abc MATEMATIKA 2 VERJETNOST IN STATISTIKA VERJETNOST IN

abc� � MATEMATIKA 2 VERJETNOST IN STATISTIKA

VERJETNOST IN STATISTIKA OSNOVNI POJMI OSNOVE TEORIJE VERJETNOSTI V tednu je sedem dni. Kolikšna je verjetnost, da bo jutri petek? Verjetnost, da sta na letalu dve bombi je neprimerno manjša kot verjetnost, da je na letalu ena bomba. Za koliko se zmanjša verjetnost, da je na letalu bomba, če eno bombo prinesemo s seboj? Polovici razreda se pouk zaključi ob dvanajstih, polovici pa ob dveh. Torej se jim pouk v povprečju zaključi ob sedmih ( (12+2)/2=7 ). Kolikšna je verjetnost, da pri 100 metih kovanca dobimo 50 cifer? drugega? 1, 0. 5 ali kaj Statistično je dokazano, da večja, ko je teža mladostnika, višja je njegova stopnja izobrazbe. Torej čim več jejte! MATEMATIKA 2 2

VERJETNOST IN STATISTIKA OSNOVNI POJMI Teorija verjetnosti obravnava situacije, ki jim pravimo poskusi in pri katerih je izid odvisen od naključja. Prostor izidov je množica vseh izidov nekega poskusa. Med vožnjo na faks pelje študent mimo treh semaforjev. Pri vsakem se bodisi ustavi (R) ali pa pelje brez ustavljanja (Z). Prostor izidov je { ZZZ , ZZR , ZRZ , RZZ , ZRR , RZR , RRZ , RRR }. Uvrstitev tekmovalca na kolesarski dirki ‘Franja’ je izid pri poskusu - tekmi - in za prostor izidov vzamemo množico {1, 2, . . . , N}, kjer je N število udeležencev. Ker se število udeležencev iz leta v leto spreminja, je bolj smiselno vzeti za prostor izidov množico vseh naravnih števil {1, 2, 3, . . . }. Letna količina padavin v nekem kraju je zelo odvisna od naključja. Če jo gledamo kot izid poskusa je prostor izidov množica vseh pozitivnih realnih števil {t | t 0}. Podmnožicam prostora izidov pravimo dogodki. Dogodek, da se študent ustavi pri drugem semaforju je {ZRZ, ZRR, RRZ, RRR}. Dogodek, da se kolesar uvrsti med prvih deset je {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Interval [500, 1200] ustreza dogodku, da pade med 500 in 1000 milimetrov dežja. MATEMATIKA 2 3

VERJETNOST IN STATISTIKA OSNOVNI POJMI Na dogodkih izvajamo iste operacije kot na množicah (unija, presek, komplement. . . ), le da jih drugače imenujemo. SLOVAR element izid ZZZ, ZZR, ZRZ, RZZ, ZRR, RZR, RRZ, RRR množica dogodek A je dogodek, da se študent ustavi na prvem, B pa, da se ustavi na drugem semaforju: A={RZZ, RZR, RRZ, RRR}, B={ZRZ, ZRR, RRZ, RRR} unija vsota A+B je dogodek, da se študent ustavi na prvem, ali na drugem semaforju ali pa na obeh: A+B={RZZ, RZR, ZRZ, ZRR, RRZ, RRR} presek produkt AB je dogodek, da se študent ustavi na prvem in na drugem semaforju: AB={RRZ, RRR} komplement nasprotni dogodek A je dogodek, da se študent ne ustavi na prvem semaforju A ={ZRZ, ZZR, ZZZ, ZRR}. prazna množica nemogoč dogodek N=∅ cela množica gotov dogodek G={ZZZ, ZZR, ZRZ, RZZ, ZRR, RZR, RRZ, RRR} tuji množici nezdružljiva dogodka sta nezdružljiva, če je njun produkt nemogoč dogodek: npr. , da se študent hkrati ustavi in ne ustavi na prvem semaforju. MATEMATIKA 2 4

VERJETNOST IN STATISTIKA OSNOVNI POJMI Verjetnost je funkcija, ki vsakemu dogodku A priredi število P(A) [0, 1] tako, da velja: Verjetnost gotovega dogodka je 1. Verjetnost vsote nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti njunih verjetnosti Računska pravila: A A G AB B A MATEMATIKA 2 5

VERJETNOST IN STATISTIKA DEFINICIJE VERJETNOSTI Klasična definicija verjetnosti Če ima poskus končno število enako verjetnih izidov, potem je Statistična definicija verjetnosti Frekvenca dogodka A pri n ponovitvah poskusa je P(A) je limita frekvenc dogodka A pri velikem številu ponovitev poskusa. Naj bo pri metu kocke A dogodek, da pade sodo število pik. Po klasični definicija: P(A)=½, ker je A={2, 4, 6} v množici izidov {1, 2, 3, 4, 5, 6}, za katere privzamemo, da so enako verjetni. Statistična definicija: P(A) je frekvenca metov s sodim številom pik pri velikem številu metov kocke. klasično Po 1000 metih kovanca dobimo 700 grbov statistično pri 1001. metu sta oba izida enako verjetna pri 1001. metu je bolj verjetno, da pade grb Za uporabo je odločilna verjetnost, ‘izmerjena’ po statistični definiciji. Klasična definicija je lahko kvečjemu dober približek. MATEMATIKA 2 6

