Fuzzy Analytical Hierarchy Procedure Fuzzy AHP TinChih Toly

模糊層級分析法 (Fuzzy Analytical Hierarchy Procedure, Fuzzy AHP) 陳亭志(Tin-Chih Toly Chen) 逢甲大學 業 程與系統管理學系 Jan. , 2005

矩陣運算 n det(determinant) n n*n矩陣(square matrix)之det： n n n 公式 1。 (Excel的公式) = mdeterm(A 1: Bn) Eigenvalue l: det(A - l. I) = 0 n n A：一矩陣；I：與A同大小之單位矩陣。 A - l. I等於A之main diagonal(左上角 右下角)上的每一個元素 均減掉l。 n*n矩陣會有n個eigenvalues。 lmax = max(all ls)

det a b c d + a 11 a 12 a 21 + … = ad - bc + a 13 … … a 1 n = A 11 an 1 … ann a 11 * det(A 11) - a 12 * det(A 12) + a 13 * det(A 13) … … a 1 n * det(A 1 n) 公式 1、det之計算

(續) n n 以MATLAB求解eigenvalues(公式 2)。 Eigenvector x: (A - l. I)x = 0 n 求解法： n 近似法： n 算數平均法： n Better：

>> A = [0. 105 -0. 099 0. 12 0. 041; -0. 099 0. 352 -0. 218 -0. 088; 0. 12 -0. 218 0. 544 0. 109; 0. 041 -0. 088 0. 109 0. 051] A= 0. 1050 -0. 0990 0. 1200 0. 0410 0. 3520 -0. 2180 -0. 0880 0. 1200 -0. 2180 0. 5440 0. 1090 0. 0410 -0. 0880 0. 1090 0. 0510 >> [E, V] = eig(A) E= x -0. 1499 0. 9534 -0. 1069 -0. 2390 0. 1413 0. 2446 0. 7998 -0. 1091 -0. 1490 0. 9725 0. 5296 0. 5869 -0. 7883 0. 0947 -0. 0668 -0. 2022 V= 0. 0197 0 0 0. 0649 0 0 0. 2126 0 0 0. 7548 lmax 公式 2、以MATLAB求解eigenvalues與eigenvectors

Logarithmetic Least Square n Logarithmetic Least Square: n 以 n 來求解wi。 先偏微分以獲得Normal Equations：

n 1 R. I. 0. 00 2 3 0. 00 0. 58 4 0. 9 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 12 1. 24 1. 32 1. 41 1. 45 1. 49 1. 51 1. 48 1. 56 1. 57 1. 59 表 1、R. I. 表 12

A a b c d e f a d e f 0. 53 0. 16 0. 31 a b d e f 0. 25 0. 38 0. 37 c 0. 53 0. 22 0. 13 0. 16 0. 53 0. 46 0. 31 0. 25 0. 41 b d e f c 0. 22 0. 53 0. 25 d e f 0. 13 0. 46 0. 41 A a * b c 0. 53 0. 16 A = 0. 31 圖 3、多層次AHP之計算 d e f 0. 36 0. 12 0. 33

(續) n Tr. FN之模糊算術： n 常數k = (k, k, k, k)。 n (a 1, b 1, c 1, d 1)(+)(a 2, b 2, c 2, d 2) = (a 1+a 2, b 1+b 2, c 1+c 2, d 1+d 2)。 n (a 1, b 1, c 1, d 1)(-)(a 2, b 2, c 2, d 2) = (a 1 -d 2, b 1 -c 2, c 1 -b 2, d 1 -a 2)。 n n 如果a 1 0, a 2 0則(a 1, b 1, c 1, d 1)( )(a 2, b 2, c 2, d 2) = (a 1 a 2, b 1 b 2, c 1 c 2, d 1 d 2)。 如果a 1 0, a 2>0則(a 1, b 1, c 1, d 1)(/)(a 2, b 2, c 2, d 2) = (a 1/d 2, b 1/c 2, c 1/b 2, d 1/a 2)。

1 = 1 1 (1) 1 1 3 1 1/3 1 1 1 (1, 3, 3, 5) (3, 5, 5, 7) x 1 y z (1, 3, 3, 5) 1 (2) lmax = 3. 136 (4) 1 5 7 1/5 1 1 1/7 1 1 3 1/5 1 1 1/3 1 1 (3) (5) 1 7 1 1 1/5 1/7 5 1 (8) 1 1 7 1 1/7 1 1 lmax = 3. 436 1 1 3 1 1 1/5 1/3 5 1 lmax = 3. 872 1 lmax = 4. 577 5 lmax = 3. 029 lmax = 3. 013 (7) 1 (6) 1 5 3 1/5 1/3 5 1 lmax = 3. 136 1 5 7 1/5 1/7 5 1 lmax = 3. 436 圖 6、求解fuzzy eigenvalue過程(a = 0)

1 1 1 = 1 (1, 3, 3, 5) (3, 5, 5, 7) x 1 y z (1, 3, 3, 5) 1 (1)~(8) 1 3 5 1/3 1/5 3 1 lmax = 3. 295 lmax = (3. 013, 3. 295, 4. 577) C. I. = (0. 0065, 0. 1475, 0. 7885) R. I. (3) = 0. 58 C. R. = (0. 011, 0. 254, 1. 359) 0. 1 圖 7、求解fuzzy eigenvalue過程(a = 1)

( ) 1 1 1 = 1 (1, 3, 3, 5) (3, 5, 5, 7) (1/5, 1/3, 1) 1 (1/5, 1/3, 1) (1/7, 1/5, 1/3) (1, 3, 3, 5) 1 (3, 15, 35) 開3次方 (1/25, 1/9, 1) (1/7, 3/5, 5/3) (1. 44, 2. 47, 3. 27) (0. 34, 0. 48, 1) (0. 52, 0. 84, 1. 19) 加總 = (2. 31, 3. 79, 5. 46) (0. 26, 0. 65, 1. 42*) = (0. 06, 0. 13, 0. 43) (0. 1, 0. 22, 0. 51) *: 將被調整為 1 圖 8、以模糊幾何平均法求解fuzzy eigenvector (/)

參考資料 n n Satty, T. L. (1980), The Analytic Hierarchy Process, Mc. Graw-Hill. Ruoning X. , Xiaoyan Z. (1996), Fuzzy logarithmic least squares ranking method in analytic hierarchy process, Fuzzy Sets and Systems, 77, 175 -190.