Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di

Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte XVII: Dielettrici 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Il vettore induzione dielettrica La polarizzazione di un dielettrico e la costante dielettrica Il vettore intensità di polarizzazione e la suscettività dielettrica Cenni di struttura della materia Modello semiclassico dell’atomo La cariche di polarizzazione come media delle cariche microscopiche Polarizzabilità per deformazione e per orientamento Polarizzazione di un liquido La suscettività come un tensore Effetti: piroelettrico ed elettrocalorico, piezoelettrico ed elettrostrittivo

Il vettore induzione dielettrica Si definisce il campo di induzione dielettrica (o spostamento elettrico) nel vuoto il vettore D 0 come Apparentemente la sua utilità è solo quella di eliminare la costante e 0 dalle formule. Come vedremo, nella materia il significato del vettore induzione si differenzia concettualmente dal campo elettrico Nei fatti in presenza di isolanti o dielettrici, molti problemi potranno essere affrontati semplicemente sostituendo a e 0 , la costante dielettrica del vuoto, la costante dielettrica del mezzo e

La polarizzazione dei dielettrici Se prendiamo un condensatore di capacità C 0 e lo riempiamo con un dielettrico omogeneo notiamo che la sua capacità aumenta fino al valore C=er C 0 +s + + - -s C 0 - -s +s + + C=er. C 0 Possiamo immaginare quindi che il campo all’interno della materia diminuisce di un fattore er In alternativa possiamo pensare che sulla superficie del dielettrico siano comparse cariche di segno opposto, con densità s’ tali che le cose vanno come se ci fosse il ancora il vuoto ma la densità di carica sulle armature fosse s+ s’ s’ -s’ +s + +- + - -s +- ++++C=er. C 0

Possiamo mettere in relazione il fattore er, detto costante dielettrica relativa al vuoto, con la densità s’ Da questa espressione risulta ovvio che er deve essere maggiore di 1 Si potrebbe pensare che le cariche sulla superficie del dielettrico siano una nostra invenzione invece esse esistono realmente come si capisce dalla seguente osservazione E - +++++- + + + Se il mezzo è omogeneo Per effetto del campo elettrico, la materia, inizialmente neutra, si polarizza, cioè, pensandola divisa in tanti volumetti, le cariche negative si spostano un po’ e ciascun volumetto acquista un momento di dipolo (il mezzo è un isolante!). Questo fa sì che sulle superfici appaiano delle cariche. All’interno, se il mezzo è omogeneo, le cariche elettriche si neutralizzano.

Il vettore intensità di polarizzazione Se nella materia polarizzata appaiono dei momenti di dipolo e pensiamo la materia come un continuo possiamo definire la densità di volume di questi momenti come Dove la notazione implica che il vettore intensità di polarizzazione (o semplicemente polarizzazione) è un campo vettoriale che dipende in maniera complicata dal campo elettrostatico (funzionale). Infatti se il campo è nullo un dielettrico normale non è polarizzato (esclusi certi mezzi che possiedono una polarizzazione spontanea); se il campo non è nullo il mezzo si polarizzerà in maniera dipendente dalle caratteristiche del mezzo stesso, da temperatura, pressione, volume, etc. . Cerchiamo ora una maniera per mettere il relazione le cariche di polarizzazione con il campo P

Supponiamo di avere un dielettrico polarizzato da una distribuzione di carica macroscopica e cerchiamo il potenziale elettrostatico V’ che esso genera in un punto generico dello spazio. rmacro V’ è calcolabile come somma dei potenziali infinitesimi generati nel punto campo (x, y, z) dai singoli dipoli elementari centrati nei punti (x’, y’, z’)

Integrando sul volume del dielettrico L’integrale si può fare per parti sfruttando la seguente identità operatoriale Sostituendo Teorema della divergenza Ma un potenziale elettrostatico deve essere soluzione di una equazione di Poisson, quindi, per confronto, possiamo identificare Nulla per dielettrici omogenei

La complicazione introdotta dalla materia A causa del fatto che la materia si polarizza e compaiono le cariche di polarizzazione le equazioni di Maxwell diventano Stavolta il sistema di equazioni è insolubile, perché il termine noto dipende dall’incognita L’unica cosa che possiamo fare è rendere il problema trattabile mediante approssimazioni con il seguente trucco: sostituiamo il vettore polarizzazione al posto di r’ per ottenere Adesso definiamo il vettore induzione dielettrica nella materia la cui divergenza è solo la distribuzione di cariche macroscopiche