VERJETNOST IN STATISTIKA DEFINICIJE VERJETNOSTI Včasih izidov ne moremo prešteti, lahko pa jih predstavimo geometrično. V tem primeru je klasična definicija verjetnosti P(A) opredeljena kot razmerje med velikostjo (dolžino, ploščino, prostornino. . . ) množice A in velikostjo množice vseh izidov. Kovanec s premerom 2 cm vržemo na tla pokrita s ploščicami s stranico 10 cm. Kolikšna je verjetnost dogodka A, da kovanec ne pade na stik dveh ploščic? P(A)=82/102=0. 64=64% Tudi pri tem pristopu se klasična in statistična definicija razlikujeta: Kolikšna je verjetnost, da se bo voznik ustavil pri nekem semaforju? Klasično: če je r čas trajanja rdeče luči na semaforju, z pa čas trajanja zelene luči, potem je verjetnost, da se voznik ustavi enaka r/(r+z). Statistično: verjetnost je razmerje med številom ustavljanj in številom vseh voženj pri dovolj velikemu številu voženj. MATEMATIKA 2 7

VERJETNOST IN STATISTIKA POGOJNA VERJETNOST Voznik se vsak dan vozi po isti poti in se jezi, da na nekem semaforju skoraj vsakič pripelje na rdečo luč. Sčasoma ugotovi, da v povprečju le enkrat na vsakih pet voženj pripelje na zeleno. Ali lahko sklepa, da je rdeči interval štirikrat daljši od zelenega? Po opazovanju semaforja ugotovi, da sta rdeča in zelena prižgani enako dolgo časa. Kako je potem mogoče, da vedno pripelje na rdečo? Izkaže se, da na svoji poti pelj mimo dveh semaforjev. Na prvega pripelje povsem naključno, mimo pa gre le pri zeleni luči. Semaforja sta pa tako (ne)vsklajena, da se v času, ko pripelje do drugega ravno prižge rdeča luč. Izid na drugem semaforju je pogojen z izidom na prvem semaforju. MATEMATIKA 2 8

VERJETNOST IN STATISTIKA POGOJNA VERJETNOST A, B dogodka ( P(B)≠ 0 ) Pogojna verjetnost dogodka A pri pogoju B je delež dogodka A med poskusi, pri katerih se zgodi dogodek B. Pri kontroli kakovosti v tovarni 30% izdelkov ocenijo kot prvovrstne, 50% kot drugovrstne, ostale pa kot neuporabne. V trgovino seveda pošljejo le uporabne izdelke. Kolikšna je verjetnost, da je naključno izbrani izdelek v trgovini prvovrsten? A: izdelek je prvovrsten U: izdelek je uporaben Zanima nas P(A|U). P(AU)=P(A)=30 % P(U)=80 % P(A|U)=30/80=0. 375=37. 5 % S pomočjo pogojne verjetnosti izrazimo verjetnost, da se dva dogodka zgodita hkrati: Iz vrečke, v kateri so 3 rdeče in 2 beli kroglici, zaporedoma brez gledanja izvlečemo dve kroglici. Kolikšna je verjetnost, da sta obe rdeči? A: prvič izvlečemo rdečo kroglico B: drugič izvlečemo rdečo kroglico MATEMATIKA 2 9

VERJETNOST IN STATISTIKA POGOJNA VERJETNOST S pomočjo pogojne verjetnosti lahko izračunamo verjetnost dogodka, ki je rezultat dvo- ali večstopenjskega poskusa: Iz škatle s petimi rdečimi in tremi belimi kroglicami na slepo prenesemo dve kroglici v škatlo, v kateri so tri rdeče in tri bele kroglice. Nato iz druge škatle izvlečemo eno kroglico. Kolikšna je ? ? verjetnost, da je rdeča? možnosti na 1. koraku prenesemo dve beli kroglici prenesemo dve rdeči kroglici možnosti na 2. koraku izvlečemo belo kroglico izvlečemo rdečo kroglico prenesemo eno rdečo in eno belo kroglico MATEMATIKA 2 10

VERJETNOST IN STATISTIKA POGOJNA VERJETNOST V splošnem najprej določimo vse možnosti na prvem koraku: H 1, H 2, . . . , Hn in njihove verjetnosti P(H 1), P(H 2), . . . , P(Hn). Nato določimo pogojne verjetnosti, da se dogodek A zgodi pri vsaki od teh možnosti P(A|H 1), P(A|H 2), . . . , P(A|Hn). formula o popolni verjetnosti Včasih nas zanima, po kateri poti je prišlo do opaženega izida: P(Hi|A)=P(AHi )/P(A)= P(A|Hi ). P(Hi )/P(A) Bayesova formula MATEMATIKA 2 11

VERJETNOST IN STATISTIKA NEODVISNI DOGODKI ODVISNOST IN NEODVISNOST DOGODKOV A je neodvisen od B, če je P(A|B)=P(A) A in B sta neodvisna P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A). P(B) Iz škatle, v kateri imamo 7 polnih in 3 prazne baterije naključno vzamemo dve. Naj bo A dogodek, da je prva baterija polna, B pa dogodek, da je druga baterija polna. Ali sta dogodka A in B neodvisna? Zgled razkrije razliko med izbiranjem vzorca z vračanjem in izbiranjem brez vračanja. MATEMATIKA 2 12

