Filtry cyfrowe Podstawy Materiay do wykadu PTS 2010

Filtry cyfrowe Podstawy Materiały do wykładu PTS 2010 1

Program wykładu • • • Podstawowe definicje i koncepcje Rodzaje filtrów cyfrowych Przegląd metod projektowania Zastosowania Podsumowanie Materiały do wykładu PTS 2010 2

Filtracja, filtr cyfrowy • FILTRACJA PROCES PRZETWARZANIA SYGNAŁU W DZIEDZINIE CZASU, POLEGAJĄCY NA REDUKOWANIU I ODFILTROWYWANIU NIEPORZĄDANYCH SKŁADOWYCH ZAWARTYCH W SYGNALE WEJŚCIOWYM – FILTR- KAŻDE URZĄDZENIE POSIADAJĄCE SELEKTYWNE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE • FILTR CYFROWY- ALGORYTM LUB PROCES OBLICZENIOWY W WYNIKU KTÓREGO JEDNA SEKWENCJA LICZB (SYGNAŁ WEJŚCIOWY) PRZETWARZANA JEST NA INNĄ SEKWENCJĘ (SYGNAŁ WYJŚCIOWY) Materiały do wykładu PTS 2010 3

Od filtrów analogowych do cyfrowych Przykładowy dolnoprzepustowy filtr analogowy: Materiały do wykładu PTS 2010 4

Równanie różniczkowe opisujące filtr analogowy: Proces dyskretyzacji: Materiały do wykładu PTS 2010 5

Uwzględniając dyskretne przybliżenie pochodnej: . Materiały do wykładu PTS 2010 6

Rezultat: Liniowe, stacjonarne równanie różnicowe rzędu pierwszego Ogólna postać równania różnicowego opisującego układy filtrujące cyfrowe (FILTRY CYFROWE) . Materiały do wykładu PTS 2010 7

Sposoby opisu filtrów • Równanie różnicowe • Splot dyskretny odpowiedzi impulsowej filtra i sygnału wejściowego • Transmitancja (funkcja przejścia) filtra w dziedzinie z: Materiały do wykładu PTS 2010 8

KRYTERIA OCENY FILTRÓW 1. ODPOWIEDŹ AMPLITUDOWA i FAZOWA 2. ODPOWIEDŹ JEDNOSTKOWA Materiały do wykładu PTS 2010 9

Charakterystyka (odpowiedź) amplitudowa Częstotliwość odcięcia f 3 DB Materiały do wykładu PTS 2010 10

• Przerzut - maksymalna wartość napięcia o jakie napięcie wyjściowe przewyższa chwilowo swoją wartość końcową. Charakterystyka jednostkowa • Tętnienie - oscylacje wokół średniej wartości końcowej • Czas narastania czas w którym napięcie wyjściowe osiągnie poziom 90% do swojej Czas ustalania - czas po którym napięcie wartości maksymalnej (tr) wyjściowe ustala się w obrębie 5% Materiały do wykładu PTS 2010 odchylenia od swojej wartości końcowej (ts) 11

KLASYCZNY PODZIAŁ FILTRÓW CYFROWYCH ZE WZGLĘDU NA SPOSÓB ODDZIAŁYWANIA NA SYGNAŁ WEJŚCIOWY : • DOLNOPRZEPUSTOWE • GÓRNOPRZEPUSTOWE • PASMOWE; (ŚRODKOWOZAPOROWE, ŚRODKOWOPRZEPUSTOEWE) Materiały do wykładu PTS 2010 12

Podział filtrów ze względu na sposób przetwarzania sygnału dyskretnego • FILTRY NIEREKURSYWNE – o skończonej odpowiedzi impulsowej SOI (FIR ) • FILTRY REKURSYWNE – o nieskończonej odpowiedzi impulsowej NOI (IIR ) Materiały do wykładu PTS 2010 13

Filtry nierekursywne dlaczego SOI? • Jeżeli wszystkie współczynniki a 0, a 1, . . , ak są zerowe: Materiały do wykładu PTS 2010 14

Odpowiedź impulsowa Materiały do wykładu PTS 2010 15

Wniosek • Sygnał wyjściowy ma więc skończony czas trwania – przyjmuje wartości równe współczynnikom b 0, b 1, . . . , bp • Filtry opisane nierekursywnym równaniem różnicowym można więc nazwać filtrami o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) • Ang. : finite impulse response (FIR) filter Materiały do wykładu PTS 2010 16

