczania mocy. Widmo gęstości mocy jest rzeczywiste, zawsze dodatnie i parzyste. CPS 1 -18 18 Ponieważ przy obliczaniu gęstości widmowej mocy informacja o fazie jest tracona, funkcja ta nie zawiera pełnej informacji o sygnale. Stąd obliczenie odwrotne nie jest możliwe.

WYBRANE WŁAŚCIWOŚCI TRANSFORMACJI FOURIERA liniowość zmiana skali (podobieństwo) Jeśli a>1, to skala czasu jest rozszerzana, sygnał jest „rozciągnięty” w czasie. Rozszerzenie skali czasu powoduje zawężenie skali częstotliwości i jednocześnie zwiększa się a-krotnie gęstość widmowa. Fizycznie oznacza to, że zmniejsza się szybkość zmian sygnału, a widmo skupia się wokół małych częstotliwości, jego gęstość w tym zakresie wzrasta. Dla 0<a<1 sygnał jest „ściśnięty” w czasie, a efekty w dziedzinie częstotliwości są przeciwne. przesunięcie w dziedzinie czasu Przesunięcie sygnału na osi czasu o t 0 odpowiada pomnożeniu widma przez czynnik zespolony CPS 1 -19 19 . Widmo amplitudowe sygnału przesuniętego nie ulega zmianie w stosunku do widma amplitudowego sygnału nieprzesuniętego. Natomiast widmo fazowe powiększa się o składnik ( - 0 t). Jest to całkowicie zgodne z sensem fizycznym przesunięcia sygnału na osi czasu. Struktura częstotliwościowa amplitud poszczególnych harmonicznych sygnału nie zmienia się. Zmieniają się natomiast fazy poszczególnych harmonicznych względem układu odniesienia.

przesunięcie w dziedzinie częstotliwości (modulacja) Jeśli widmo sygnału przesuwa się w prawo o wartość 0>0, to sygnał należy pomnożyć przez sygnał wykładniczy zespolony , czyli Przesunięcie widma sygnału w lewo o wartość 0>0 odpowiada pomnożeniu sygnału przez sygnał zespolony , a więc Dodając stronami powyższe pary transformat otrzymuje się CPS 1 -20 20 Z powyższej zależności wynika, że pomnożenie sygnału harmonicznego przez sygnał x(t) powoduje rozszczepienie widma na dwie części przemieszczone w prawo i w lewo o wartość 0. Operacja ta nazywana jest modulacją i wykorzystywana jest w telekomunikacji do przesyłania sygnałów na dalsze odległości. Sygnałem modulowanym jest sygnał harmoniczny (informacja zawarta jest w jego częstotliwości), a sygnałem modulującym sygnał x(t).

PRZYKŁADY PAR TRANSFORMAT FOURIERA impuls prostokątny (funkcja bramkowa) x(t) A t - /2 0 /2 x(t) A t - /4 0 /4 x(t) A CPS 1 -21 21 t - 0

funkcja x(t) 1 (t), t CPS 1 -22 22 Zwiększanie szerokości impulsu prostokątnego zwiększa koncentrację widma wokół pulsacji 0. W granicy funkcja Sa dąży do funkcji impulsowej (t), co oznacza, że widmo funkcji cosinus w przedziale nieograniczonym zawiera funkcje impulsowe umieszczone w punktach 0 0

SYGNAŁY W DZIEDZINIE CZASU wartości średnie Sygnał x(t) może być opisana średnią czasową rzędu n, nazywaną też momentem zwykłym rzędu n: lub dla sygnałów nieokresowych: Dla n=1 otrzymuje się średnią arytmetyczną, która może być interpretowana jako składowa o zerowej częstotliwości - składowa stała sygnału lub współczynnik a 0/2 szeregu Fouriera. Dla n=2 - moment zwykły drugiego rzędu jest miarą mocy sygnału. Pierwiastek kwadratowy tej wielkości jest wartością skuteczną sygnału: funkcja korelacji funkcja autokorelacji CPS 1 -23 23

