1 Principe Fondamental de la Dynamique PFD 1

1 - Principe Fondamental de la Dynamique PFD 1. 1 - Enoncé général Si on isole un système S alors : La somme des actions extérieures est égale aux quantités d’accélération de ce système S dans un repère galiléen. Exemple de repère galiléen : Le repère terrestre. 1. 2 - Traduction mathématique du PFD Si les actions extérieures appliquées sur le système S sont modélisées par un torseur { T (Ext/S)}, et les quantités d’accélération sont modélisées par le torseur dynamique { D (S/Rg)}. On a alors : { T (Ext/S)} = { D (S/Rg)} Pour appliquer le PFD il faut donc exprimer les torseurs dynamique et des actions extérieures 1. 3 - Remarque Le principe fondamental de la statique, est un cas particulier du principe fondamental de la dynamique pour lequel le torseur dynamique est nul. P. F. S. ó{ D (S/Rg)} = {0}

2 - Cas du mouvement de translation rectiligne 2. 1 - Expression du torseur dynamique pour un mouvement de translation Soit un solide S: - De centre d’inertie G et de masse m. - En mouvement de translation quelconque. - De vecteur accélération de G appartenant à S dans le repère Rg : GG ÎS/Rg Alors les quantités d’accélération sont modélisées par le torseur dynamique { D (S/R )} dont les ¾¾¾¾¾® g éléments de réduction en G sont: ¾¾¾¾¾® Résultante : m. GG ÎS/Rg Soit : ¾¾® Moment en G : 0 ìïm. GG ÎS/Rg üï ý { D (S/Rg)} = í ï ïþ 0 Gî ¾¾® Unités : Résultante : kg. m. s-2 = N N. m = kg. m 2. s-2 Moment : ¾¾¾¾¾® Remarque 1 : Le moment dynamique d. G (S/Rg) est nul en G mais pas en un point M quelconque. ¾¾¾¾¾® On a alors : ¾¾¾¾¾® d. M (S/Rg) = d. G (S/Rg) + MG Ù m. GG ÎS/Rg

2 - Cas du mouvement de translation rectiligne 2. 1 - Expression du torseur dynamique pour un mouvement de translation Soit un solide S: - De centre d’inertie G et de masse m. - En mouvement de translation quelconque. - De vecteur accélération de G appartenant à S dans le repère Rg : GG ÎS/Rg Alors les quantités d’accélération sont modélisées par le torseur dynamique { D (S/R )} dont les ¾¾¾¾¾® g éléments de réduction en G sont: ¾¾¾¾¾® Résultante : m. GG ÎS/Rg Soit : ¾¾® Moment en G : 0 Remarque 2 : Il existe ìïm. GG ÎS/Rg üï ý { D (S/Rg)} = í ï ïþ 0 Gî ¾¾® deux cas particuliers : ¾¾¾¾¾® Cas 1 : Le mouvement de translation rectiligne est uniforme : Pour ces deux cas : GG ÎS/Rg = 0 m=0 Cas 2 : On néglige l’inertie du système : ¾¾¾¾¾® ¾¾® m. GG ÎS/Rg = 0 Donc : appliquer le PFD revient à appliquer le PFS.

2 - Cas du mouvement de translation rectiligne 2. 2 - Calcul de l’accélération en translation rectiligne 2. 2. 1 - Définition de l’accélération Soit un système S: - De centre d’inertie G et de masse m. ¾¾¾¾¾® - De vecteur vitesse de G appartenant à S dans le repère Rg : VG ÎS/Rg ¾¾¾¾¾® - De vecteur accélération de G appartenant à S dans le repère Rg : GG ÎS/Rg ¾¾¾¾¾® Par définition : GG ÎS/Rg = æd ç ç è ¾¾¾¾¾® VG ÎS/Rg ö÷ ÷ dt ø Rg ¾¾¾¾¾® Donc si : VG ÎS/Rg x y Alors : z Rg · ¾¾¾¾¾® GG ÎS/Rg x· y· z Rg