Il sistema di equazioni ora diventa Se adesso fossimo in grado di conoscere per altra strada il vettore polarizzazione in funzione del campo elettrico potremmo risolvere il problema. Quella parte della fisica che si occupa di capire le caratteristiche generali della complicata dipendenza dell’ effetto polarizzazione dalla causa campo, va sotto il nome di Teoria della Risposta. Se immaginiamo che la materia ed i campi si accoppiano debolmente, potremmo sperare che la dipendenza di P da E sia lineare La quantità c si chiama suscettibilità dielettrica. Sostituendo e= costante dielettrica del mezzo

La suscettività c contiene tutte le informazioni di natura microscopica sui meccanismi di polarizzazione del mezzo (che non conosciamo). Per mezzi omogenei ed isotropi essa può essere approssimata ad una costante. In generale essa potrebbe variare da punto in un dielettrico (sarebbe cioè un campo). Inoltre, non è assolutamente garantito che la polarizzazione ed il campo debbano essere paralleli (mezzi anisotropi), pertanto in generale dovrebbe essere un tensore (matrice 3 x 3) Per fortuna per molte applicazioni e molti mezzi approssimare c ad una costante funziona! È necessario tuttavia giustificare l’equazione P=e 0 c. E, il che richiede una analisi microscopica del mezzo, sia esso un gas, un liquido o un solido. Prima però vediamo cosa accade alle formule di elettrostatica fin qui studiate per dielettrici omogenei ed isotropi

Carica puntiforme in un dielettrico omogeneo Calcoliamo il campo generato da una carica Q in un punto all’interno di un dielettrico ma all’esterno di una sferetta di raggio r attorno alla carica (x, y, z) r Q q’ Sulla superficie delle sferetta vi sarà una carica di polarizzazione con densità s’. Si ha: Di conseguenza nel punto (x, y, z) le cose vanno come se ci fosse un campo coulombiano dato da

Condizioni di continuità Il caso più semplice di disomogeneità e quello di due mezzi omogenei separati da una superficie piana. Su questa superficie possono apparire delle cariche di polarizzazione rmacro er 1 er 2 Per capire come si comportano i campi nel passaggio da un mezzo ad un altro applichiamo la Legge di Gauss ad un cilindretto di base DS ed altezza h (infinitesimo di ordine superiore) cioè D: componenti perpendicolari continue E: componenti perpendicolari discontinue

Calcoliamo ora la circuitazione di E su un percorso rettangolare che includa la superficie rmacro er 1 er 2 cioè E: componenti tangenziali continue D: componenti tangenziali discontinue

Abbiamo quindi trovato che alla separazione dei mezzi il campi E e D si comportano diversamente: le componenti tangenziali di E e quelle perpendicolari di D non cambiano mentre cambiano le componenti perpendicolari di E e quelle tangenziali di D Ciò ha una semplice interpretazione geometrica: n D 1 Dn 1=Dn 2 D 2 E 1 a E 2 t Et 1=Et 2 Nel passare da un mezzo all’altro, a causa della variazione di costante dielettrica, la direzione del campo varia bruscamente di un angolo a: le linee di flusso del campo, cioè, si rifrangono

Cenni di Struttura della Materia Rutherford dimostrò nel 1911 che la materia era costituita da cariche elettriche Foglio d’oro Schermo e contatori Particelle a Essendo le particelle a cariche le deviazioni erano consistenti con la presenza di atomi costituiti da particelle positive (i nuclei) dove quasi tutta la massa è concentrata e negative (gli elettroni) molto più leggere e distribuite attorno ai nuclei Rutherford ipotizzò che l’elettrone girava attorno al nucleo come la terra ruota attorno al sole (modello planetario), e trovò il seguente soddisfacente risultato per l’atomo di idrogeno: il potenziale di ionizzazione dell’atomo di idrogeno era in perfetto accordo con dati di altri esperimenti

L’atomo di Rutherford Forza centripeta=Forza di Coulomb -e +e Energia totale Nonostante questi risultati siano in perfetto accordo con altri esperimenti non possono giustificare il fatto che l’atomo sia stabile. Infatti un risultato dell’elettromagnetismo, come vedremo verso la fine di questo corso, è che una carica il moto accelerato deve emettere radiazioni elettromagnetiche. Questo fa diminuire l’energia totale dell’elettrone che quindi deve rallentare passando su orbite via più piccole fino a cadere sul nucleo. Il tempo di stabilità del modello planetario è stimato in 10 -11 sec.