VERJETNOST IN STATISTIKA POGOJNA VERJETNOST V skupini je n oseb. Kolikšna je verjetnost, da imata dve rojstni dan na isti dan? Lažje obravnavamo nasprotni dogodek, da so vsi rojstni dnevi različni. 23 oseb ⇒ P(A)>50% 32 oseb ⇒ P(A)>75% 47 oseb ⇒ P(A)>95% MATEMATIKA 2 13

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Če vržemo dve kocki, dobimo za vsoto pik število med 2 in 12, vendar te vsote ne moremo vnaprej napovedati, saj je odvisna od naključja. Podobno velja za število šestic v dveh metih. Primeri količin odvisnih od naključja: • število potnikov mestnega avtobusa, ki izstopijo na postaji • število metov potrebnih, da igralec z določene razdalje zadane koš • število bonbonov v vrečki • življenjska doba žarnice • teža hlebca kruha …… Slučajna spremenljivka je funkcija, katere vrednosti so odvisne od naključja. Določata jo: § zaloga vrednosti = nabor vrednosti, ki jih lahko zavzame, in § porazdelitev MATEMATIKA 2 = verjetnost, da zavzame eno ali več vrednosti iz zaloge 14

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Pri metu dveh kock je možnih 36 različnih in enako verjetnih izidov. Če z V označimo vsoto pik, dobimo slučajno spremenljivko z vrednostmi 2, …, 12 in porazdelitvijo: MATEMATIKA 2 15

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Slučajna spremenljivka X je diskretna, če zavzame končno ali največ števno mnogo vrednosti x 1, x 2, x 3, . . . Njena porazdelitev je povsem določena s funkcijo p. X( xi )=P ( X=xi ). Običajno naštejemo le neničelne vrednosti: p(x 1), p(x 2), p(x 3), . . . Velja: Primeri diskretnih porazdelitev enakomerna porazdelitev • X zavzame vrednosti x 1, x 2, . . . , xn • p. X (x)=1/n, če je x∈{x 1, x 2, . . . xn} p. X (x)=0, sicer Število pik pri metu kocke je enakomerno porazdeljeno: zaloga vrednosti je {1, 2, 3, 4, 5, 6}, vse vrednosti imajo verjetnost 1/6. MATEMATIKA 2 16

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Ø binomska porazdelitev Poskus ponovimo n-krat: naj bo vsakič verjetnost uspeha enaka p (in verjetnost neuspeha 1 -p). (npr. žogo vržemo 10 -krat na koš; zadanemo z verjetnostjo 70%) Slučajna spremenljivka B naj bo število uspešnih poskusov. Kako je porazdeljena? (tj. kolikšna je verjetnost, da bomo imeli k zadetkov? ) • Zaloga vrednosti spremenljivke B je {0, 1, 2, . . . , n} • Privzamemo, da so izidi poskusov medsebojno neodvisni. Obstaja različnih zaporedij k uspešnih in (n-k) neuspešnih poskusov; verjetnost vsakega zaporedja je pk(1 -p)n-k. npr. verjetnost, da koš zadanemo natanko 6 -krat je MATEMATIKA 2 17

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE binomska porazdelitev b(n, p) Porazdelitev spremenljivke B za n=10 in p=0. 7: b(10, 0. 7) b(20, 0. 4) MATEMATIKA 2 b(100, 0. 65) 18

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Lastnosti binomske porazdelitve b(n, p): § značilna zvonasta oblika grafa § maksimum pri n. p (približno) § za velike n so vse verjetnosti zelo majhne ali celo zanemarljive • tedaj je bolj smiselno verjetnosti opazovati kumulativno: P(B ≤ k) ali intervalsko: P(j ≤ B ≤ k) Žogo vržemo na koš 100 -krat, pri čemer je verjetnost zadetka 70%. Kolikšna je verjetnost, da bomo zadeli več kot 65 -krat? Kaj je bolj verjetno: da bomo v 10 metih zadeli 10 -krat ali v 100 metih več kot 80 -krat? § računanje je zelo zamudno in numerično zahtevno MATEMATIKA 2 19

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Ø geometrična porazdelitev Ponavljamo poskus pri katerem je verjetnostjo uspeha p. Slučajna spremenljivka G naj bo število poskusov, potrebnih za prvi uspeh. Kako je porazdeljena? • Zaloga vrednosti spremenljivke G je {1, 2, 3, . . . } • P(G=k)=p. (1 -p)k-1 p=0. 2 MATEMATIKA 2 20

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Ø Poissonova porazdelitev binomska porazdelitev b(n, p): n. p=a, n →� 1 e-a 1 Poissonova porazdelitev P(a) • zaloga: {0, 1, 2, 3, . . . } • porazdelitev: Če je a=n. p majhen, je Poissonova porazdelitev zelo dober približek za binomsko porazdelitev. Uporaba: § modeliranje emisije -delcev v danem časovnem intervalu § modeliranje časovnih vrst (vrste pred bančnimi okenci, gostota prometa, obremenitve telefonskega omrežja) § modeliranje redkih nesreč v zavarovalništvu (npr. čebelji piki, padci pod tušem). . MATEMATIKA 2 21

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE ZVEZNE SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Kadar je zaloga slučajne spremenljivke X neštevna (npr. življenjska doba žarnice), potem ne moremo našteti verjetnosti posameznih izidov in jim povrhu običajno sploh ne moremo pripisati pozitivne verjetnosti. Pomagamo si s kumulativno verjetnostjo: P(X ≤ x) = verjetnost, da X zavzame vrednost največ x (npr. da žarnica pregori po x urah) FX(x) = P(X ≤ x) je (kumulativna) porazdelitvena funkcija spremenljivke X Porazdelitvena funkcija slučajne spremenljivke je • naraščajoča • na (-� , � ) zraste od 0 do 1 Spremenljivka X je zvezna če je njena porazdelitvena funkcija FX zvezna. MATEMATIKA 2 22

