Obwody elektryczne 2017 Kontakt Dr in Marek Ossowski
Obwody elektryczne 2017
Kontakt: • • Dr inż. Marek Ossowski marek. ossowski@p. lodz. pl Zakład Ukaładów i Sysytemów Nieliniowych Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Al. Politechniki 11 pok. 14 Ip (C 3) Tel. (42) 6312515 Tel 501673231 tylko w sprawach niezwykle ważnych!!!! OE 1 2015 2
Program wykładów • • Obwody elektryczne -wstęp Prawa Kirchhoffa Twierdzenie Tellegena Elementy obwodów • Oporniki liniowe – Łączenie oporników – Rezystywność i konduktywność • Oporniki nieliniowe – Charakterystyki wypadkowe połączeń • Źródła niezależne idealne i rzeczywiste • Źródła sterowane OE 1 2015 3
Program wykładów (cd) • • • Obliczanie prostych obwodów DC Obwody równoważne Metoda praw Kirchhoffa Zasada superozycji Twierdzenie Thevenina-Nortona Metoda potencjałów węzłowych Zasada wzajemności Twierdzenie o kompensacji Podstawy analizy obwodów AC OE 1 2015 4
Literatura • Teoria Obwodów cz. I – M. Tadeusiewicz • Teoria Obwodów. Zadania – praca zbiorowa po redakcją M. Tadeusiewicza OE 1 2015 5
Zaliczenie przedmiotu • Obecność na wszystkich zajęciach • Zaliczenie egzaminu pisemnego • Forma: – Krótkie pytania (możliwość testu) – Pytania problemowe – Proste zadania obliczeniowe OE 1 2015 6
POJĘCIA PODSTAWOWE • Urządzenie elektryczne = obiekt fizyczny taki jak tranzystor, wzmacniacz operacyjny • Obwód elektryczny połączone przewodami urządzenia elektryczne • Urządzenia elektryczne reprezentowane są przez modele składające się z podstawowych elementów obwodów (oporników, źródeł, kondensatorów, cewek) • Modele przybliżony opis fizycznych urządzeń • To samo urządzenie może mieć różne modele OE 1 2015 7
Kierunki odniesienia: • Rozpatrywane są napięcia między węzłami i prądy płynące w gałęziach łączących węzły. • Zwyczajowo przyjmuje się za dodatni kierunek przepływu ładunków dodatnich (napięcie od + do -) • Ze względu na możliwe zmiany w czasie kierunku ruchu ładunków trudno określić aktualny kierunek prądu i zwrot napięcia przyjmuje się pewne kierunki odniesienia, które wraz z wartością (za znakiem) są jednoznaczną informacją o prądzie i napięciu OE 1 2015 8
Kierunki odniesienia (interpretacja) OE 1 2015 9
OBWÓD PRZYKŁADOWY OE 1 2015 10
POJĘCIA PODSTAWOWE (cd) • WĘZEŁ miejsce połączenia końcówek elementów oznaczane na schematach kropką. • GAŁĄŹ odcinek obwodu między węzłami (zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z przewodami) • ŚCIEŻKA ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w węźle końcowym • PĘTLA zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w tym samym węźle początkowym (inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu) • omin topologie OE 1 2015 11
Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego, dowolnej zmienności napięć, w dowolnej chwili : • algebraiczna suma napięć gałęziowych wzdłuż dowolnej pętli wynosi zero Liczba gałęzi i-tej pętli OE 1 2015 12
OBWÓD PRZYKŁADOWY OE 1 2015 13
Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK) - uogólnienie • Dla dowolnego obwodu elektrycznego, dowolnej zmienności napięć, w dowolnej chwili : • algebraiczna suma napięć międzywęzłowych wzdłuż dowolnego zamkniętego ciągu węzłów wynosi zero OE 1 2015 14
u 1 1 u 2 3 2 u 6 6 u 25 u 4 5 Sekwencja (ciąg) węzłów 1 -2 -5 -6 NPK: -u 1 -u 25+u 6 u 3 4
Prądowe Prawo Kirchhoffa (PPK) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego, dowolnej zmienności prądów, w dowolnej chwili • algebraiczna suma prądów w dowolnym węźle wynosi zero Liczba gałęzi zbiegających się w itym węźle OE 1 2015 16
OBWÓD PRZYKŁADOWY OE 1 2015 17