DYSKRETYZACJA SYGNAŁU ANALOGOWEGO Sygnał analogowy x(t) Sygnał o ciągłym czasie i ciągłej wartości Próbkowanie Przetwornik próbkująco-pamiętający S/H 8. 187. . . 7. 983. . . 5. 982. . . Sygnał o dyskretnym czasie i ciągłej wartości ts 2. 901. . . kwantowanie ts q=1. 25 V 2 ts 3 ts 4 ts 7/8 6/8 5/8 4/8 3/8 2/8 1/8 0 kodowanie Zakodowany sygnał o dyskretnym czasie i dyskretnej wartości sygnał cyfrowy w naturalnym kodzie dwójkowym H CPS 2 -24 24 Przetwornik analogowo-cyfrowy A/C L Cyfrowe przetwarzanie sygnału

Przetwornik próbkująco-pamiętający (ang. sample-and-hold circuit - S/H) służy do pobrania próbki napięcia w krótkim okresie (rzędu pojedynczych mikrosekund) i zapamiętania tej próbki w czasie niezbędnym do przetworzenia jej przez przetwornik analogowo - cyfrowy. Przetwornik S/H umożliwia zamianę ciągłej funkcji Uwe (t) w ciąg impulsów Uwy (tn) o wartościach proporcjonalnych do wartości napięcia wejściowego w chwilach tn. Moment pobrania próbki określony jest przez układ sterujący przełącznikiem. Po zamknięciu przełącznika kondensator pamiętający CH ładowany jest przez rezystancję zamkniętego przełącznika do czasu aż napięcie na kondensatorze osiągnie, z dopuszczalnym błędem, wartość napięcia wejściowego. Ta faza pracy układu nazywana jest próbkowaniem a jej czas (czas próbkowania t. S) jest równy czasowi trwania impulsu sterującego. Po zakończeniu fazy próbkowania (przełącznik otwarty) napięcie na kondensatorze, nazywane próbką napięcia wejściowego, jest dostępne na wyjściu układu przez czas zwany czasem pamiętania t. H. . Pomiędzy fazami próbkowania i pamiętania występują stany przejściowe. Jeśli czas próbkowania jest krótszy od czasu pamiętania, to układ nazywany jest układem próbkująco pamiętającym. W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z układem śledząco - pamiętającym T/H (ang. track-and-hold circuit). Sumę czasów próbkowania i pamiętania nazywa się okresem próbkowania, a jego odwrotność - częstotliwościa próbkowania. CPS 2 -25 25 Czas, przez który musi być ładowany kondensator, aby otrzymać żądaną dokładność próbki nazywany jest czasem przyjęcia próbki lub czasem akwizycji.

Schemat zastępczy sterowanie U Uwe Trzy czynniki mają wpływ na czas przyjęcia próbki. Pierwszym jest stała czasowa (rzał CH ) wynikająca z rezystancji rzał przełącznika w stanie załączenia i pojemności kondensatora pamiętającego. Drugim maksymalny prąd wyjściowy I 0 max wzmacniacza A 1. Trzecim maksymalna szybkość zmian napięcia SU na wyjściu tego wzmacniacza. Maksymalna szybkość zmian napięcia na kondensatorze jest określona albo przez szybkość ładowania kondensatora maksymalnym prądem, albo przez maksymalną szybkość zmian napięcia na wyjściu wzmacniacza, w zależności od tego, która z tych wartości jest mniejsza. Przykład UCH czas akwizycji Należy obliczyć czas przyjęcia próbki o wartości 10 V z błędem e = 0. 02% dla układu S/H, w którym pojemność kondensatora pamiętającego CH = 5 n. F, maksymalny prąd wyjściowy wzmacniacza I 0 max = 10 m. A i maksymalna szybkość zmian na wyjściu wzmacniacza wejściowego SU = 5 V/ms. Sumaryczna rezystancja wyjściowa wzmacniacza i zamkniętego przełącznika wynosi rzał = 120 W. t Kondensator ładowany jest z szybkością: H S sterowanie Szybkość ta nie przekracza maksymalnej szybkości zmian napięcia na wyjściu wzmacniacza, a więc, w tym przypadku, maksymalna szybkość narastania napięcia na kondensatorze ograniczona jest przez maksymalny prąd wyjściowy wzmacniacza. Takim prądem będzie ładowany kondensator ze stałą szybkością 2 V/ms aż do momentu, kiedy suma napięć na kondensatorze i sumarycznej rezystancji szeregowej osiągnie wartość 10 V. Na kondensatorze odłoży się w tym czasie napięcie: CPS 2 -26 26