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Kumulativne porazdelitve diskretne in zvezne slučajne spremenljivke Če je spremenljivka X zvezna, potem obstaja funkcija p. X(x), da je p. X(x) je gostota slučajne spremenljivke X Za gostoto slučajne spremenljivke velja: Kjer je p. X zvezna je p. X=FX ’. S p. X računamo podobno, kot z diskretno gostoto, le da vsote nadomestimo z integrali: P(a≤X ≤ b) = verjetnost, da X zavzame vrednost med a in b (da je življenjska doba žarnice med a in b ur) MATEMATIKA 2 23

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Primeri zveznih porazdelitev Ø enakomerna porazdelitev na [0, 1], gostota: 1 0 1 na [a, b], gostota: a MATEMATIKA 2 b 24

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Ø eksponentna porazdelitev Podobna Poissonovi; uporaba pri modeliranju življenjske dobe, modeliranju vpliva mamil na živčne receptorje, napovedovanju potresov. . . MATEMATIKA 2 25

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Ø Normalna porazdelitev N(a, ) gostota: § zvonasta oblika § maksimum pri a § simetrična glede na a § eksponetno pada proti 0 gostota porazdelitve N(0, ) za različne : MATEMATIKA 2 26

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE N(0, 1) je standardizirana normalna porazdelitev; njena gostota je vse normalne porazdelitve lahko izrazimo s pomočjo standardizirane Kumulativna porazdelitvena funkcija standardizirane normalne porazdelitve Tudi vse kumulativne normalne porazdelitve lahko izrazimo s standardizirano: MATEMATIKA 2 27

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Integral gostote ni elementarna funkcija – v praksi si pomagamo s tabelami za funkcijo Funkcija (x) je liha, zato so tabelirane le njene vrednosti za pozitivne x. (1. 02)=0. 3461 (-0. 89)= - (0. 89)= - 0. 3132 F(-0. 89)=0. 5+ ( - 0. 89)=0. 1868 Če je X standardizirano normalna N(0, 1), je Če pa je X normalna N(a, ), je MATEMATIKA 2 28

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Slučajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N(1. 5, 0. 2). Kolikšna je verjetnost, da X zavzame vrednost med 1 in 1. 5? X porazdeljena po N(a, ): 68% 95. 4% 99. 7% MATEMATIKA 2 29

VERJETNOST IN STATISTIKA b(10, 0. 4) N(4, 1. 55) SLUČAJNE SPREMENLJIVKE b(20, 0. 6) N(12, 2. 19) b(100, 0. 2) N(20, 4) Laplaceova ocena za binomsko porazdelitev b(n, p) (q=1 - p): Žogo vržemo na koš 100 -krat, pri čemer je verjetnost zadetka 70%. Kolikšna je verjetnost, da bomo zadeli več kot 65 -krat? MATEMATIKA 2 30

VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Primerjava binomske, Poissonove in normalne porazdelitve b(50, 0. 4) P(20) N(20, 3. 46) b(100, 0. 02) P(2) N(2, 1. 4) Normalna porazdelitev je običajno boljši približek za binomsko kot Poissonova. Ko je produkt n. p majhen (in n dovolj velik) pa je Poissonov približek boljši. MATEMATIKA 2 31

VERJETNOST IN STATISTIKA POVPREČNA VREDNOST X zvezna, gostota p(x) X diskretna, vrednosti xk, gostota p(xk) povprečna vrednost spremenljivke X Na ruleti so številke od 1 do 36 ter še 0 in 00. Kdor vloži 1 EUR na sode, dobi ali zgubi 1 EUR glede na to ali kroglica pade na sodo oziroma liho številko. Življenjska doba žarnice je porazdeljena eksponentno. Kolikšna je, v povprečju, njena življenjska doba? Dobiček X : +1 z verjetnostjo 18/38 -1 z verjetnostjo 20/38. Povprečni dobiček: Kdor vloži 1 EUR na izbrano številko (npr. 25) dobi 36 EUR, če kroglica pade na 25, v nasprotnem pa zgubi 1 EUR. Povprečni dobiček: MATEMATIKA 2 32

VERJETNOST IN STATISTIKA POVPREČNA VREDNOST V neki tovarni je približno en izdelek od desetih pokvarjen. Vsak dan izdelke pregledujejo enega po enega dokler ne najdejo pokvarjenega. Koliko izdelkov morajo v povprečju pregledati? X je geometrično porazdeljena s p=0. 1: trik: Povprečno morajo dnevno pregledati po 10 izdelkov. Igralec na ruleti igra po naslednjem sistemu. Vsakič igra igro z verjetnostjo 0. 5 (npr. stavi na rdeče, izidov 0 in 00 ne štejemo). Najprej vloži 1 EUR; če izgubi, podvoji vložek in to ponavlja, dokler ne zmaga; ob vsaki zmagi je na dobičku 1 EUR (zaporedja vložkov so 1 -2, 1 -2 -4 -8, 1 -2 -4 -8 -16 itn. ). Po zmagi spet začne z 1 EUR. . . Ali je to zanesljiva pot do zaslužka? Naj bo X količina denarja vložena pri zadnji igri (tisti, v kateri igralec zmaga). Zaloga vrednosti X je {1, 2, 4, 8, . . . }, tj. {2 k; k=0, 1, 2, 3, . . . }; porazdelitev je P(X=2 k)=2 -(k+1). Povprečna vrednost slučajne spremenljivke X ni definirana! ‘Sistem’ zahteva neskončno zalogo denarja (in možnost za neomejene stave). MATEMATIKA 2 33