Filtry rekursywne dlaczego NOI? • Jeżeli chociaż jeden współczynnik a 0, a 1, . . , ak jest niezerowy oraz podane są odpowiednie warunki początkowe y(-1), y(-2), . . , y(-k): Materiały do wykładu PTS 2010 17

Odpowiedź impulsowa Materiały do wykładu PTS 2010 18

Wniosek • Sygnał wyjściowy (odpowiedź na funkcję impulsową) ma więc nieskończony czas trwania (składniki powyżej p nie zerują się) • Filtry opisane rekursywnym równaniem różnicowym można więc nazwać filtrami o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI) impulsowej • Ang. : infinite impulse response (IIR) filter Materiały do wykładu PTS 2010 19

Cechy filtrów cyfrowych • • SOI (FIR) = nierekursywne • Stabilne z definicji • Łatwe do projektowania • Łatwo zapewnić liniowość • fazy • Duża stromość jedynie dla • filtrów wysokiego rzędu • Skończona dokładność wsp. • nie skutkuje kłopotami z implementacją NOI (IIR) = rekursywne Mogą być niestabilne Skomplikowane w proj. Faza nieliniowa Możliwe uzyskanie dużej stromości Skończona dokładność wsp. = problemy implementacyjne Materiały do wykładu PTS 2010 20

Metody projektowania filtrów FIR • Metoda okienkowania (okienkowa) • Metoda rozmieszczania zer • Metoda optymalna Materiały do wykładu PTS 2010 21

MATLAB Przykład 1 (FIR) N = 80; k = 0: (N-1); b 0 = 1; b 1 = -1; MATLAB filter Polecenie podstawowe b 2 = 1; B = [b 0 b 1 b 2]; f = 1/8; x = sin(2*pi*f*k+pi/6); y = filter(B, 1, x); subplot(2, 1, 1) system. FIR(0, 0, 4, 5, 10, 'b') subplot(2, 1, 2) plot(k, x, 'go', k, y, 'bo', . . . k, x, 'g-', k, y, 'b-') legend('input', 'output') Materiały do wykładu PTS 2010 22

MATLAB Przykład 2 odpowiedź impulsowa (FIR) N = 16; k = 0: (N-1); b 0 = 1; b 1 = -1; b 2 = 2; B = [b 0 b 1 b 2]; x = (k==0); y = filter(B, 1, x); subplot(3, 1, 1) system. FIR(0, 0, 4, 5, 10, 'b') subplot(3, 1, 2) stem(k, x, 'r') ylabel('input') subplot(3, 1, 3) stem(k, y, 'b') ylabel('output') Materiały do wykładu PTS 2010 23

MATLAB Przykład 3 (IIR) N = 80; k = 0: (N-1); a = 0. 97; B = [0 1]; A = [1 -a]; x = (k==0); y = filter(B, A, x); Niezanikająca odpowiedź impulsowa Filtra NOI subplot(3, 1, 1) draw 1 st. IIR(0, 0, 4, 5, 10, 'b') subplot(3, 1, 2) stem(k, x, 'r') ylabel('input') subplot(3, 1, 3) stem(k, y, 'b') ylabel('output') Materiały do wykładu PTS 2010 24

Podstawowe struktury filtrów FIR Direct form, Transposed form, Cascade form, Linear-phase, Symmetric Materiały do wykładu PTS 2010 25

Direct form 2 nd order = struktra bezpośrednia drugiego rzędu Materiały do wykładu PTS 2010 26

Transposed direct form 2 nd order Transponowana struktura bezpośrednia Materiały do wykładu PTS 2010 27

Cascade direct form Kaskadowa struktura bezpośrednia Materiały do wykładu PTS 2010 28

Direct form (Tapped delay line) Materiały do wykładu PTS 2010 29

Transposed direct form Materiały do wykładu PTS 2010 30

Linear-phase type 1 Filtr liniowo-fazowy typu I Materiały do wykładu PTS 2010 31

Linear-phase type 2 Struktura liniowo-fazowa typu II Materiały do wykładu PTS 2010 32

Symmetric FIR type I Filtr symetryczny SOI typu I Materiały do wykładu PTS 2010 33