Prądowe Prawo Kirchhoffa (ogólniej) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów przenikających dowolną gaussowską powierzchnię zamkniętą wynosi zero. Liczba gałęzi przecinających powierzchnię zamkniętą Si OE 1 2015 18
PRZYKŁAD: OE 1 2015 19
Zasady pisania równań Kirchhoffa • Dla obwodu o n węzłach i b gałęziach można napisać: q n-1 liniowo niezależnych równań z PPK (dla n-1 dowolnie wybranych węzłów) q b-n+1 liniowo niezależnych równań z NPK (dla b-n+1 odpowiednio wybranych pętli) q Ogólna liczba liniowo niezależnych równań jakie można napisać dla obwodu o n węzłach i b gałęziach wynosi: OE 1 2015 20
Elementy obwodów • Oporniki – liniowe – nieliniowe • Źródła niezależne – napięciowe – prądowe • Źródła sterowane (zależne) OE 1 2015 21
Uwaga: Wartości chwilowe wielkości obwodowych, np. prądów i napięć (funkcje czasu) oznaczamy zawsze małymi literami np. u(t), i(t), p(t), w(t) OE 1 2015 22
Jednostki Stosujemy jednostki podstawowe układu SI: Jednostka napięcia Jednostka natężenia prądu: Jednostka oporu (rezystancji): Jednostka mocy: Jednostka energii: OE 1 2015 23
Będziemy rozważać elementy SLS: • skupione (S) • liniowe (L) • stacjonarne (S) OE 1 2015 24
Moc i energia i u Moc chwilowa Energia Związek między mocą i energią: OE 1 2015 25
Opornik liniowy • Równania • Symbole • Jednostki • Charakterystyka prądowo-napięciowa OE 1 2015 26
Opornik liniowy • Obliczanie rezystancji Długość przewodu konduktywność przewodność pole powierzchni poprzecznej przewodu rezystywność oporność właściwa OE 1 2015 27
Rezystywność i konduktywność przewodników Materiał Rezstywność m mm 2/m Konduktywność S/m m/( mm 2) SREBRO 1. 62 10 -8 0. 0162 62. 5 106 62. 5 MIEDŹ 1. 75 10 -8 0. 0175 57 106 57 ALUMINIUM 2. 83 10 -8 0. 0283 35. 3 106 35. 3 12 10 -8 0. 12 8. 33 106 8. 33 11. 1 10 -8 0. 111 9 106 9 MANGANIN 44 10 -8 0. 44 2. 3 106 2. 3 KONSTANTAN 48 10 -8 0. 48 2. 1 106 2. 1 1. 1 0. 91 106 0. 91 0. 63 15. 9 106 15. 9 CYNA PLATYNA CHROMONIKIELINA 110 10 -8 CYNK 6. 3 10 -8 OE 1 2015 28
Parametry rezystorów • Rezystancja znamionowa wskaźnik wartości rezystancji. Podawana z największym dopuszczalnym odchyleniem rezystancji rzeczywistej od rezystancji znamionowej. (Dopuszczalne odchyłki zawarte w przedziale 0, 1 – 20 %) • Moc znamionowa największa dopuszczalna moc możliwa do wydzielenia w rezystorze. Moc ta jest zależna od powierzchni rezystora, sposobu odprowadzenia ciepła, maksymalnej dopuszczalnej temperatury pracy i temperatury otoczenia. • Napięcie znamionowe największe dopuszczalnym napięciem, które może być przyłożone do rezystora bez zmiany jego właściwości (bez jego uszkodzenia). Typowe wartości znamionowe: od kilkudziesięciu do kilkuset woltów. OE 1 2015 29
Rodzaje rezystorów OE 1 2015 30
Rezystory (cd) • Drutowe: z przewodu cylindrycznego lub taśmowego nawiniętego na korpusie ceramicznym • Warstwowe: elementem oporowym jest cienka warstwa przewodząca (węglowa lub metalowa) nałożona na nieprzewodzącą część konstrukcyjną • Objętościowe (masowe): przewodzą prąd całym przekrojem. OE 1 2015 31
Przykład: 4 K 7 4700 (węglowy) Pasek 1, pole # Pasek 2, pole # • • PASEK 1: żółty 4. . . 4 PASEK 2: fiolet 7. . . . 7 PASEK 3: czerwony 2. . . . 00 PASEK 4: złoty 5%(tol. ) 4700 Pasek 3, mnożnik (ile zer? ) Pasek 4, tolerancja w % OE 1 2015 32
Przykład kodu wartości n n 1 -szy pasek: pomarańczowy = 3 2 -gi pasek: pomarańczowy = 3 3 -i pasek: czerwony = 2 ( 102) 4 -ty pasek: czerwony = 2% 33 x 102 = 3300 = 3. 3 k OE 1 2015 33
Oporniki nieliniowe: rezystancja statyczna Proporcjonalna do tangensa nachylenia siecznej w danym punkcie OE 1 2015 34