VERJETNOST IN STATISTIKA RAZPRŠENOST Razpršenost je povprečje odklonov spremenljivke od njene povprečne vrednosti: razpršenost (varianca, disperzija) m=E(X) praktična formula: MATEMATIKA 2 34

VERJETNOST IN STATISTIKA RAZPRŠENOST Kako je razpršeno število pik pri metu kocke? standardni odklon slučajne spremenljivke X MATEMATIKA 2 35

VERJETNOST IN STATISTIKA POVPREČNA VREDNOST IN RAZPRŠENOST NEKATERIH POMEMBNIH PORAZDELITEV E(X)=n. p D(X)=n. p. q E(X)=a D(X)=a MATEMATIKA 2 36

VERJETNOST IN STATISTIKA POVPREČNA VREDNOST IN RAZPRŠENOST E(X)=a =0 (liha funkcija) =1 =0 =1 D(X)= 2 (X)= MATEMATIKA 2 37

VERJETNOST IN STATISTIKA porazdelitev POVPREČNA VREDNOST IN RAZPRŠENOST zaloga gostota E(X) D(X) diskretne enakomerna binomska b(n, p) geometrijska Poissonova P(a) zvezne enakomerna eksponentna normalna N(a, ) MATEMATIKA 2 38

VERJETNOST IN STATISTIKA SKUPNE PORAZDELITVE KOVARIANCA X, Y sta nekorelirana, če je K(X, Y)=0 X, Y neodvisna ⇒ X, Y nekorelirana ⇔ D(X+Y)=D(X)+D(Y) X in Y sta korelirana (in torej tudi odvisna) MATEMATIKA 2 39

VERJETNOST IN STATISTIKA MATEMATIKA 2 SKUPNE PORAZDELITVE 40

VERJETNOST IN STATISTIKA STATISTIK A Formulacija problema: § opazujemo neko množico (končno ali neskončno), ki ji pravimo populacija; (npr. prebivalci Slovenije, izdelki neke tovarne, bolniki z neko boleznijo, delnice na borzi, izidi na ruleti) § vsak element populacije ima neko merljivo lastnost X; (npr. starost, kakovost izdelka, učinek zdravila, cena delnice) § vrednost X je zaradi nekega razloga (velikost populacije, način ali cena ugotavljanja, . . . ) znana le na delu populacije, ki mu pravimo vzorec; Osnovni problem statistike: Kaj lahko povemo o lastnosti X na podlagi njenih vrednosti na vzorcu? MATEMATIKA 2 41

VERJETNOST IN STATISTIKA VZORČENJE Če je vzorec naključno izbran, so vrednosti X na vzorcu slučajna spremenljivka. Enako velja za vse druge količine (povprečja, standardni odkloni. . . ), ki jih izpeljemo iz teh vrednosti. Idealni vzorec je reprezentativen v smislu, da se značilnosti X na vzorcu se ujemajo z značilnostmi na celotni populaciji. Pri naključnem vzorcu lahko določimo verjetnost, da je reprezentativen. Včasih skušamo reprezentativnost doseči z dirigiranim vzorčenjem (npr. onesnaženje običajno merijo na stalnih lokacijah). Obstaja nevarnost, da je takšno vzorčenje pristransko. Omejili se bomo na primere, ko je izbira vzorca povsem naključna. To pomeni, da vzorec izbiramo zaporedoma in pri tem imajo vsi elementi populacije enako verjetnost, da se znajdejo v vzorcu. (gre torej za izbiro z vračanjem; če je velikost vzorca majhna v primerjavi z velikostjo populacije smemo izbirati brez vračanja) MATEMATIKA 2 42

VERJETNOST IN STATISTIKA Populacijski parametri: STATISTIČNI PARAMETRI Vzorčni parametri: § velikost populacije: N § velikost vzorca: n § vrednosti X na populaciji: x 1, x 2, . . . , x. N § vrednosti X na vzorcu: X 1, X 2, . . . , Xn § populacijsko povprečje: § vzorčno povprečje: § populacijska razpršenost: § vzorčna razpršenost: MATEMATIKA 2 43

VERJETNOST IN STATISTIKA STATISTIČNI PARAMETRI POVPREČNA VREDNOST IN RAZPRŠENOST VZORČNIH PARAMETROV § vzorec velikosti 1: E(Xk)= (populacijsko povprečje ) D(Xk)= 2 (populacijska razpršenost) § vzorec velikosti n: (vzorčenje z vračanjem) (enostavno vzorčenje) korekcijski faktor za primer relativno velikega vzorca MATEMATIKA 2 44

VERJETNOST IN STATISTIKA Povprečna vrednost količine STATISTIČNI PARAMETRI na množici vseh vzorcev ni enaka 2. Pravimo, da gre za pristransko oceno populacijske razpršenosti. Pri dovolj velikih vzorcih je razlika zanemarljiva, pri majhnih vzorcih pa ne, zato kot mero vzorčne razpršenosti vzamemo MATEMATIKA 2 E(s 2)= 2 45

