Geometria analtica no espao Teste 8 Sempre que

Geometria analítica no espaço Teste 8

Sempre que tiver dúvidas, consulte o Essencial e recorra ao site http: //www. wolframalpha. com/ para testar as suas hipóteses.

Questão 1 Considere, num referencial o. n. Oxyz, o paralelepípedo [ABCDEFGH] de dimensões 4, 3 e 2, representado na figura ao lado. 1. 1 Indique as coordenadas dos vértices do paralelepípedo. 1. 2 Escreva uma condição que defina o plano ABC. 1. 3 Escreva uma condição que defina a reta CG. 1. 4 Escreva uma condição que defina o segmento de reta [DC]. 1. 5 Escreva as coordenadas do ponto simétrico de C relativamente ao plano x. Oy. Ver respostas.

Resolução 1. 1 A (2, 0, 0) B (2, 4, 0) C (2, 4, 3) D (2, 0, 3) E (0, 0, 0) F (0, 4, 0) G (0, 4, 3) H (0, 0, 3) 1. 2 x = 2 1. 3 1. 4 1. 5 C’ (2, 4, -3)

Questão 2 Num referencial o. n. Oxyz, considere os pontos A (3, 2, 1), B (2, – 1, 3) e C (3, – 4, 2 k). 2. 1 Determine o valor de k, tal que a distância de A a C é 10. 2. 2 Escreva a equação da superfície esférica de centro B e Ver respostas. que contém A. 2. 3 Determine as coordenadas do ponto do semieixo positivo Oy cuja distância a A é igual ao raio da superfície esférica determinada em 2. 2. Ver resposta.

Resolução 2. 1 2. 2 Comecemos por determinar o raio: Assim, a equação da superfície esférica de centro B e que contém A é:

Resolução 2. 3 Seja P o ponto do semieixo positivo Oy, tal que Então, P (0, y, 0) com y > 0, e: Como y > 0, o ponto P tem coordenadas (0, 4, 0). .

Questão 3 Considere, num referencial o. n. Oxyz, os pontos: 3. 1 Determine o perímetro do triângulo [ABC]. Ver respostas. 3. 2 Justifique o triângulo [ABC] é retângulo. 3. 3 B é um ponto do plano mediador de [AC]? Justifique. 3. 4 Determine uma equação reduzida da superfície esférica de centro em B e que contém C. 3. 5 A é um ponto da superfície esférica de centro em B e que contém C? Ver respostas.

Resolução 3. 1 Logo, . 3. 2 O triângulo [ABC] é retângulo se se verificar o recíproco do Teorema de Pitágoras: Logo, o triângulo é retângulo em B.

Resolução 3. 3 B é um ponto do plano mediador de [AC] se Como se viu e . . Logo, B é um ponto do plano mediador de [AC]. 3. 4 Comecemos por determinar o raio da superfície esférica: . Logo, a equação reduzida da superfície esférica solicitada é: 3. 5 A é um ponto da superfície esférica de centro em B e que contém C se Como se viu . e . Logo, A é um ponto da superfície esférica de centro em B e que contém C.

Questão 4 A interseção da superfície esférica de equação reduzida com o plano de equação cartesiana y = 3 é uma circunferência. 4. 1 Determine o centro e o raio da circunferência. Ver resposta.

Resolução 4. A superfície esférica tem centro na origem do referencial e raio 5. Logo, a interseção desta superfície esférica com o plano y = 3 é uma circunferência de centro em (0, 3, 0). Para determinar o raio pode utilizar-se o Teorema de Pitágoras: Logo, o raio da circunferência que se obtém na interseção da superfície esférica com o plano dado é 4.

Questão 5 Escreva uma condição que defina a esfera tangente ao plano y. Oz e de centro no ponto de coordenadas (– 3, – 1, 5). Ver resposta.

Resolução 5. Para que a esfera tenha centro no ponto de coordenadas (– 3, – 1, 5) e seja tangente ao plano y. Oz, o raio terá de ser igual a 3 — o ponto de tangência é o ponto de coordenadas (0, – 1, 5). Assim, uma condição que define a esfera solicitada é:

Questão 6 Considere, num referencial o. n. Oxyz, um prisma quadrangular reto e uma pirâmide. A base da pirâmide coincide com a base inferior do prisma, [OABC]. O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox e o ponto C pertence ao semieixo positivo Oy. O ponto V, vértice da pirâmide, coincide com o centro da base superior do prisma, [DEFG]. As coordenadas do ponto A são (6, 0, 0) e o volume da pirâmide é 108. 6. 1 Determine as coordenadas do ponto V. 6. 2 Indique as coordenadas do ponto simétrico de A relativamente ao plano y = 5. 6. 3 Determine uma equação do plano mediador de [AC]. Ver respostas.

Resolução 6. 1 Como V é o centro da base superior da pirâmide quadrangular regular, as suas coordenadas são (3, 3, z). Para determinar z, calculemos a altura da pirâmide: Logo, as coordenadas do ponto V são (3, 3, 9). 6. 2 As coordenadas do ponto simétrico de A relativamente ao plano de equação y = 5 são as representadas pelo ponto de coordenadas A’ (6, 10, 0). 6. 3