Stąd pierwszy składnik czasu akwizycji wynosi Od tego momentu ładowanie kondensatora przebiega wykładniczo ze stałą czasową Dopuszczalny bezwzględny błąd przyjęcia próbki wynosi Z takim błędem bezwzględnym musi ustalić się różnica (10 V - 8. 8 V = 1. 2 V). Błąd względny dla tej wartości napięcia wynosi Czas niezbędny do naładowania kondensatora z takim błędem (drugi składnik czasu akwizycji) wynosi: Łączny czas przyjęcia próbki przez analizowany układ wynosi: Wynika stąd, że układ sterujący musi zamykać przełącznik na czas próbkowania nie krótszy niż ts = 8, 2 ms CPS 2 -27 27 W obliczeniach pominięto czas opóźnienia włączenia przełącznika, rzędu kilkudziesięciu nanosekund dla przełączników półprzewodnikowych. koniec przykładu

Czas przejścia od fazy próbkowania do fazy pamiętania jest różny od zera. Czas między chwilą wystąpienia zmiany sygnału sterującego a chwilą pełnego rozwarcia przełącznika jest określany jako czas apertury. U błąd drżenia fazy apertury błąd apertury drżenie fazy apertury czas apertury H t Czas ten może zmieniać się przypadkowo w pewnych granicach zwanych drżeniem fazy apertury (ang. aperture jitter). Błąd spowodowany czasem apertury można korygować przez właściwy dobór chwili zmiany sygnału sterującego. Błąd wynikający z drżenia fazy apertury nie daje się skorygować. Przejawia się on tym, że zapamiętana wartość napięcia będzie się różnić od wartości chwilowej napięcia w momencie zmiany sygnału sterującego. W pewnych zastosowaniach wartość tego parametru może być krytyczna. S Przykład Mierzone jest napięcie sinusoidalne o wartości maksymalnej 10 V i częstotliwości 3 k. Hz. Wymagane jest aby błąd wynikający z drżenia fazy apertury był mniejszy od 0. 01% wartości maksymalnej (DU = 1 m. V). Obliczyć dopuszczalny czas drżenia fazy apertury układu S/H. Maksymalna szybkość zmiany napięcia mierzonego (w chwili przejścia sinusoidy przez zero) wynosi Czas, w którym napięcie zmieni się o 1 m. V wynosi CPS 2 -28 28 Należy więc wybrać układ S/H o drżeniu fazy apertury mniejszym od 5 ns. Wymaganie takie spełniają dobre scalone układy S/H. koniec przykładu

S H Przy rozłączaniu przełącznika może wystąpić zjawisko polegające na zmianie ładunku zgromadzonego w kondensatorze pamiętającym w wyniku oddziaływania cyfrowego układu sterującego na kondensator pamiętający. W chwili wyłączania przełącznika może wystąpić przepływ ładunku między kondensatorem CH a pasożytniczym kondensatorem Cp między bramką a drenem tranzystora. Wartość tego ładunku jest równa: , gdzie DUB - zmiana napięcia bramki w momencie wyłączania przełącznika. Na skutek odpływu ładunku q następuje zmiana napięcia na kondensatorze pamiętającym Zmiana ta nazywana jest piedestałem lub błędem piedestału. Przy przejściu od fazy próbkowania do fazy pamiętania występują krótkotrwałe oscylacje tłumione napięcia pamiętanego. Czas trwania tych oscylacji, w zależności od rodzaju układu S/H i wymaganej dokładności, wynosi od kilku nanosekund do kilku mikrosekund. W katalogach zwykle podawana jest wartość tego czasu (settling time) dla różnych rozdzielczości przetwornika a/c mierzącego zapamiętaną próbkę. Projektując sterowanie układu należy przewidzieć opóźnienie impulsu inicjującego konwersję przetwornika a/c w stosunku do zbocza inicjującego fazę pamiętania. Zapobiega to zakłóceniom pracy przetwornika. W fazie pamiętania najważniejszym parametrem jest szybkość spadku napięcia na kondensatorze pamiętającym określona jako gdzie IL - całkowity prąd upływowy. CPS 2 -29 29 Prąd upływowy jest sumą algebraiczną czterech różnych składników mających wpływ na jego wartość i polaryzację. W katalogach podawana jest wartość prądu upływowego. Na tej podstawie można obliczyć szybkość zmian napięcia pamiętanego.