VERJETNOST IN STATISTIKA OPISOVANJE PODATKOV rezultati kolokvija intervali dolžine 5 intervali dolžine 10 Običajno tvorimo 10 -20 kategorij. Zaželjeno je, da je v večini kategoriji vsaj 5 enot. Pri računanju povprečja in razpršenosti upoštevamo sredine intervalov. MATEMATIKA 2 46

VERJETNOST IN STATISTIKA OCENJEVANJE PARAMETROV INTERVALSKO OCENJEVANJE Vzorčno povprečje in razpršenost sta primerna približka za populacijsko povprečje in razpršenost. Kolikšna je natančnost teh približkov? Simulirali smo 10 zaporedij po 100 metov kocke in dobili naslednjo tabelo: s 3. 59 1. 800 3. 47 1. 687 3. 94 1. 605 3. 44 1. 930 3. 68 1. 567 3. 28 1. 789 3. 53 1. 602 3. 43 1. 692 3. 42 1. 668 3. 50 1. 609 Kaj lahko sklepamo o dejanski povprečni vrednosti in standardnemu odklonu? MATEMATIKA 2 47

VERJETNOST IN STATISTIKA OCENJEVANJE PARAMETROV Razsevni diagram za povprečja in standardne odklone simulacij. Dejanska vrednost: � =3. 5, � =1. 708 Povprečje simulacij: � =3. 53, � =1. 695 Osnovni problem je: kako na podlagi vzorčnih parametrov oceniti dejanske populacijske parametre? Pri numeričnih metodah določimo približek in oceno za napako približka. Dejanska vrednost je nekje na intervalu okoli približka. Na podlagi vzorca ni mogoče sklepati o parametrih populacije s 100% zanesljivostjo, . . . pač pa lahko določimo interval, za katerega je zelo verjetno, da vsebuje iskani populacijski parameter. MATEMATIKA 2 48

VERJETNOST IN STATISTIKA OCENJEVANJE PARAMETROV Naj bo količina X normalno porazdeljena na celotni populaciji z neznanim povprečjem a. Zaradi enostavnosti privzemimo, da je standardni odklon enak . Na vzorcu velikosti n dobimo vrednosti X 1, X 2, . . . , Xn in izračunamo njihovo povprečje (tj. za okoli 95% vzorcev je populacijsko povprečje na izračunanem intervalu, za okoli 5% vzorcev pa je izven) Verjetnost, s katero se iskani parameter nahaja na nekem intervalu je stopnja zaupanja. Pripadajoči interval je interval zaupanja. Večja stopnja zaupanja ali večja razpršenost ⇒ potreben je širši interval zaupanja. Večji vzorec ⇒ zadošča ožji interval zaupanja. MATEMATIKA 2 49

VERJETNOST IN STATISTIKA OCENJEVANJE PARAMETROV Splošni postopek za določanje intervala zaupanja za populacijski parameter u: 1) določimo vzorčni parameter ū, ki je primeren približek za u (npr. 2) za povprečje ali s 2 za razpršenost) določimo porazdelitveni zakon vzorčnega parametra ū (npr. normalni, binomski, . . . ; to je najzahtevnejši korak - praviloma se omejimo na standardne primere) 3) 4) izberemo stopnjo zaupanja (običajno =95% ali =99%) na podlagi porazdelitve in vrednosti vzorčnega parametra ū na danem vzorcu določimo interval zaupanja [U 1, U 2] za u, ki pripada izbrani stopnji zaupanja ( tj. tako, da velja P(U 1 ≤ u ≤ U 2) = ). MATEMATIKA 2 50

VERJETNOST IN STATISTIKA OCENJEVANJE PARAMETROV Pri manjših vzorcih ali neznanemu standardnemu odklonu ne moremo privzeti, da je povprečje normalno porazdeljeno. Običajno dobimo za približek porazdelitev, ki je odvisna od velikosti vzorca. Naj bo količina X porazdeljena normalno z neznanim povprečjem a in standardnim odklonom . Iščemo interval zaupanja za populacijsko povprečje a pri stopnji zaupanja �. Velja: T je porazdeljena po t. im. Studentovem porazdelitvenem zakonu S(n-1) MATEMATIKA 2 51

VERJETNOST IN STATISTIKA OCENJEVANJE PARAMETROV Tabela mejnih vrednosti porazdelitve S(n): Senčena ploščina je enaka �. parameter n (‘stopnje prostosti’) mejna vrednost na stopnji zaupanja 1 - ( P(|T| ≤ t )=1 - ) 95% 99% mejne vrednosti za normalno porazdelitev MATEMATIKA 2 52

VERJETNOST IN STATISTIKA OCENJEVANJE PARAMETROV Za izbrano stopnjo zaupanja iz tabel določimo t , da velja P(|T| ≤ t )= Interval zaupanja za a na stopnji zaupanja je s interval zaupanja 95% 99% 3. 59 1. 800 [3. 237, 3. 942] [3. 125, 4. 054] 3. 47 1. 687 [3. 139, 3. 800] [3. 034, 3. 905] 3. 94 1. 605 [3. 625, 4. 254] [3. 495, 4. 354] 3. 44 1. 930 [3. 061, 3. 818] [2. 941, 3. 938] 3. 68 1. 567 [3. 372, 3. 987] [3. 275, 4. 084] 3. 28 1. 789 [2. 929, 3. 630] [2. 818, 3. 741] 3. 53 1. 602 [3. 215, 3. 844] [3. 116, 3. 943] 3. 43 1. 692 [3. 098, 3. 761] [2. 993, 3. 866] 3. 42 1. 668 [3. 092, 3. 747] [2. 989, 3. 850] 3. 50 1. 609 [3. 184, 3. 815] [3. 084, 3. 915] MATEMATIKA 2 pri 3. poskusu je dejansko povprečje izven 95%-intervala zaupanja in komajda znotraj 99%-intervala zaupanja. 53