Oporniki nieliniowe: rezystancja dynamiczna Proporcjonalna do tangensa nachylenia stycznej w danym punkcie OE 1 2015 35
Oporniki nieliniowe uzależnione napięciowo i prądowo • Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i (- ; + ) nazywamy uzależnionym prądowo. • Opornik, dla którego i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u (- ; + ) nazywamy uzależnionym napięciowo. termistor Dioda tunelowa OE 1 2015 36
Oporniki nieliniowe nieuzależnione • Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i (- ; + ) oraz dla i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u (- ; + ) nazywamy nieuzależnionym. Żarówka z włóknem wolframowym OE 1 2015 37
Charakterystyki elementów nieliniowych: OE 1 2015 38
Cewka i indukcyjność gdy L u Strumień magnetyczny przenikający przez uzwojenie jest proporcjonalny do prądu charakterystyka strumieniowo-prądowa cewki liniowej jest linią prostą przechodzącą przez OE 1 2015 początek układu współrzędnych. i 39
L - indukcyjność cewki Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie „strumień skojarzony” z uzwojeniem: OE 1 2015 40
Kondensator i C pojemność u gdy Ładunek elektryczny na okładkach kondensatora jest proporcjonalny do napięcia q charakterystyka napięciowo-ładunkowa kondensatora liniowego jest linią prostą przechodzącą przez u OE 1 2015 41
C - pojemność kondensatora OE 1 2015 42
Elementy pasywne i aktywne obwodów Element pasywny pobiera energię Element aktywny dostarcza ją do obwodu pasywny aktywny OE 1 2015 43
Źródła napięciowe • Źródłem napięciowym jest dwukońcówkowy element posiadający na swoich zaciskach zadane napięcie uz(t) niezależne od wartości prądu płynącego przez źródło. • Symbole: OE 1 2015 44
Źródła napięciowe (idealne): charakterystyki OE 1 2015 45
Rzeczywiste źródło napięciowe Symbole: OE 1 2015 46
Stany pracy źródła napięciowego obciążenie Obciążenie: OE 1 2015 47
Charakterystyka napięciowo-prądowa źródła napięciowego (rzeczywistego) Stan jałowy Stan zwarcia OE 1 2015 48
Stany pracy źródła napięciowego (cd) Stan jałowy(rozwarcie) Zwarcie OE 1 2015 49
Dopasowanie odbiornika do źródła Prąd w obwodzie: Moc odbiornika: OE 1 2015 50
Dopasowanie odbiornika do źródła (cd) Warunek dopasowania odbiornika do źródła OE 1 2015 51
Przykładowy wykres mocy odbiornika: OE 1 2015 52
Sprawność ukladu odbiornik źródło 0. 5 dopasowanie OE 1 2015 53
Źródła prądowe • Źródłem prądowym jest dwukońcówkowy element przez którego zaciski płynie zadany prąd iz(t) niezależnie od wartości napięcia panującego na jego zaciskach. • Symbole: • oznaczenia DC: OE 1 2015 54
Źródła prądowe (idealne): charakterystyki OE 1 2015 55
Rzeczywiste źródło prądu (model praktyczny) i OE 1 2015 56
Rzeczywiste źródło prądu (stan zwarcia) OE 1 2015 57
Rzeczywiste źródło prądu (obciążenie) i obciążenie OE 1 2015 58
Charakterystyka u-i źródła prądowego Stan zwarcia Stan jałowy OE 1 2015 59
Źródła zależne (sterowane) • Źródło napięcia sterowane prądem Prąd sterujący Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE 1 2015 60
Źródła zależne (sterowane) • Źródło napięcia sterowane napięciem napięcie sterujące Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE 1 2015 61
Źródła zależne (sterowane) • Źródło prądu sterowane prądem Prąd sterujący Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE 1 2015 62
Źródła zależne (sterowane) • Źródło prądu sterowane napięciem napięcie sterujące Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE 1 2015 63
Wzmacniacz operacyjny OE 1 2015 64
Wzmacniacz operacyjny OE 1 2015 65
OE 1 2015 66
OE 1 2015 67
Przykład 1 OE 1 2015 68
Układy równoważne (definicja) OE 1 2015 69