Gli spettri di emissione Consultare figure 12. 12, 12. 13 e 12. 14 del libro Consultare figure 27. 32 e 27. 28 del libro E. Amaldi, R. Bizzarri, G. Pizzella "Fisica Generale", ZANICHELLI D. C. Giancoli, “Fisica” Ambrosiana

La quantizzazione di Bohr-Sommerfeld Nel modello di Rutherford sono impliciti i risultati del cosidetto problema di Keplero: Le grandezze che si conservano (gli integrali del moto) sono l’Energia Totale ed il Momento Angolare. In accordo alle leggi di Keplero se l’Energia è negativa l’orbita è chiusa ed ellittica ed è proporzionale all’area dell’orbita. Il modulo del momento angolare è legato alla eccentricità dell’ellissi. In fisica classica tutti i valori dell’energia e del momento angolare sono permessi. Bohr (1913) ipotizzò che per gli atomi non tutti i valori negativi dell’energia e del momento angolare sono permessi, ma solo i seguenti lo sono (Sommerfeld 1915): I valori trovati così da Bohr per le energie dei livelli elettronici spiegano perfettamente gli spettri atomici dell’atomo di idrogeno. I numeri n, , m si chiamano numeri quantici e, rispettivamente, n= numero quantico principale, =numero quantico orbitale ed m= numero quantico azimuthale

La Meccanica Quantistica Ci vollero altri dieci anni ed il contributo di molti premi Nobel per la fisica per capire perché la quantizzazione di Bohr funzionasse per l’atomo di idrogeno e solo per quello. De Broglie (con la sua tesi di dottorato!) scoprì che i risultati della teoria di Bohr-Sommerfeld potevano essere spiegati con l’assunzione che all’elettrone si potesse assegnare una lunghezza d’onda ovvero un vettore d’onda legato alla sua quantità di moto pari a Fu Heisemberg a comprendere uno dei fatti fondamentali: l’impossibilità di misurare simultaneamente la posizione e la quantità di moto dell’elettrone (Principio di Indeterminazione) Se conosco esattamente la quantità di moto di un elettrone (Dp=0) allora esso può essere dovunque (Dr-> ) è cioè delocalizzato in tutto lo spazio. E viceversa. Ciò implica che non posso studiare il moto di un elettrone con le tecniche usuali della meccanica classica, visto che non potrò mai conoscere simultaneamente posizione e velocità dell’elettrone.

Inoltre il Principio di Indeterminazione si può formulare anche escludendo la possibilità di misurare simultaneamente l’energia di un elettrone ed l’istante in cui la possiede: Lo studio della fisica degli atomi deve quindi procedere mediante l’uso di nuovi concetti e grandezze fisiche: la funzione d’onda, y. Posso solo determinare la probabilità per unità di Volume (la densità di probabilità) che un elettrone si trovi in un volumetto dt. Deve essere: La funzione d’onda assume quindi il significato di ampiezza di densità probabilità Fu Schrödinger a trovare l’equazione cui la funzione d’onda doveva soddisfare: Hamiltoniano

Il gatto di Schrödinger Un elettrone si trova quindi in uno stato quantico descritto da Y. Esso però deve essere la sovrapposizione di stati possibili dell’elettrone. Un esperimento che voglia accertare lo stato dell’elettrone spingerà l’elettrone stesso in uno dei possibili stati. Schrödinger illustrò questo complicato fenomeno (basato sul Principio di Sovrapposizione) con il famoso esempio del gatto di Schrödinger Un gatto è immobilizzato in una stanza assolutamente chiusa, al buio, e con una sola porta. Alla porta, senza buco della serratura, è collegato un meccanismo che aziona una pistola perfettamente funzionante e carica. Se apriamo la porta la pistola sparerà ed ucciderà con assoluta certezza il gatto. Il gatto tuttavia potrebbe morire per altri motivi (vecchiaia). Ci si chiede: al tempo t il gatto è vivo o morto? La risposta è: c’è una probabilità P(t) che sia vivo e c’è una probabilità (1 -P(t)) che sia morto. Al passare del tempo tali probabilità evolvono. Lo stato del gatto cioè è misto. Se però effettuo la misura (apro per guardare) precipiterò il gatto in un preciso stato (la morte). In generale, non è predicibile in quale stato il sistema precipiti, ovvero, interagendo con l’apparato di misura il sistema precipita casualmente in uno degli stati permessi. Turravia la probabilità che il sistema si trovi in un preciso stato evolve in maniera non casuale ma causale, e può essere determinata mediante l’equazione di Schrödinger