VERJETNOST IN STATISTIKA OCENJEVANJE PARAMETROV Intervalska ocena za standardni odklon pri normalni porazdelitvi: Primerjamo populacijsko razpršenost 2 z vzorčno razpršenostjo s 2: Velja: 2 je porazdeljena po zakonu ‘hi-kvadrat’ 2(n-1). Porazdelitev hi-kvadrat 2(n) ima gostoto Porazdelitvena gostota ni simetrična, zato za zahtevano stopnjo zaupanja poiščemo meji 2 a in 2 b , da velja P( 2 ≤ 2 a )=P( 2 ≥ 2 b )=1 - /2 ⇒ P( 2 a ≤ 2 b )= MATEMATIKA 2 54

VERJETNOST IN STATISTIKA OCENJEVANJE PARAMETROV Tabela mejnih vrednosti porazdelitve 2(n) Senčena ploščina je enaka �. parameter n (‘stopnje prostosti’) mejna vrednost 2 ( P( 2 ≥ 2 )= ) MATEMATIKA 2 55

VERJETNOST IN STATISTIKA PRESKUŠANJE STATISTIČNIH DOMNEV Statistična domneva je trditev o porazdelitvenem zakonu slučajne spremeljivke, ki jo želimo potrditi ali ovreči na podlagi vrednosti, ki jih zavzame na nekem vzorcu. parametrične domneve neparametrične domneve (trditve o parametrih znanega porazdelitvenega zakona, npr. Poissonovo porazdeljena spremenljivka ima povrečje a) (trditve o naravi porazdelitvenega zakona, npr. spremenljivka je normalno porazdeljena) primerjamo dve domnevi: H 0: ničelna domneva in H 1: alternativna domneva (npr. H 0 trdi, da porazdelitev ustreza zakonu P(2), H 1 pa, da ustreza zakonu P(3. 5)) Domneva je enostavna, če v celoti določa porazdelitev (tip in parametre), sicer pa je sestavljena. (npr. če H 0 trdi, da je porazdelitev Poissonova z neznanim parametrom - H 1 pa, da ni Poissonova, sta obe sestavljeni) Omejili se bomo na osnovne primere parametričnih domnev, ko je vsaj ničelna domneva enostavna. MATEMATIKA 2 56

VERJETNOST IN STATISTIKA PRESKUŠANJE STATISTIČNIH DOMNEV Leta 2003 je bilo v Sloveniji 17321 živorojenih otrok, od tega 8930 dečkov in 8391 deklic. Zanima nas, ali je to v nasprotju z domnevo, da je rojstvo dečka enako verjetno kot rojstvo deklice. Za slučajno spremenljivko X vzamemo število rojstev dečkov. X je porazdeljena binomsko b(n, p). H 0 je enostavna domneva p=0. 5, H 1 je sestavljena domneva p > 0. 5. Izberemo majhno število (npr. 0. 05 ali 0. 01) in poiščemo kritično vrednost c , da je pri pogoju p=0. 5 verjetnost P(X > c )=. Če je število dečkov večje od c , potem H 0 zavrnemo, v nasprotnem primeru pa je ne zavrnemo. Binomsko porazdelitev b(17321, 0. 5) aproksimiramo z N(8660. 5, 65. 80), in vzamemo =0. 05. Ker je dejanska vrednost (8930) večja od c 0. 05, ničelno domnevo zavrnemo. Pri 1% značilnosti preskusa dobimo c 0. 01=8813. 5, torej domnevo zavrnemo tudi pri ostrejšem preskusu. MATEMATIKA 2 57

VERJETNOST IN STATISTIKA PRESKUŠANJE STATISTIČNIH DOMNEV Enostavna parametrična domneva u=u 0 ima tri alternativne parametrične domneve: sprejmemo zavrnemo u > u 0 u < u 0 zavrnemo sprejmemo c u ≠ u 0 c u 0 zavrnemo sprejmemo zavrnemo c 1 u 0 c 2 Za prvo in drugo alternativo pravimo, da sta enostranski, za tretjo pa, da je dvostranska. Pri preskušanju trdnosti nekega materiala je smiselna enostranska alternativa, saj nas ne moti, če je le-ta trdnejši kot pričakujemo. Pri preskušanju odstopov velikosti vijaka glede na matico pa raje oblikujemo dvostransko alternativo. MATEMATIKA 2 58

VERJETNOST IN STATISTIKA PRESKUŠANJE STATISTIČNIH DOMNEV Z porazdeljena po N(0, 1) - kako določimo c ? dvostranski preskus: enostranski preskus: Podobno ravnamo pri drugih preskusih. Pri t-testu tvorimo in upoštevamo, da je T porazdeljen po zakonu S(n-1). Kritične vrednosti za dvostranski poskus pri značilnosti so v (n-1)-vi vrstici in stolpcu, ki ustreza. Kritične vrednosti za enostranski poskusa pa so v stolpcu, ki ustreza . MATEMATIKA 2 59