WYBRANE PRZETWORNIKI ANALOGOWO-CYFROWE przetwornik kompensacyjny Kompensacyjny przetwornik A/C Przetwornik cyfrowo-analogowy (C/A) R UR ZEGAR R 2 R 2 R 2 R REJESTR SUKCESYWNEJ APROKSYMACJI (SAR) 1 2 R 0 LSB 1 10, 24 V 1 0 1 UR=UFS 0 MSB PRZETWORNIK C/A KOMPARATOR Uwy nominalny zakres UFS=q 2 N rzeczywisty zakres U 0=q(2 N-1) Układ sterujący powoduje generowanie przez przetwornik C/A kolejno napięć kompensacyjnych o wartościach UR/2, UR/4, . . . , UR/2 N, gdzie N jest liczbą bitów przetwornika. W każdym kroku przetwarzania wartość napięcia kompensacyjne-go jest porównywana z napięciem mierzonym. Jeśli wartość tego napięcia po kolejnym k-tym kroku jest mniejsza od napięcia mierzonego, to przerzutnik bk odpowiadający temu krokowi pozostaje w stanie “ 1” i odpowiadająca mu część napięcia Uk = UR/2 k pozostaje włączona. Jeśli po kolejnym kroku napięcie kompensujące jest większe od mierzonego (lub równe), to następuje skasowanie przerzutnika (bk = 0) i odłączenie odpowiadającej temu krokowi składowej napięcia kompensującego. CPS 2 -30 30 Po ostatnim kroku napięcie kompensacyjne ma wartość równą z dokładnością 1 LSB napięciu mierzonemu. Cyfrową reprezentacją wartości napięcia mierzonego w kodzie binarnym jest stan przerzutników. q=1, 28 Ux 1 0 1 czas przetwarzania

przetwornik natychmiastowy typu „flash” Ur REF UWE Układ S/H „flash” 4 bity zgrubny C/A 4 bity - + „flash” 4 bity dokładny komparatory R Układ zatrzaskowy + - R dwustopniowy + rejestr - Konwerter kodów R + - R CPS 2 -31 31 jednostopniowy Wyjście cyfrowe W ośmiobitowym dwustopniowym przetworniku typu „flash” po wykonaniu kwantyzacji zgrubnej uzyskane 4 -bitowe słowo cyfrowe (bardziej znaczące bity) jest przetwarzane na wartość analogową w 4 -bitowym przetworniku c/a. Ta wartość jest odejmowana od sygnału wejściowego, a różnicę poddaje się przetworzeniu a/c w drugim 4 -bitowym przetworniku „flash” dającym 4 mniej znaczące bity wyniku przetwarzania.

parametry przetworników analogowo-cyfrowych Najważniejszymi parametrami przetworników analogowo-cyfrowych są te, które określają dokładność i szybkość przetwarzania. Przetwornik analogowo-cyfrowy ma cechy układu cyfrowego jak i układu analogowego. Z jego właściwościami jako układu cyfrowego związany jest błąd kwantyzacji określający rozdzielczość przetwarzania, a z właściwościami analogowymi - błędy analogowe określające dokładność względna i bezwzględną. błąd analogowy Błąd analogowy przetwornika a/c, tak jak każdego układu analogowego składa się z błędu zera, błędu czułości (wzmocnienia) i błędu nieliniowości. Dwie pierwsze składowe błędu analogowego definiowane są identycznie jak dla innych analogowych układów pomiarowych i wyrażane w wartościach względnych w stosunku do nominalnego zakresu przetwarzania. Istotny dla użytkownika jest dodatkowy błąd temperaturowy tych składowych. Dla temperatury odniesienia są zwykle skorygowane do pomijalnie małej wartości. Błąd nieliniowości (tz. nieliniowość całkowa) określony jest jako maksymalne odchylenie rzeczywistej charakterystyki przetwarzania (linia łącząca środki przedziałów zmian napięcia, przy których następuje zmiana kodu) od charakterystyki idealnej. Zmiana wartości kodu w idealnym przetworniku następuje przy zmianie napięcia o 1 LSB (1 kwant). W rzeczywistym przetworniku istnieją lokalne różnice w stosunku do 1 LSB (tzw. nieliniowość różnicowa). Jeśli błąd ten jest większy od 1 LSB, to pojawia się efekt gubienia kodu. charakterystyk a rzeczywista charakterystyka idealna CPS 2 -32 32 nieliniowość całkowa charakterystyka idealna brakujący kod charakterystyk a rzeczywista nieliniowość różniczkowa Wypadkową tych trzech składowych błędu jest błąd podstawowy określony jako maksymalna różnica pomiędzy rzeczywistą charakterystyką przetwarzania a charakterystyką idealną (nominalną).

