Frmulas de los tringulos esfricos rectngulos Tema 3

Fórmulas de los triángulos esféricos rectángulos [Tema 3]

Triángulo esférico rectángulo

3. 1. Fórmulas obtenidas a partir de las fórmulas generales. Se considera A = 90º. * Fórmula de los cosenos de los lados Partiendo de: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos 90º cos a = cos b cos c El coseno de la hipotenusa es igual al producto de los cosenos de los catetos.

* Fórmula de los senos. Partiendo de: y sin b = sin a sin B sin c = sin a sin C “El seno de un cateto = seno de la hipotenusa X seno del ángulo opuesto”

Fórmulas de las tangentes de los catetos (I) Partimos de las fórmulas: ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A ctg a sin b = cos b cos C ctg a sin c = cos c cos B y tg b = tg a cos C tg c = tg a cos B “ La tangente de un cateto” = “tangente de hipotenusa” x “coseno ángulo comprendido entre ambos”

Fórmulas de las tangentes de los catetos (II) Partimos de las fórmulas: ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B ctg c sin b = cos b cos A + sin A ctg B ctg b sin c = ctg B ctg a sin c = ctg B y tg b = sin c tg B tg c = sin b tg C “ La tangente de un cateto” = “seno del otro” x “tangente del ángulo opuesto al primero”

Fórmulas “hipotenusa-ángulo-lado” Partimos de las fórmulas: ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A ctg a sin b = cos b cos C ctg a sin c = cos c cos B cos C = ctg a tg b cos B = ctg a tg c “El coseno de un ángulo” = “cotangente de la hipotenusa” x “tangente del lado opuesto al otro ángulo”

Fórmula “hipotenusa-los dos ángulos adyacentes” Partimos de la fórmula: cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a → → 0 = - cos B cos C + sin B sin C cos a = cos B cos C cos a = ctg B ctg C “ El coseno de la hipotenusa es igual al producto de las contangentes de los dos ángulos adyacentes”

Fórmulas “catetos-ángulo” Partimos de las fórmulas: cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c → cos B = sin C cos b cos C = sin B cos c “El coseno de un ángulo” = “seno del otro ángulo” x “coseno del lado opuesto al primero”

3. 2 Obtención de las fórmulas para los tr. Rectángulos esféricos por medio del pentágono de Neper. Primera Regla Si los tres elementos se hallan seguidos: “Cos del central” = “Cotg del izquierdo” x “Cotg del derecho”

Pentágono de Neper Segunda Regla Si uno de los elementos se halla separado de los otros dos” “Cos del separado” = “Sen de coaligado 1º” x “Sen del coaligado 2º”

Algunos ejemplos. Ejemplo 1. Relacionar a, b y c. → (segunda regla de Neper) cos a = sin(90º - b) sin(90º - c) → cos a = cos b cos c Ejemplo 2. Relacionar c, a y C. → (segunda regla de Neper) cos (90º - c) = sin a sin C → sin c = sin a sin C

Ejemplo 3. Relacionar a, b y C. → (Primera regla de Neper) cos C = ctg a ctg (90º - b) → cos C = ctg a tg b → tg b = tg a cos C Ejemplo 4. Relacionar a, B y C. → (primera regla de Neper) cos a = ctg B ctg C

3. 3. Propiedades de los triángulos esféricos rectángulos. 1) Ninguno de sus lados puede ser cuadrantal (90º). cos a = ctg B ctg C ; ctg B ≠ 0, ctg C ≠ 0 (Suponiendo no birrectángulo) 2) Lado y ángulo opuesto son de la misma especie (ambos menores o mayores que 90º) tg b = sin c tg B → Al ser sin c = (+) , tg b y tg B el mismo signo → b<90º y B<90º ó b>90º y B>90º. 3) O los tres lados son menores(*) de 90º, o sólo uno de ellos es menor de 90º. cos a = cos b cos c → (+) = (+) → a, b, c < 90º (+) = (-) → a<90º, b, c>90º (-) = (+). (-) y (-) = (-). (+) → un lado < 90º

4) Si los catetos son de la misma especie → hipotenusa aguda Si “ “ “ distinta “ → hipotenusa obtusa cos a = cos b cos c → cos a = (+) = (+) → a < 90º (aguda) cos a = (+). (-) = (-) → a > 90º (obtusa) cos a = (-). (+) = (-) → a > 90º cos a = (-) = (+) → a < 90º 5) Un cateto es menor que su ángulo opuesto si ambos son < 90º. Un cateto es mayor que su ángulo opuesto si ambos son > 90º. sin b = sin a sin B → Como sin b < 1 → sin b < sin B → b < B (primer cuadrante) b > B (segundo cuadrante)

6) La hipotenusa está comprendida entre cada uno de los catetos y sus suplementarios. sin b = sin a sin B → → sin b < sin a a y b en el cuadrante I: b < a < 180º - b a en cuadrante I y b en cuadrante II: b > a > 180º - b 7) La suma de los dos ángulos oblicuos está entre 90º y 270º. La diferencia de “ “ es menor que 90 º. Según las propiedades de los triángulos esféricos: A + B + C > 180º y 180º + A > B + C Siendo A = 90º → 90º + B + C > 180º y 180º + 90º > B + C es decir, 90º < B + C < 270º