• Układy P i Q nazywamy równoważnymi, jeżeli ich opis matematyczny jest taki sam. Opis obwodu P Opis obwodu Q OE 1 2015 70
Przykład 1 OE 1 2015 71
Zamiana GWIAZDA-TRÓJKĄT 1 i 1 R 2 R 3 u 1 3 i 2 2 u 2 1 j 1 R 12 j 2 2 R 31 R 23 V 1 V 2 3
1 i 1 R 2 i 2 2 i 1+i 2 R 1 R 3 u 1 u 2 3 Są to równania (*)
1 j 1 R 12 R 31 V 1 3 j 2 R 23 V 2 2 Są to równania (**)
Z definicji równoważności układów wynika równość odpowiednich współczynników w równaniach (*) i (**). Wynikają stąd wzory: Gdy R 1=R 2=R 3 =RY RΔ =3 RY
Gdy R 12=R 23=R 34 =RΔ RY =1/3 RΔ
Przykład: i 1 u i 2 i 3 R 1 R 2 R 3 A Dane: u. AC R 4 C i 4 R 6 R 5 B Celem jest obliczenie prądu w jednej z gałęzi trójkąta, np. prądu i 4 Aby obliczyć ten prąd musimy znaleźć u. AC Po zamianie Δ Y nie możemy zgubić punktów AC
R 1 i 1 u A R 4 R 2 i 2 R 3 i 3 C R 6 R 5 R 46 R 65 B R 54 Obwód ma teraz postać: i 1 R 1 A R 46 i 2 u. AC R 2 C R 54 i 3 R 3 B R 65 O
i 1 u i 2 i 3 0
Twierdzenie Tellegena OE 1 2015 80
OE 1 2015 81
STOSUJEMY DO KAŻDEGO SKŁADNIKA SUMY POGRUPUJEMY SKŁADNIKI ZAWIERAJĄCE K-TE POTENCJAŁY OE 1 2015 82
Liczba gałęzi w k-tym węźle PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE W SUMIE DLA K-TEGO WĘZŁA WYPŁYWAJĄ Z NIEGO, NA PODSTAWIE PPK: CZYLI: OE 1 2015 83
WNIOSEK 1 SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU. WNIOSEK 2 NAPIĘCIA uk ORAZ PRĄDY ik NIE MUSZĄ DOTYCZYĆ TEGO SAMEGO OBWODU, A JEDYNIE OBWODÓW O TEJ SAMEJ TOPOLOGII, tzn. POSIADAJĄCYCH TEN SAM GRAF. OE 1 2015 84
WNIOSEK 1 Ilustracja twierdzenia Tellegena 1 1 1 2 2 3 OE 1 2015 3 85
WNIOSEK 2 Ilustracja twierdzenia Tellegena 1 1 1 2 2 3 OE 1 2015 3 86
Zasada superpozycji Odpowiedź układu liniowego na sumę wymuszeń działających jednocześnie jest równa algebraicznej sumie odpowiedzi układu na poszczególne wymuszenia działające osobno. Zasada ta stanowi, że odpowiedź obwodu liniowego (tzn. prąd, napięcie) na wszystkie niezależne źródła działające jednocześnie w obwodzie, jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne źródła działające osobno (tzn. przyrównaniu pozostałych do zera). OE 1 2015 87
Usunięcie źródła prądowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej czyli rozwarciu jego zacisków: OE 1 2015 88
Usunięcie źródła napięciowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej 0 czyli zwarciu jego zacisków: OE 1 2015 89
Przykład 1 (ogólny) OE 1 2015 90
i = i’ + i” OE 1 2015 91
OE 1 2015 92
Thev OE 1 2015 93
Obliczanie prostych obwodów • Połączenie szeregowe oporników liniowych • Połączenie szeregowe elementów nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) • Połączenie równoległe oporników liniowych. • Połączenie równoległe oporników nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) • Dzielnik prądu • Dzielnik napięcia; układy z potencjometrem • Układanie i rozwiązywanie równań napisanych na podstawie PPK i NPK OE 1 2015 94
Połączenie szeregowe oporników liniowych OE 1 2015 95
Połączenie szeregowe oporników nieliniowych • Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia szeregowego tych elementów. OE 1 2015 96
Charakterystyki u-i oporników 5 1 -4 3 -1 OE 1 2015 97
Dodawanie napięć (punkt i=-1) 5 -5 Dla i=-1 -4 1 3 -1 OE 1 2015 98
Dodawanie napięć (punkt i=1 oraz i=2) 5 2 1 3 -1 OE 1 2015 99
Charakterystyka wypadkowa 5 2 1 3 -1 3 OE 1 2015 100
Podsumowanie • Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych szeregowo należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości prądu dodać wartości napięć elementów składowych. • W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE 1 2015 101
Połączenie równoległe oporników liniowych OE 1 2015 102
