Wykad 28 12 Twierdzenie o wiriale 13 Wasnoci

Wykład 28 12 Twierdzenie o wiriale 13 Własności sprężyste materii 20 -01 -2009 Reinhard Kulessa 1

12. Twierdzenie o wiriale Pamiętamy, że wprowadzając w wykładzie 14 moment pędu spotkaliśmy się z następującymi równaniami II zasada dynamiki Newtona II z. d. N pomnożona wektorowo przez r z lewej Pokazanie, że 20 -01 -2009 Reinhard Kulessa 2

Rozważmy ruch cząstki o masie m pod wpływem siły F. W układzie inercjalnym równanie ruchu tej cząstki wynosi; . Pomnóżmy to równanie obustronnie skalarnie przez wektor r. Otrzymamy wtedy, . (12. 1) Analogicznie do sytuacji na poprzedniej stronie, możemy ostatnie równanie napisać jako: . 20 -01 -2009 Reinhard Kulessa (12. 2) 3

Ze względu na to, że , (12. 3) Otrzymujemy z równań (12. 2) i (12. 1), wyrażenie . (12. 4) Zastanówmy się jak wygląda powyższe wyrażenie, jeśli uśrednimy go po czasie. Załóżmy dodatkowo, że cząstka porusza się w ograniczonym obszarze przestrzeni z ograniczoną prędkością. Oznacza to, że zarówno r jak i v są skończone. Oznacza to, że również iloczyn rv jest skończony. Dla wartości średniej otrzymujemy: . (12. 5) 20 -01 -2009 Reinhard Kulessa 4

Ze wzoru (12. 4) otrzymujemy: . (12. 6) Wyrażenie nazywamy wiriałem . Wyrażenie (12. 6) nazywamy twierdzeniem o wiriale. Jako przykład rozważmy siłę centralną działającą na cząstkę A. Siła centralna jest siłą zachowawczą , więc zachodzi następujący związek, (12. 7) . Wobec tego zachodzi również związek, . 20 -01 -2009 Reinhard Kulessa (12. 8) 5

Jeśli energia potencjalna odpowiadająca sile F ma postać, (12. 8) . to Twierdzenie o wiriale przyjmie więc następującą postać, . , Ponieważ . mamy, że 20 -01 -2009 Reinhard Kulessa (12. 8) 6

12 Własności sprężyste materii Zwiększenie objętości -sprężyste Fn l Działając w jednym kierunku stałym naprężeniem powodujemy zwiększenie objętości ciała. Obowiązuje tutaj prawo Hooke’a (12. 1) l Inaczej możemy napisać: S , Fn 20 -01 -2009 Gdzie oznacza naprężenie, E modułem sprężystości, a względnym wydłużeniem. Reinhard Kulessa 7

Zwężenie poprzeczne jest proporcjonalne do względnego wydłużenia. Zwężenie poprzeczne d/2 . (12. 2) Fn l Oznacza względną zmianę grubości. l d Fn Współczynnik proporcjonalności jest zwany współczynnikiem sprężystości poprzecznej, a jego odwrotność liczbą Poissona . . Względna zmiana objętości da się wyrazić następująco: 20 -01 -2009 Reinhard Kulessa 8

Współczynnik ściśliwości Jeśli na ciało działa izotropowe ciśnienie wtedy zmiana objętości ciała wynosi, Fz Fy Fx S Fz . (12. 3) Fy W oparciu o podane tutaj zależności możemy otrzymać wyrażenie; , (12. 4) gdzie K jest modułem ściśliwości. Odwrotność modułu ściśliwości Nazywamy współczynnikiem ściśliwości (kappa) 20 -01 -2009 Reinhard Kulessa 9

Współczynnik ścinania Ft Jeżeli na ciało działają siły równoległe do powierzchni, następuje ścinanie, którego miarą jest kąt . Powoduje to zmianę kształtu ciała. Pomiędzy napięciem A kątem ścinania zachodzi zgodnie z prawem Hooke’a zależność, Ft , (12. 4) gdzie G jest modułem ścinania. Pomiędzy modułem sprężystości E, współczynnikiem sprężystości poprzecznej a modułem ścinania zachodzi zależność: . 20 -01 -2009 Reinhard Kulessa 10