Błąd cyfrowy błąd kwantyzacji Zastąpienie rzeczywistych wartości Ux odpowiednimi wartościami dyskretnymi wprowadza błąd kwantowania zwany też ze względu na przypadkowy charakter szumem kwantowania. Średnia wartość błędu kwantyzacji w pełnym zakresie przetwarzania jest równa zeru, jeśli charakterystyka przetwarzania jest przesunięta o wartość q/2 w stosunku do początku układu współrzędnych. Sygnał mierzony może przyjmować dowolną wartość pomiędzy dwoma poziomami kwantowania z jednakowym prawdopodobieństwem (p=1/q). Stąd błąd kwantowania może być określony na przykład przez odchylenie standardowe (wartość skuteczną szumu kwantyzacji w woltach). Często przydatne jest określenie (w decybelach) stosunku wartości skutecznej sygnału wejściowego (dla pełnego zakresu przetwarzania) do szumu kwantyzacji (S/N). Zależy on od kształtu napięcia wejściowego. W przypadku napięcia stałego unipolarnego W przypadku napięcia sinusoidalnego o amplitudzie międzyszczytowej q 2 N: Rozdzielczość przetwornika analogowo-cyfrowego określa najmniejszą wartość sygnału wejściowego rozróżnianą przez przetwornik. Może być wyrażona przez wartość napięcia wejściowego odpowiadającą najmniej znaczącemu bitowi słowa wyjściowego (1 LSB). CPS 2 -33 33 Szybkość przetwarzania określona jest przez czas niezbędny do przetworzenia w postać cyfrową sygnału analogowego o wartości równej pełnemu zakresowi przetwarzania. Częstotliwość przetwarzania jest w przybliżeniu równa odwrotności czasu przetwarzania.

f 0=7 k. Hz niejednoznaczność sygnału dyskretnego w dziedzinie częstotliwości Częstotliwość [k. Hz] fs=6 k. Hz [ms] Częstotliwość [k. Hz] 6 k. Hz [ms] Częstotliwość [k. Hz] Przy próbkowaniu z częstotliwością fs nie można odróżnić spróbkowanych wartości sygnału sinusoidalnego o częstotliwości f 0 Hz od spróbkowanych wartości sygnału sinusoidalnego o częstotliwości (f 0 +kfs) Hz. CPS 2 -34 34 Po dyskretyzacji sygnału, jego widmo jest powielone. Okres pomiędzy powielonymi widmami wynosi zawsze fs Sygnał okresowy ma widmo dyskretne. Sygnał dyskretny ma widmo okresowe.

aliasing Widmo sygnału okresowego poliharmonicznego fg -fg fs Po spróbkowaniu, każdy prążek widma jest powielony okresowo z okresem fs. Odtworzenie sygnału oryginalnego wymaga odfiltrowania powielonych segmentów widma przez filtr dolnoprzepustowy. fs>2 fg fs/2 -fg fg f Charakterystyka idealnego filtru dolnoprzepustowego o częstotliwości odcięcia fg. f Jeśli częstotliwość próbkowania jest co najmniej dwa razy większa od częstotliwości najwyższej harmonicznej w sygnale próbkowanym, to istnieje możliwość bezbłędnego odtworzenia sygnału przez filtrację jego próbek. f fg -fg fs<2 fg fs/2 f f -fg CPS 2 -35 3 -35 fg f Jeśli częstotliwość próbkowania nie spełnia powyższego warunku, niemożliwe jest wierne odtworzenie widma sygnału oryginalnego bez względu na dobór częstotliwości odcięcia filtru. Fragmenty sąsiednich segmentów widma zachodzą na siebie powodując ich zniekształcenie. Zjawisko nakładania się widm często nazywane jest aliasingiem.