Połączenie równoległe oporników nieliniowych • Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia równoległego tych elementów. OE 1 2015 103
Połączenie równoległe oporników nieliniowych: OE 1 2015 104
Podsumowanie • Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych równolegle należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości napięcia dodać wartości prądów elementów składowych. • W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE 1 2015 105
Dzielnik prądu • Wyznaczyć prądy połączonych równolegle oporników jeśli znamy ich wartości oraz prąd dopływający do połączenia: OE 1 2015 106
Dzielnik napięcia OE 1 2015 107
Potencjometr 1 1 3 R 2 2 OE 1 2015 108
1 3 R 2 OE 1 2015 109
OE 1 2015 110
Rozwiązywanie układów rozgałęzionych: algorytm pisania równań PPK i NPK Liczba węzłów: n=5 Liczba gałęzi: b=8 Niewiadome: OE 1 2015 111
Jak ułożyć komplet równań liniowo niezależnych ? • Ustalamy zmienne obwodowe: prądy gałęziowe (elementów rezystancyjnych i źródeł napięciowych) oraz napięcia idealnych źródeł prądowych • Piszemy równania PPK dla n-1 spośród n węzłów obwodu • Piszemy równania NPK dla b-n+1 pętli obwodu: – Piszemy równanie dla dowolnej (pierwszej) pętli – Piszemy równania dla kolejnych (nowych) pętli w taki sposób aby nowa pętla zawierała co najmniej jedną zmienną dotychczas niewykorzystaną – Powtarzamy ten etap tak aby liczba równań wynosiła maksymalnie b-n+1 – UWAGA: można napisać b-n+1 równań liniowo niezależnych dla oczek (pętli nie zawierających żadnych gałęzi OE 1 2015 wewnętrznych) 112
n-1 (4) równań na podstawie PPK: 1 2 4 3 OE 1 2015 113
Równania napięciowe, pierwsza pętla: 1 OE 1 2015 114
Równania napięciowe, druga pętla: Nowe gałęzie: 3, 5 2 OE 1 2015 115
Równania napięciowe, pętla trzecia: Nowe gałęzie: 6, 8 3 OE 1 2015 116
Równania napięciowe, pętla czwarta i ostatnia: Nowa gałąź: 7 4 OE 1 2015 117
Przykład prostego obwodu z rozwiązaniem • Oblicz prądy gałęziowe w układzie z powyższego rysunku. Przyjmując, że opornik R 2 jest jedynym odbiornikiem, wyznacz sprawność układu. Potwierdź słuszność twierdzenia Tellegena. OE 1 2015 118
1 2 3 OE 1 2015 119
+ + OE 1 2015 120
OE 1 2015 121
Weryfikacja Twierdzenia Tellegena OE 1 2015 122
Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu
Obwód z wyodrębnioną k-tą gałęzią OE 1 2015 124
OE 1 2015 125
• Jeśli e = uk u. AC = 0 • Gałąź obwodu, na której występuje napięcie uk można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym e = uk OE 1 2015 126
Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik: OE 1 2015 127
• Jeśli j = ik ik-j+j j • Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu j = ik OE 1 2015 128
Włączanie i przenoszenie źródeł Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł
Jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w dowolnym węźle umieścimy źródła napięcia o tym samym napięciu źródłowym i takiej orientacji względem węzła to rozpływ prądów w układzie nie ulegnie zmianie. NPK nie ulega zmianie!!! OE 1 2015 130
Jeżeli w dowolnej pętli obwodu, równolegle do każdej gałęzi, włączymy między kolejne węzły źródła prądu o jednakowym zwrocie względem obiegu pętli i jednakowych wartościach to rozkład napięć w układzie nie ulegnie zmianie. OE 1 2015 131
Przenoszenie źródeł (1) OE 1 2015 132
Przenoszenie źródeł (2) OE 1 2015 133
OE 1 2015 134
Twierdzenie o kompensacji
Rozpatrujemy obwód liniowy: OE 1 2015 136
OE 1 2015 137
Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu gałęzi źródłem napięciowym: OE 1 2015 138
Z SUPERPOZYCJI OE 1 2015 139
PONIEWAŻ OE 1 2015 140
Twierdzenie Thevenina-Nortona