Il gatto è vivo o è morto? Gatto vivo Gatto morto

Il fatto che la materia debba essere descritta mediante onde per spiegare i fenomeni atomici fu anche dimostrato sperimentalmente. Davisson e Germer (1927) provarono che un fascio di elettroni potessere diffratto proprio come un fascio di raggi X da un cristallo di Nickel Basandosi sullo stesso principio oggi si costruiscono i microscopi elettronici che dall’analisi della figura di diffrazione degli elettroni consentono di visualizzare la struttura atomica dei materiali. Ipotizzando una dipendenza dal tempo del tipo exp(-i. Et/ ) l’equazione di Schrödinger diventa Questa equazione (l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo), una equazione detta agli autovalori, che ha soluzione cioè solo per alcuni valori del parametro E (En)(autovalore) cui corrispondono precise funzioni (autofunzioni) yn m, nel caso in cui V sia il potenziale generato da un nucleo di idrogeno, dà gli stessi risultati di Bohr

La distribuzione di carica per l’atomo di idrogeno Visto che il modulo quadro della funzione d’onda è la densità di volume di probabilità di trovare l’elettrone, possiamo definire la densità di carica elettronica come:

Lo Spin e il Principio di Pauli Nel 1933, Stern e Gerlach dimostrarono che l’elettrone possiede un momento angolare proprio detto spin, perché un fascio di elettroni che si propaga in un campo magnetico viene diviso in due fasci. Il momento angolare di spin può assumere solo i valori semi-interi Il principio di esclusione di Pauli dice che non è possibile arrangiare più di due elettroni con spin opposto in ogni stato quantico. Ciò consente di costruitre la struttura elettronica degli atomi (Aufbau) e tutta la Tabella Periodica Siccome gli autovalori En dipendono solo dal numero quantico principale n, ogni valore permesso per i numeri quantici ed m è degenere in energia, il numero di elettroni per arrangiabili per l’autovalore n è

Il Legame Chimico e la Colla Elettronica Uno dei più grandi risultati della Fisica della Materia Condensata di questo secolo è la scoperta del ruolo degli elettroni nello stabilire le proprietà di coesione (e non solo) della materia La Chimica descrive bene il concetto di legame chimico mediante il concetto di valenza. L’osservazione fondamentale è che la configurazione di Ottetto Completo è energeticamente la più stabile in natura, visto che i gas nobili non reagiscono con nessun atomo. È quindi naturale aspettarsi che due atomi, se sufficientemente vicini, si leghino e che la distribuzione di carica elettronica cerchi di assomigliare a quella del gas nobile più vicino. Questa circostanza spiega molto bene perché si formino legami covalenti e ionici: mettere gli elettroni in compartecipazione tutti o in parte può ridurre l’energia libera del sistema cosicché la configurazione elettronica di più atomi si arrangia in modo d assomigliare il più possibile a quella del gas nobile Tuttavia i metalli formano legami senza formare l’ottetto completo, il legame metallico mentre altre molecole possono formarsi grazie alle particolari proprietà dell’idrogeno (legame idrogeno) o possono attrarsi con deboli forze (forze di Van der Waals). In sostanza la materia si forma allo stato condensato grazie al fatto che gli elettroni si distribuiscono attorno ai nuclei in modo da minimizzare l’energia del sistema di cariche. Questo è il concetto di colla elettronica.