Twierdzenie Kotielnikowa-Shannona o próbkowaniu Jeśli sygnał nie może zmieniać się zbyt szybko, to na odcinki sygnałów łączące dwie sąsiednie próbki są narzucone pewne więzy. Na więzy te wpływają także wartości dalszych próbek. Im próbki leżą bliżej siebie tym więzy te są silniejsze. Przy wystarczająco bliskim położeniu więzy te mogą być tak silne, że przez próbki można wykreślić sygnał tylko na jeden sposób. Tak więc intuicyjnie można przyjąć, że przy ograniczonej szybkości zmian sygnału (w sygnale nie ma harmonicznych powyżej pewnego progu) i przy dostatecznie gęstym próbkowaniu istnieje możliwość odtworzenia sygnału na podstawie jego próbek. Twierdzenie o próbkowaniu Niech x(t) będzie sygnałem, którego widmo X(w) spełnia warunek Sygnał x(t) jest równoważny zbiorowi swoich próbek odległych od siebie o stały przedział to znaczy CPS 2 -36 3 -36

Dowód Widmo sygnału poddane zostanie dwóm wzajemnie znoszącym się operacjom. Najpierw operacji powielenia okresowego przez splecenie widma w dziedzinie częstotliwości z dystrybucją grzebieniową. Powstaje w ten sposób widmo o okresie 2 m równym odstępowi między impulsami Diraca w dystrybucji grzebieniowej. Następnie widmo to poddawane jest operacji idealnej filtracji poprzez pomnożenie go przez charakterystykę idealnego filtru dolnoprzepustowego o pulsacji odcięcia m. Dokonując odwrotnego przekształcenia Fouriera obu stron powyższego równania otrzymuje się Uwzględniając właściwości splotu dystrybucji Diraca z dowolną funkcją ostatecznie otrzymuje się CPS 2 -37 3 -37 Udowadnia to tezę twierdzenia o próbkowaniu. Znajomość wartości próbek sygnału wystarcza do odtworzenia pozostałych wartości sygnału.

Odtwarzanie sygnału na podstawie próbek sygnał oryginalny próbki sygnału oryginalnego odpowiedź idealnego filtru na kolejne próbki sygnał odtworzony jako suma odpowiedzi idealnego filtru na próbki sygnału CPS 2 -38 3 -38 Na wyjściu filtru następuje sumowanie odpowiedzi na ciąg próbek reprezentujących sygnał ciągły. Przy zachowaniu wymagań wynikających z twierdzenia Kotielnikowa-Shannona (idealne próbkowanie i idealna filtracja) sygnał wyjściowy filtru jest identyczny z sygnałem wejściowym.

próbkowanie pasmowe - podpróbkowanie -f. C W praktyce występują sygnały, których widmo jest skupione wokół pewnej częstotliwości środkowej f. C. i zajmuje pasmo B znacznie mniejsze od od f. C. Wykorzystując właściwość okresowego powielenia widma sygnału po jego spróbkowaniu, można odtworzyć sygnał pasmowy bez konieczności próbkowania go z częstotliwością spełniającą warunek Kotielnikowa. Shannona. gdzie m jest liczbą naturalną taką, że CPS 2 -39 3 -39 Częstotliwość [MHz] Struktura częstotliwościowa powielonego widma jest identyczna jak struktura częstotliwościowa sygnału oryginalnego. Zmienione jest tylko położenie widma na osi częstotliwości. Tak więc na podstawie próbek pobieranych z częstotliwością znacznie mniejszą od częstotliwości Nyquista można wiernie odtworzyć informację zawartą w sygnale pasmowy pod warunkiem, że częstotliwość „podpróbkowania” spełnia następujący warunek: Widmo sygnału pasmowego przed próbowaniem f. C = 32, 5 MHz, B = 5 MHz B częstotliwość [MHz] -f. C m=1 f. SMIN=f. C+B/2=35 MHz f. C częstotliwość [MHz] -f. C m=1 f. SMAX=2 f. C-B=60 MHz f. C = 32, 5 MHz, B = 5 MHz f. SMAX f. C częstotliwość [MHz] -f. C m=6 f. SMIN=f. SMAX=2 B f. SMIN 2 B = 10 MHz częstotliwość [MHz] f. C