L M OE 1 2015 142
OE 1 2015 143
Wyznaczanie parametrów i. Z, GZ Niech u=0, wówczas i=-i. Z OE 1 2015 144
Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło u, (tzn. ek=0 dla k=1. . . L, oraz jk=0 dla k=1. . . M) OE 1 2015 145
OE 1 2015 146
L M OE 1 2015 147
OE 1 2015 148
Wyznaczanie parametrów u. Z, RZ Niech i=0, OE 1 2015 wówczas u=u. Z 149
Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło i, (tzn. ek=0 dla k=1. . . L, oraz jk=0 dla k=1. . . M) OE 1 2015 150
Pomiarowe wyznaczanie parametrów źródeł zastępczych Jeśli można pomierzyć napięcie u. AB na zaciskach A-B oraz prąd zwarcia i. Z=i. AB płynący między zwartymi zaciskami A-B badanego układu to: OE 1 2015 151
OE 1 2015 152
Podsumowanie : zastępczy dwójnik Nortona • Kady liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego równoległego połączenia idealnego źródła prądu i. Z i opornika RZ (GZ). • Prąd zastępczego źródła jest równy prądowi jaki popłynie między zwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu • Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A, B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE 1 2015 153
Podsumowanie : zastępczy dwójnik Thevenina • Każdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia u. Z i opornika RZ (GZ). • Napięcie zastępczego źródła jest równe napięciu u. AB jakie panuje między rozwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu • Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A, B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE 1 2015 154
Metoda potencjałów węzłowych
Przykład 1 v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 156
Równania prądowe v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 157
Zależności gałęziowe v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 158
Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 1 OE 1 2015 159
Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 2 OE 1 2015 160
Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 3 OE 1 2015 161
Końcowy układ równań v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 162
Przykład 2 v 1 v 3 OE 1 2015 163
Przykład 2 Równania OE 1 2015 164
Przykład 2 równania końcowe spr. v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 165
Przykład 2 Równania uproszczone OE 1 2015 166
Przykład 3 v 2 v 1 v 3 OE 1 2015 167
Przykład 3 Równania OE 1 2015 168
Przykład 3 Równania pododaniu 1 i 3 + OE 1 2015 169
Opis algorytmu 1. Wybieramy (dowolnie) jeden z a węzłów jako węzeł odniesienia NIEWIADOME: Potencjały (a-1) węzłów niezależnych oraz prądy wszystkich idealnych źródeł napięciowych. 2. Układamy dla (a-1) węzłów (oprócz węzła odniesienia!) równania na podstawie PPK. 3. Prądy w gałęziach zawierających oporniki oraz napięcia sterujące i prądy sterujące (z gałęzi konduktancyjnych) uzależniamy od napięć węzłowych. Wstawiamy je do równań PPK z p. 2 4. Komplet równań uzupełniamy poprzez uzależnienie od napięć węzłowych napięć źródeł niezależnych i sterowanych napięciowych OE 1 2015 170
OE 1 2015 171
OE 1 2015 172
Przykład 4 u 3 4 1 3 2 5 OE 1 2015 173
Zasada wzajemności
OE 1 2015 175
TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWE OE 1 2015 176
Twierdzenie o wzajemności węzłowe OE 1 2015 177
Twierdzenie o wzajemności hybrydowe OE 1 2015 178
OE 1 2015 179
Dowód DLA KAŻDEJ k-tej GAŁĘZI ZACHODZI: ZACHODZI Czyli: Skąd: OE 1 2015 180
Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności oczkowego 0 OE 1 2015 0 181
Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności węzłowego 0 OE 1 2015 0 182
Twierdzenie o wzajemności hybrydowe - dowód 0 OE 1 2015 0 183
- Slides: 183