La struttura elettronica dei solidi L’interazione fra molti nuclei ed elettroni fa sì che i livelli energetici dei sistemi a molti corpi siano molto diversi da quelli degli atomi isolati. Per esempio il potenziale sentito da un elettrone non è il potenziale coulombiano del singolo nucleo (posto che lo si possa ritenere puntiforme) ma la somma dei potenziali di tutti i nuclei e la repulsione dovuta a tutti gli altri elettroni. Ciò fa sì che i livelli energetici degli elettroni più esterni (quelli più vicini al nucleo, gli elettroni di core, sono abbastanza simili a quelli atomici) possano differire di pochissimo. Le energie di questi elettroni esterni, gli elettroni di valenza, cadranno quindi in intervalli estesi, le bande di energia. Livello di vuoto (zero) E Egap Banda di Conduzione (vuota a T=0) Lavoro di estrazione Banda di Valenza Isolante Stati non occupati EF Banda di Valenza Conduttore

Quindi per un isolante a T=0 tutti gli elettroni sono impegnati a formare il legame chimico e non sono quindi disponibili alla conduzione elettrica. Ciò è vero sia per il legame covalente che per quello ionico. Rompere un legame chimico equivale a cedere ad un elettrone l’energia sufficiente a portarlo nella banda di conduzione (energia di gap) 4+ 4+ 4+ + - + 4+ 4+ 4+ - 4+ 4+ 4+ + - + Semiconduttore (Si, Ge): Egap~0. 5 e. V Isolante (Na. Cl, Cs. Cl): Egap~10 e. V A temperatura ambiente un semiconduttore presenta una debole conduzione termica Perché k. BT è dell’ordine dell’energia di gap

Struttura Elettronica del Germanio

La distribuzione di Fermi-Dirac A causa del Principio di Pauli la probabilità che uno stato quantico di energia E sia occupato è legata al fatto che non è possibile arrangiare più di due elettroni per ogni stato. Pertanto allo zero assoluto solo gli stati la cui energia è inferiore all’energia dell’ultimo elettrone aggiungibile (per atomo), EF possono essere occupati. Tale proprietà è descritta bene, ed è anche deducibile da principi primi, dalla funzione di distribuzione di Fermi-Dirac

Struttura Elettronica del Rame Superficie di Fermi

Modello semiclassico per l’atomo (isolanti) Molte delle proprietà fisiche degli isolanti possono essere comprese, qualitativamente, senza far ricorso alla meccanica quantistica. Per esempio possiamo pensare alla distribuzione di carica elettronica attorno al nucleo (puntiforme) come se fosse sferica (sempre) e costante, r 0 Calcoliamo il campo generato a 0 dalla distribuzione elettronica in un punto che dista x dal centro x di simmetria +Ze Abbiamo già calcolato tale campo (vedi Elettrostatica nel vuoto, distribuzione sferica): Di conseguenza se il nucleo dovesse spostarsi dalla sua posizione di equilibrio la carica elettronica reagirebbe per riportarlo indietro con una forza di richiamo pari a In questo modello l’elettrone ed il nucleo sono legati da una forza elastica

Le cariche di polarizzazione come media delle cariche microscopiche Per fortuna, per lo studio dei fenomeni elettromagnetici macroscopici, non è quasi mai necessario considerare la distribuzione di cariche microscopiche (elettroniche e nucleari). Ciò perché i tempi caratteristici dei moti elettronici (10 -16 sec)sono molto più veloci dei tempi macroscopici >0. 001 sec), ed anche le scale delle distanze atomiche (10 -10 m) sono molto più piccole delle scale dei fenomeni macroscopici che vogliamo studiare (>10 -8 m). Quest’ultima differenza potrebbe sembrare piccola. Tuttavia si può stimare che in un volumetto di 10 -8 m possiamo arrangiare almeno un milione di atomi. Infatti il volume occupato da un atomo è dell’ordine di 10 -30 m 3, quindi in un volume di (10 -8 m)3= 10 -24 m 3, Ci stanno ben 106 atomi È quindi lecito aspettarsi che le proprietà di tali volumetti possano derivare dalle medie su un numero di atomi grande abbastanza perché tali medie siano significative Questo consente, pertanto, di considerare tali medie ed assumere che su scale di queste dimensioni, piccolissime per la scala macroscopica ma grandissime su scala atomica, tali medie (densità di carica) varino in maniera continua, mentre le funzioni atomiche sarebbero velocemente oscillanti se non addirittura discontinue. Il succo di tutto questo discorso è quindi che l’uso di queste medie ci consente di procedere con le tecniche del calcolo infinitesimale, a dispetto della natura discreta della materia

