VERJETNOST IN STATISTIKA POVPRENA VREDNOST IN RAZPRENOST NEKATERIH

VERJETNOST IN STATISTIKA POVPREČNA VREDNOST IN RAZPRŠENOST NEKATERIH POMEMBNIH PORAZDELITEV E(X)=n. p D(X)=n. p. q E(X)=a D(X)=a MATEMATIKA 2 1

VERJETNOST IN STATISTIKA POVPREČNA VREDNOST IN RAZPRŠENOST E(X)=a =0 (liha funkcija) =1 =0 =1 D(X)= 2 (X)= MATEMATIKA 2 2

VERJETNOST IN STATISTIKA porazdelitev POVPREČNA VREDNOST IN RAZPRŠENOST zaloga gostota E(X) D(X) diskretne enakomerna binomska b(n, p) geometrijska Poissonova P(a) zvezne enakomerna eksponentna normalna N(a, ) MATEMATIKA 2 3

VERJETNOST IN STATISTIKA SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovanec vržemo trikrat. Z X označimo število grbov pri prvem metu (0 ali 1), z Y pa skupno število grbov (0, 1, 2 ali 3). Kako sta spremenljivki X in Y odvisni druga od druge? Vpeljemo skupno porazdelitev dveh slučajnih spremenljivk pi, j=p(xi, yj)=P(X=xi, Y=yj) Možni izidi so {ggg, ggc, gcg, cgg, gcc, cgc, ccg, ccc}, zato dobimo Vsota tabele po vrsticah je porazdelitev spremenljivke X, vsota po stolpcih pa je porazdelitev spremenljivke Y. Diskretna porazdelitev (X, Y) z gostoto p(xi, yj) Zvezna porazdelitev (X, Y) z gostoto p(x, y) (X, Y) zvezno porazdeljena MATEMATIKA 2 4

VERJETNOST IN STATISTIKA SKUPNE PORAZDELITVE FUNKCIJE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Posebej: MATEMATIKA 2 5

VERJETNOST IN STATISTIKA SKUPNE PORAZDELITVE NEODVISNOST SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Slučajni spremenljivki X in Y sta neodvisni, če sta dogodka P(X ≤ x) in P(Y ≤ y) neodvisna za vse pare x, y. Ekvivalentno: P(X ≤ x, Y ≤ y)=P(X ≤ x). P(Y ≤ y) ali F(x, y)=FX(x). FY(y) p(x, y)=p. X(x). p. Y(y) ali za poljubna x, y. Naj bo X porazdeljena po N(0, 1) in naj bo Y=X 2 MATEMATIKA 2 6

VERJETNOST IN STATISTIKA SKUPNE PORAZDELITVE KOVARIANCA X, Y sta nekorelirana, če je K(X, Y)=0 X, Y neodvisna ⇒ X, Y nekorelirana ⇔ D(X+Y)=D(X)+D(Y) X in Y sta korelirana (in torej tudi odvisna) MATEMATIKA 2 7

VERJETNOST IN STATISTIKA MATEMATIKA 2 SKUPNE PORAZDELITVE 8

VERJETNOST IN STATISTIKA ZAKONI VELIKIH ŠTEVIL Igralec zadane v povprečju 70% metov na koš. Kaj je bolj verjetno: da bo v 10 metih zadel 10 -krat ali da bo v 100 metih zadel več kot 80 -krat? Prva možnost je trikrat (!) bolj verjetna. Zakaj je tako? Zakon velikih števil: z večanjem števila poskusov se zmanjšuje verjetnost odklona od povprečja. POMEN STANDARDNEGA ODKLONA Naj bo X slučajna spremenljivka z gostoto p(x), povprečjem m=E(X) in odklonom = (X). ocena Čebiševa P(|X-E(X)| ≥ 2 ) ≤ 0. 25 ocena velja za poljubno porazdelitev za primerjavo: pri normalni porazdelitvi je P(|X-E(X)| ≥ 2 ) ≤ 0. 05 MATEMATIKA 2 9

VERJETNOST IN STATISTIKA ZAKONI VELIKIH ŠTEVIL Pri n neodvisnih ponovitev nekega poskusa lahko izide gledamo kot zaporedje neodvisnih in enako porazdeljenih slučajnih spremenljivk X 1, X 2, . . . Xn. povprečje izidov Porazdelitev spremenljivke Sn je zapletena. n-krat vržemo kocko, Xk je število pik pri k-tem metu n-krat vržemo žogo na koš, Xk je število pik zadetkov (0 ali 1) pri k-tem metu pri metu kocke ima Sn 5 n+1 izidov, z različnimi verjetnostmi pri metu na koš je Sn relativna frekvenca zadetkov, porazdelitev je binomska Privzemimo, da so X 1, X 2, . . . Xn nekorelirane in enako porazdeljene (kot spremenljivka X). E(Sn)=E(X) Z naraščanjem števila poskusov pada razpršenost povprečja izidov proti 0. MATEMATIKA 2 10

VERJETNOST IN STATISTIKA ZAKONI VELIKIH ŠTEVIL Kaj se zgodi s porazdelitvijo vsote X 1+X 2+. . . +Xn , ko gre n �� ? Xk neodvisne, zvezno enakomerno porazdeljene na intervalu [0, 1] porazdelitev za X 1+X 2+. . . +Xn : MATEMATIKA 2 Xk neodvisne, zvezno eksponentno porazdeljene z gostoto p(x)=e - x (x ≥ 0) porazdelitev za X 1+X 2+. . . +Xn : 11

VERJETNOST IN STATISTIKA ZAKONI VELIKIH ŠTEVIL Porazdelitve X 1+X 2+. . . +Xn zavzamejo zvonasto obliko, vendar jih težko primerjamo ker se ‘premikajo’. Rešitev: vsoto standardiziramo. X 1, X 2, X 3, . . . neodvisne, enako porazdeljene slučajne spremenljivke s povprečjem a in standardnim odklonom � ; Centralni limitni izrek: standardizirana porazdelitev vsote konvergira proti standardni normalni porazdelitvi Neko količino merimo z metodo, ki ima standarno napako (tj. standardni odklon od merjene vrednosti) enako . Opravimo 20 neodvisnih meritev in vzamemo njihovo povprečje. Kolikšna je verjetnost, da se to povprečje razlikuje od merjene količine za več kot /2? Posamezne meritve gledamo kot slučajne spremenljivke: X 1, X 2, . . . , X 20 Po zakonu velikih števil lahko privzamemo E(Xi)=m (merjena količina), obenem je (Xi)= Ocena, ki jo dobimo iz centralnega limitnega izreka je veliko natančnejša. MATEMATIKA 2 12