2 - Cas du mouvement de translation rectiligne 2. 2 - Calcul de l’accélération en translation rectiligne 2. 2. 2 - Cas d’un mouvement de translation rectiligne Soit un système S: GG ÎS/Rg - De centre d’inertie G et de masse m. D par - En translation rectiligne de direction rapport au repère Rg (Décélération) - De vecteur vitesse de G appartenant à S par rapport au repère Rg : VG ÎS/Rg - De vecteur accélération de G appartenant à S par rapport au repère Rg : GG ÎS/Rg ¾¾¾¾¾® VG ÎS/Rg ¾¾¾¾¾® Alors le vecteur accélération du centre d’inertie à les caractéristiques suivante: ¾¾¾¾¾® Direction : ¾¾¾¾¾® GG ÎS/Rg // VG ÎS/Rg // D ¾¾¾¾¾® Sens : Identique à VG ÎS/Rg si S est en accélération ¾¾¾¾¾® Opposé à VG ÎS/Rg si S est en décélération ¾¾¾¾¾® d ||VG ÎS/Rg || || GG ÎS/Rg|| = dt ¾¾¾¾¾® Module : (Accélération)

2 - Cas du mouvement de translation rectiligne 2. 3 - Théorème de la résultante dynamique en translation Soit un système S: - De centre d’inertie G et de masse m. ¾¾¾¾¾® - De vecteur accélération de G appartenant à S dans le repère Rg : GG ÎS/Rg ¾¾® ¾¾¾¾¾® S Fext/S = m. GG ÎS/Rg Où : ¾¾® S Fext/S est la somme des résultantes (forces) des actions extérieures appliquées sur le système S. Remarque : Appliquer ce théo rème est plus simple que le théorème général, mais pour un problème plan, il fournit une équation de moins. Il permet donc de déterminer une inconnue de moins.

3 - Cas du mouvement de rotation autour d’un axe D 3. 1 - Expression du torseur dynamique Soit un système S en rotation autour d’un axe D parallèle à l’axe Z du repère galiléen Alors l’expression du torseur dynamique est la suivante : ìXD LD ü { D (S/Rg)} = íYD MD ý î þ O ZD JD. q ·· JD est le moment d’inertie du système S par rapport à l’axe D. ·· q est l’accélération angulaire du système S autour de l’axe D. O est un point de l’axe D Remarque : Si le système est équilibré par rapport à l’axe D alors : XD , YD , ZD , LD et MD sont nuls. Où :

3 - Cas du mouvement de rotation autour d’un axe D 3. 2 - Théorème du moment dynamique Soit un système S en rotation autour d’un axe D parallèle à l’axe Z du repère galiléen. Alors: ·· S MD(Ext/S) = JD. q Où : - S MD(Ext/S) est la somme des moments par rapport à D des actions extérieures. ·· q - est l’accélération angulaire de S autour de D - JD est le moment d’inertie du système S par rapport à l’axe D Remarque : Ce théorème est suffisant pour résoudre tous les problèmes traités en terminale STI. Unités : Accélération angulaire q : N. m = kg. m 2. s-2 rad. s-2 Moment d’inertie du système S par rapport à l’axe D : kg. m 2 Moments des actions extérieures : S MD(Ext/S) : ··

3 - Cas du mouvement de rotation autour d’un axe D 3. 3 - Définition du moment d’ inerte d’un système S par rapport à l’axe D 3. 1 - Définition Le moment d’inertie JD d’un système S par rapport à l’axe D est le 2 réel défini comme la somme de tous les réels d. J= r. dm où dm est la masse d’une partie infinitésimale (extrêmement petite) du système S distante de r de l’axe D. JD = ó õS 2 r. dm r dm ( D) 3. 2 - Moment d’inertie d’une masse ponctuelle Soit un solide S dont les dimensions sont petites par rapport à la distance entre son centre de gravité et l’axe D. Alors son moment d’inertie par rapport à l’axe D peut s’écrire r JD = r 2. m D G m

3 - Cas du mouvement de rotation autour d’un axe D 3. 3 - Définition du moment d’ inerte d’un système S par rapport à l’axe D 3. 3 - Moments d’inertie de quelques solides homogènes Parallélépipède b m = r. a. b. h m. ( a 2 + b 2 ) JD = 12 Cylindre plein m = r. p. r. h 2 m. r 2 JD = 2 a Cylindre creux r (D) h 4 m = r. . p. r 3 3 r (D) 4. m. r 2 JD = 10 (D) h Sphère m = r. p. ( R - r ). h 2 2 m. ( R 2 + r 2 ) JD = 2 R h (D) r

3 - Cas du mouvement de rotation autour d’un axe D 3. 3 - Définition du moment d’ inerte d’un système S par rapport à l’axe D 3. 4 - théorème de Huygens Soit un solide S : - de masse m - de centre de gravité G appartenant à l’axe. D - De moment d’inertie JD par rapport à l’axe D Soit un axe D’ parallèle à l’axe D et distant de celui-ci d’une distance d. Alors le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe. D’ peut se calculer par : JD’ = JD + m. d 2 d (D) G (D )