La polarizzazione per deformazione Abbiamo visto come possiamo pensare elettrone e nucleo legati da una molla di costante elastica k. Se immergiamo l’atomo in un campo elettrico esterno E, il nucleo sarà respinto e gli elettroni attratti. All’equilibrio la forza esterna, Ze. E, sarà equilibrata dalla forza di richiamo E + - È facile realizzare che quindi l’atomo acquisirà un momento di dipolo p pari a La quantità ad si chiama polarizzabilità (per deformazione). Se abbiamo un gas la cui densità di atomi è n dovrà essere L’aver supposto elettrone e nucleo legati da una forza elastica (sviluppo in serie troncato al primo ordine) ha portato ad una relazione lineare fra polarizzazione (effetto) e campo (causa)

La polarizzazione per orientamento Per alcune molecole, come l’acqua e l’ammoniaca, la distribuzione di carica elettronica è fortemente sbilanciata e la struttura geometrica è tale che tali molecole presentano un elevato momento di dipolo elettrico spontaneamente (in assenza di campo esterno) --- + + + H+ O- p 0 Ciò però non vuol dire che un recipiente di vapore acqueo possegga una polarizzazione spontanea perché, a causa dell’agitazione termica tali momenti possono essere diretti in tutte le direzioni, e il momento di dipolo medio può benissimo essere nullo Se i momenti sono orientati lungo tutte le direzioni

In presenza di un campo esterno, però, i dipoli tenderanno ad orientarsi nella direzione del campo E qi Ogni dipolo guadagnerà una energia Ma non tutti i dipoli si orienteranno nella direzione del campo, sempre a causa della agitazione termica. Poiché ad ogni grado di libertà rotazionale compete una energia cinetica media dell’ordine di k. BT, l’equilibrio in questo sistema dovrà dipendere dal rapporto fra queste due energie Ma ogni dipolo acquisterà una componente non nulla nella direzione del campo, quindi il sistema acquisterà un momento di dipolo medio dato da (se i moduli dei dipoli sono tutti uguali)

La media <cosq> si può calcolare mediante la teoria cinetica. Pensando ad ogni dipolo come un rotatore classico, la probabilità che nel sistema un dipolo formi un angolo q col campo sarà data dalla distribuzione di Boltzmann Il valor medio del coseno si può quindi valutare come un integrale su tutte le direzioni opportunamente normalizzato Con la sostituzione u=cosq, e notando che l’integrale a numeratore vale L’integrale a numeratore può essere eseguito facilmente per parti

Si ottiene quindi Dove con L(a) si indica la funzione di Langevin, qui graficata Gli asintoti corrispondono a tutti i dipoli allineati o antiallineati. La pendenza della tangente nell’origine è a/3 I valori di a negativi non sono rilevanti per l’Elettrostatica ma lo saranno per la Magnetostatica

Visto che la funzione di Langevin non è una retta sembrerebbe che la risposta di un sistema di dipoli elettrici non sia lineare. Tuttavia in un caso pratico a temperatura ambiente calcoliamoci un tipico valore del parametro a: Pertanto, nei casi pratici siamo quasi sempre vicino all’origine quindi possiamo confondere La funzione di Langevin con la sua tangente nell’origine. Si ha Con ottima approssimazione possiamo quindi dire che la risposta di un sistema di molecole che possiedono un momento elettrico proprio è lineare

Polarizzazione di un liquido La grande complicazione della materia sta nel fatto che vi sono molti atomi/molecole sufficientemente vicini da non poter trascurare le interazioni microscopiche fra essi/e La densità dei gas studiati finora era così piccola che potevano immaginare gli atomi come isolati. Ciò non è più possibile per un liquido o un solido. La prima conseguenza di ciò sta nel fatto che il campo E* sentito da una molecola è il risultante di tanti contributi: il campo esterno E, il campo dovuto ai dipoli di tutte le altre molecole polarizzate, E’, ed il campo dovuto alle cariche di polarizzazione sulle superfici, E’’. Tale risultante, il campo locale, può essere estremamente difficile da calcolare. Tuttavia per un liquido che è un sistema omogeneo ed isotropo vi sono semplificazioni x + Consideriamo una goccia di liquido sferica + in un campo E: le molecole all’interno + si polarizzeranno e sulla superficie + vi saranno delle cariche di polarizzazione z E + y + - + +