VERJETNOST IN STATISTIKA PRESKUŠANJE STATISTIČNIH DOMNEV Povprečje 10 meritev gostote neke snovi nam je dalo 1. 35 g/cm 3, čeprav bi teoretično pričakovali gostoto 1. 2 g/cm 3. Na podlagi izkušenj vemo, da je pri tovrstnem merjenju standardna napaka =0. 25 g/cm 3. Ali na podlagi tega lahko zavrnemo H 0( =1. 2 g/cm 3)? Značilnost preskusa naj bo 5%. 1. ) H 1( ≠ 1. 2) (dvostranski preskus) Ničelne domneve ne zavrnemo. (testna vrednost je manjša od kritične) 2. ) H 1( > 1. 2) (enostranski preskus) Ničelno domnevo zavrnemo. (testna vrednost je večja od kritične) Pri sestavljeni alternativi lahko manj verjetni del alternative zmanjša možnost za izključitev ničelne domneve. MATEMATIKA 2 60

VERJETNOST IN STATISTIKA PRESKUŠANJE STATISTIČNIH DOMNEV Kovanec vržemo 50 krat in 29 -krat dobimo cifro. Ali lahko sklepamo, da je popačen? Splošni problem: kako ugotovimo, ali je vzorec X 1, . . . , Xn v skladu z domnevo, da je opazovana populacija porazdeljena po nekem zakonu F(x) ? Lotimo se ga takole (Pearsonov 2 – test, Goodness of Fit): 1. Realno os razdelimo na intervale I 1, . . . , IK tako, da vsak vsebuje vsaj 5 elementov vzorca. Število vzorcev na intervalu Ik označimo z bk. 2. Ob privzetku, da je porazdelitev populacije F(x) izračunamo teoretično število vzorcev na intervalu Ik in ga označimo z ek. 3. Izračunamo deviacijo Dejstvo: 0 2 je porazdeljena po zakonu 2(K-1). 4. Za izbrano stopnjo značilnosti določimo 2 iz enačbe P( 2 ≥ 2 )=. Domnevo zavrnemo, če je 02 ≥ 2 . MATEMATIKA 2 61

VERJETNOST IN STATISTIKA PRESKUŠANJE STATISTIČNIH DOMNEV V našem primeru postavimo grb=0, cifra=1 in intervala I 1=(-∞, 0. 5] in I 1=(0. 5, +∞). Dobimo: b 0=21, b 1=29, e 0=e 1=25 in 02 = 16/25+16/25=1. 28 Za 2(1) in pri stopnji značilnosti =5% je mejna vrednost 2 =3. 841, zato domneve, da je kovanec pošten ne zavrnemo. Koliko cifer bi morali dobiti pri 50 metih, da bi lahko na 5% stopnji značilnosti zavrnili domnevo o poštenosti kocke? Odstop označimo z a in rešimo a 2/25+a 2/25 > 3. 841, kar nam da a ≥ 7. To pomeni, da bi pri 32 cifrah ali več zavrnili domnevo o poštenosti kocke. Na stopnji značilnosti 1% pa bi jo zavrnili šele pri 35 cifrah ali več. G. Mendel je pri enem svojih znamenitih poskusov dobil 355 rumenih in 123 zelenih grahov. Ali je to v skladu z domnevo, da je razmerje med rumenimi in zelenimi 3: 1? MATEMATIKA 2 62

VERJETNOST IN STATISTIKA PRESKUŠANJE STATISTIČNIH DOMNEV Na bolnikih so preskušali vpliv dveh zdravil (A in B) proti nespečnosti. Ali lahko na podlagi podatka o dodatnem številu ur spanja sklepamo o tem, da je eno zdravilo bolj učinkovito od drugega? Privzemimo, da imamo rezultate vpliva obeh zdravil na istih bolnikih. Tedaj naredimo parni t-test. (Če bi imeli rezultate na različnih bolnikih, bi morali uporabiti šibkejši neparni t-test. ) Tvorimo razliko Z=X-Y. Pri 95% stopnji zaupanja domneve, da sta zdravili enakovredni zavrnemo. Dejstvo: porazdeljena je po Studentovem zakonu S(n-1). Primerjamo H 0(a=0) proti H 1(a≠ 0). MATEMATIKA 2 63

VERJETNOST IN STATISTIKA PRESKUŠANJE STATISTIČNIH DOMNEV LINEARNA REGRESIJA S pomočjo metode najmanjših kvadratov lahko določimo premico, ki se najbolje prilega dani množici točk v ravnini. Statistično pa so vrednosti Y podvržene naključnim vplivom, zato je le do določene mere verjetno, da so izračunani koeficienti regresijske premice a+b. X blizu dejanskih. Velja: (1) Interval zaupanja za smerni koeficient premice je kjer je t mejna vrednost na stopnji zaupanja pri porazdelitvi S(n-2). (2) r(X, Y)2 je število, ki pove, kolikšen delež razpršenosti spremenljivke Y je pojasnjen z razpršenostjo X. MATEMATIKA 2 64

VERJETNOST IN STATISTIKA PRESKUŠANJE STATISTIČNIH DOMNEV Interval zaupanja za smerni koeficient je [2. 103 -0. 0412 t , 2. 103+0. 0412 t ] Za =5% dobimo pri S(18) mejno vrednost t =2. 101 in pripadajoči interval [2. 016, 2. 190] Za r(X, Y)2 pa dobimo 0. 99, torej je vsa varianca Y posledica variance X MATEMATIKA 2 65