próbkowanie rzeczywiste Z twierdzenia Kotielnikowa-Shannona wynika teoretyczna możliwość przekazywania informacji zawartej w sygnale ciągłym za pomocą jego próbek, przy założeniu, że sygnał ma ograniczone widmo (fg) i próbkowany jest z częstotliwością fs nie mniejszą niż 2 fg. Należy jednak zdawać sobie sprawę z różnicy między teorią a fizyczną rzeczywistością. Istnieją trzy zasadnicze rozbieżności: • Sygnały rzeczywiste mają widmo nieograniczone (kryterium Paleya-Wienera) • Impulsy Diraca są nierealizowalne w praktyce • Idealny filtr dolnoprzepustowy jest nierealizowalny w praktyce rzeczywiste widmo sygnału -fg. . . fg pasmo, w którym przenoszona jest informacja po próbkowaniu przed próbkowaniem fs fs/2 f f -fg filtr antyaliasingowy f widmo sygnału za filtrem antyaliasingowym CPS 2 -40 3 -40 -fg fg fg Widmo każdego sygnału fizycznego ma charakter malejący ze wzrostem częstotliwości i przyjmuje wartości pomijalnie małe powyżej pewnej częstotliwości fg. różnej dla różnych sygnałów. Ponadto, często znane jest pasmo, w którym zawarta jest użyteczna informacja. W celu uniknięcia aliasingu, sygnał ciągły przed próbkowanie poddawany jest filtracji przez tzw. filtr antyaliasingowy o arbitralnie ustalonej częstotliwości odcięcia fg. W wyniku działania filtru na układ próbkująco-pamiętający podawany jest sygnał, w którym praktycznie występują tylko harmoniczne zawierające użyteczną informację. Taki sygnał może być próbkowany z częstotliwością równą co najmniej 2 f g bez obawy, że nastąpi nakładanie się sąsiednich segmentów widma.

rzeczywisty kształt impulsów próbkujących W praktycznej realizacji próbkowania, idealna dystrybucja grzebieniowa (niemożliwa do zrealizowania) zastępowana jest prostokątną falą nośną (możliwą, w przybliżeniu, do zrealizowania). W takim przypadku widmo sygnału próbkowanego splatane jest z widmem fali prostokątnej. Widmem fali prostokątnej jest ciąg impulsów widmowych oddalonych o 1/ts, których obwiednią jest funkcja typu Sa. Sygnał informacyjny f t A Widmo sygnału informacyjnego f t CPS 2 -41 3 -41 Widmo sygnału spróbowanego falą prostokątną jest ciągiem oddalonych od siebie o 2 fg segmentów widmowych, z których każdy jest tego samego kształtu co widmo sygnału informacyjnego. Odtworzenie sygnału informacyjnego jest możliwe za pomocą filtru o częstotliwości odcięcia równej fg.

Kolejne folie w przygotowaniu CPS 2 -42 3 -42

CYFROWA ZMIANA SZYBKOŚCI PRÓBKOWANIA Zmiana użytkowej częstotliwości próbkowania dokonywana na zbiorach liczb reprezentujących próbki rzeczywistego sygnału. Stosowana jest wtedy, gdy częstotliwość fizycznego próbowania sygnału nie jest odpowiednia (za duża lub za mała) dla realizacji konkretnego algorytmu cyfrowego przetwarzania sygnałów. decymacja - zmniejszenie szybkości próbkowania o dowolny czynnik całkowity (D) Decymacja polega na odrzuceniu pewnej liczby ze zbioru próbek tak aby powstał nowy zbiór o liczbie próbek D razy mniejszej. (D jest liczbą całkowitą). Dla N próbek ponumerowanych od p(0) do p(N-1) przy decymacji o czynnik D pozostawiane są próbki p(Dn), gdzie n=0, 1, 2, 3 itd. f. OLD n. OLD f t f. NEW n. NEW t f Wynik decymacji jest identyczny z wynikiem rzeczywistego próbkowania z częstotliwością f. NEW. Granica, do której można prowadzić decymację wynika z twierdzenia o próbkowaniu, to znaczy f. NEW>2 B. Zapewnia to uniknięcie aliasingu. interpolacja - zwiększenie szybkości próbkowania o dowolny czynnik całkowity (I) Interpolacja o czynnik całkowity I polega na obliczeniu (I-1) nowych wartości próbek równomiernie rozłożonych pomiędzy sąsiednimi próbkami pochodzącymi z fizycznego procesu próbkowania. Cyfrowa filtracja (filtr interpolacyjny) umożliwia obliczenia wartości próbek w dyskretnych chwilach czasu. Połączenie interpolacji z decymacją umożliwia przetworzenie zbioru rzeczywistych próbek sygnału pobranych z częstotliwością f. OLD w zbiór próbek tego samego sygnału odpowiadających próbkowaniu z częstotliwością CPS 2 -43 3 -43

CPS 2 -44 3 -44