Cominciamo con l’osservare che il campo dovuto a tutte le altre molecole, E’’, deve annullarsi per l’omogeneità e l’isotropia dello stato liquido. Ciò vuol dire che presa una qualunque molecola non nell’origine ce ne deve essere un’altra in posizione diametralmente opposta. È intuitivo che i due campi generati nell’origine tenderanno ad annullarsi. Possiamo calcolare questo campo facendo la media del campo di un dipolo su una sfera di raggio r Come previsto il risultato è nullo. Notiamo che, visto che il campo è orientato come l’asse z le componenti x ed y dovevano essere comunque nulle (simmetria assiale)

Per quanto riguarda il campo delle cariche di polarizzazione x E’, si può calcolare considerando che per ogni elementino di superficie d. S vi sarà una carica infinitesima - + Bisogna calcolare le componenti di E’ separatamente E y + d. S + q z + + - + + Come previsto le componenti trasversali sono nulle e molto interessantemente il risultato non dipende dal raggio della goccia

Possiamo adesso calcolare il dipolo totale della molecola nell’origine e la polarizzazione Finalmente possiamo ricavare la polarizzazione e la suscettività del liquido (rinormalizzazione) Interessantemente per una stessa specie atomica la suscettività allo stato liquido risulta maggiore di quella allo stato solido (denominatore < 1). Inoltre nel limite di piccole densità si ritrova il risultato del gas (comportamento asintotico che accresce confidenza nel risultato) Si noti come l’aver scritto per il campo locale sia una buona approssimazione. L’effettivo valore della costante N può dipendere dallo stato termodinamico del sistema (e. g. solido)

La suscettività come tensore Sinora abbiamo considerato le molecole come sferette. Vi sono in natura molecole di forma molto strana, per le quali la simmetria è per lo meno assiale invece che sferica. Pertanto è evidente che la risposta di una molecola possa essere influenzata da tale simmetria E E

Dall’esempio presentato appare evidente come la polarizzazione di una molecola dipenda dall’angolo fra il campo e l’asse di simmetria della molecola. Pertanto la polarizzabilità sarà diversa a seconda dell’orientamento della molecola. In formule Da questa espressione si capisce come il momento di dipolo molecolare avrà una direzione diversa da quella del campo elettrico. Lo stesso dovrà valere per il vettore polarizzazione. In generale: Nel caso più generale quindi la suscettività è un campo tensoriale, e, per mezzi lineari, la formula più generale della relazione costitutiva è del tipo

Effetto piroelettrico ed elettrocalorico Alcuni materiali cristallizzano in reticoli di bassa simmetria. Ciò implica che siano caratterizzati da alta anisotropia (esistenza di direzioni privilegiate). Una conseguenza di ciò è che il baricentro delle cariche positive non coincide con quello delle cariche negative. Il seguente esempio unidimensionale può chiarire questa situazione: + + - - - + + - - La conseguenza di ciò è che il cristallo avrà una polarizzazione spontanea e quindi presenterà delle cariche di polarizzazione sulle superfici. Tuttavia in aria queste saranno neutralizzate dagli ioni presenti e non vi sarà nessuna differenza di potenziale fra le superfici opposte. Tuttavia riscaldandolo il materiale si dilaterà (di solito lungo l’asse privilegiato) e questo farà aumentare la polarizzazione. In queste condizioni comparirà una differenza di potenziale ai capi del materiale stesso (Effetto Piroelettrico). La tormalina è un materiale che presenta questa proprietà. Si verifica anche l’effetto complementare (Effetto Elettrocalorico): sotto l’azione di un campo elettrico esterno cambierà la temperatura del materiale

Piezoelettricità ed Elettrostrizione Materiali come il quarzo o il titanato di Bario (Ba. Ti. O 3) godono di proprietà molto simili. Comprimendo il materiale i baricentri delle cariche positive e negative si spostano dando luogo ad una polarizzazione, comparsa di cariche di polarizzazione sulle superfici e differenze di potenziale piuttosto elevate. Questo è l’effetto piezoelettrico che viene sfruttato negli accendigas o nel trapano del dentista. Scintilla Punta Anche per questo esiste l’effetto complementare: l’ elettrostrizione. Un sistema di tal genere sottoposto ad un campo elettrico si deforma. E

Tali fenomeni sono regolati dal fatto che la risposta del sistema dipende da due possibili Cause, cioè polarizzazione e deformazione dipendono entrambe sia dal campo elettrico che dallo sforzo. Si ha I coefficienti G e G’ sono uguali a meno di fattori che dipendono dalle unità di misura, (relazioni di Onsager)