Symmetric FIR type II Filtr symetryczny SOI typu II Materiały do wykładu PTS 2010 34

Podstawowe struktury filtrów NOI (IIR) Direct form, Transposed form Struktury: bezpośrednia i transponowana Materiały do wykładu PTS 2010 35

Direct form I 2 nd order Struktura bezpośrednia I drugiego rzędu Materiały do wykładu PTS 2010 36

st Direct form II 1 order Materiały do wykładu PTS 2010 37

nd Direct form II 2 order Materiały do wykładu PTS 2010 38

Cascade direct form II Materiały do wykładu PTS 2010 39

Transposed direct form II 1 st order Materiały do wykładu PTS 2010 40

Transposed direct form II 2 nd order Materiały do wykładu PTS 2010 41

Metoda okienkowa projektowania filtrów FIR (SOI) • Chcemy zaprojektować idealny filtr dolnoprzepustowy K Materiały do wykładu PTS 2010 42

Metoda okienkowa projektowania filtrów FIR (SOI) • Aby algebraicznie wyznaczyć h(n) musimy zastosować IDFT do transmitancji dyskretnej H(m) • Rozwiązanie: Materiały do wykładu PTS 2010 43

Metoda okienkowa projektowania filtrów FIR (SOI) • Rozwiązanie: Materiały do wykładu PTS 2010 44

Metoda okienkowa projektowania filtrów FIR (SOI) • Aby zapewnić skończoną liczbę próbek ograniczamy się do N (np. N=17) stosujemy najprostsze okienko prostokątne • Aby uczynić filtr przyczynowym przesuwamy odpowiedź impulsową o n 0=0. 5(N-1)=8 Materiały do wykładu PTS 2010 45

Metoda okienkowa projektowania filtrów FIR (SOI) • Ciąg opisany powyższą zależnością definiuje przyczynowy filtr, który można zrealizować na podstawie znanych wartości Funkcja okna Materiały do wykładu PTS 2010 46

Metoda okienkowa projektowania filtrów FIR (SOI) • Taką transmitancję filtra można zrealizować bezpośrednio na podstawie znajomości Materiały do wykładu PTS 2010 47

Przykład projektowania • • Zaprojektować filtr dolnoprzepustowy FIR N=17 n 0=8 Znormalizowana częstotliwość odcięcia: Materiały do wykładu PTS 2010 48

Obliczamy wyrazy szeregu: Materiały do wykładu PTS 2010 49

Odpowiedź częstotliwościowa: Materiały do wykładu PTS 2010 50

Inne okna • Aby zminimalizować przeregulowania związane ze stromymi zboczami okna prostokątnego można zastosować inne okna: – Okno von Hanna – Okno Hamminga – Okno Bartletta (trójkątne) Materiały do wykładu PTS 2010 51

Okno von Hanna Materiały do wykładu PTS 2010 52

Okno Hamminga Materiały do wykładu PTS 2010 53

Okno Bartletta Materiały do wykładu PTS 2010 54

FDAtool Matlab DSP toolbox Materiały do wykładu PTS 2010 55

Materiały do wykładu PTS 2010 56

Materiały do wykładu PTS 2010 57

Materiały do wykładu PTS 2010 58

Okno Bartletta Materiały do wykładu PTS 2010 59

Materiały do wykładu PTS 2010 60

Realizacja Materiały do wykładu PTS 2010 61

Metody projektowania filtrów IIR • Transformacja biliniowa – przykład przejścia od filtrów analogowych określonego typu do cyfrowych • Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej Materiały do wykładu PTS 2010 62

Transformacja biliniowa • Pozwala na znalezienie żądanej transmitancji filtra cyfrowego na podstawie zadanej charakterystyki filtra analogowego Materiały do wykładu PTS 2010 63

Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej • Dla danej transmitancji Ha(s): • Odpowiedź impulsowa filtra analogowego Materiały do wykładu PTS 2010 64

Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej (cd) • Po spróbkowaniu: • Przyjmując Materiały do wykładu PTS 2010 65

Przykładowe struktury Struktura bezpośrednia typu I Materiały do wykładu PTS 2010 66

Materiały do wykładu PTS 2010 67

Przykładowa transmitancja Materiały do wykładu PTS 2010 68